被控对象的数学模型

被控对象的数学模型第一页，共二十九页，编辑于2023年，星期一第一节化工对象的描述方法非参量模型参量模型第二节对象数学模型的建立机理建模实验建模混合建模第三节描述对象特性的参数本章主要内容第二页，共二十九页，编辑于2023年，星期一对象特性—是指对象输入量与输出量之间的关系(数学模型)即对象受到e后，y是如何变化的、变化量为多少……被控对象输入量？？控制变量＋各种各样的干扰变量通道：由对象的输入变量至输出变量的信号联系。控制通道：控制变量至被控变量的信号联系。干扰通道：干扰至被控变量的信号联系通道。对象输出：控制通道输出与各干扰通道输出之和。

控制通道干扰通道干扰变量控制变量被控变量被控对象第一节化工对象的特点及其描述方法第三页，共二十九页，编辑于2023年，星期一数学模型的表示方法：非参量模型和参量模型

1.非参量模型：采用曲线、表格等形式表示。特点：形象、清晰；缺乏数学方程的解析性质（必要时须进行数学处理获得参量模型）。

数学模型：静态数学模型—静态时输入量与输出量之间的关系。动态数学模型—对象在输入量改变以后输出量的变化情况。常用的描述形式：阶跃反应曲线、矩形脉冲反应曲线、频率特性曲线等第四页，共二十九页，编辑于2023年，星期一2.参量模型：数学模型用数学方程式描述。常用的描述形式：微分方程式(组)*、传递函数*、频率特性等参量模型的微分方程的一般表达式：

y(t)表示输出量，x(t)表示输入量，通常n≥m。通常n=1，称该对象为一阶对象模型；n=2，称二阶对象模型。

可忽略输入量的导数项第五页，共二十九页，编辑于2023年，星期一建模的方法：机理建模、实验建模、混合建模机理建模——根据物料、能量平衡、化学反应、传热传质等基本方程，从理论上来推导建立数学模型。由于工业对象往往非常复杂，很难完全掌握系统内部的精确关系式。需要引入恰当的简化、假设等处理。因此机理建模仅适用于部分相对简单的系统。实验建模——人为施加输入，用仪表记录表征对象特性的物理量随时间变化的规律，得到实验数据或曲线，表示对象特性。这种应用对象输入输出的实测数据来决定其模型的方法，通常称为系统辨识。其主要特点是把被研究的对象视为一个黑箱子。混合建模——将机理建模与实验建模结合起来，称为混合建模。混合建模=机理建模————————————〉实验建模已知模型结构＋实测数据来确定数学表达式中某些参数的方法，称为参数估计。第二节对象数学模型的建立

对象视为一个灰箱子第六页，共二十九页，编辑于2023年，星期一一、对象机理数学模型的建立问题：处于平衡状态的对象加入干扰后，不经控制系统能否自行达到新的平衡状态？

左图：假设初始平衡状态qi=qo，液位保持不变。当发生变化时(qi＞qo)，此时水位开始升高根据流体力学原理，qo与H是存在一定的对应关系的：因此，qi

H

qo，直至qi=qo这种特性称为“自衡特性”。右图：如果出口由泵打出，不同：qi当发生变化时，qo不发生变化。如果qi＞qo,水位H将上升，直至溢出，可见该系统是无自衡能力。绝大多数对象都有自衡能力，有自衡能力的系统比无自衡能力的系统容易控制出水阀阻力系数H第七页，共二十九页，编辑于2023年，星期一1.一阶线性对象问题(1)：求右图所示的对象模型（输入输出模型）解：

该对象的输入量为qi

，被控变量为液位h根据物料平衡方程：单位时间内水槽体积的改变＝输入流量—输出流量

由于出口流量可以近似地表示为：(i)式是针对完全量的输入输出模型，(ii)式是针对变化量的输入输出模型。第八页，共二十九页，编辑于2023年，星期一对上式作拉氏变换：对象的传递函数：该对象的阶跃响应：如果qi为幅值为a的阶跃输入，则这是最典型的一阶对象的传递函数第九页，共二十九页，编辑于2023年，星期一1.一阶线性对象问题(2)：求右图所示的对象模型（RC电路）解：

该对象的输入量为ei

，输出参数为eo（T=RC）eiRCeo基尔霍夫定律：ei=iR+eo(1)i=C*deo/dt(2)第十页，共二十九页，编辑于2023年，星期一一阶线性对象（总结）典型的微分方程典型的传递函数典型的阶跃响应函数典型的阶跃响应曲线h()h(t)T0.632h()qita从微分方程的解析解来看K――放大系数，在阶跃输入作用下，对象输出达到新的稳定值时，输出变化量与输入变化量之比，也称静态增益。K越大，表示输入量对输出量的影响越大。T――时间常数，在阶跃输入作用下，对象输出达到稳态值63.2％所需要的时间，T是反映响应变化快慢或响应滞后的重要参数。用T表示的响应滞后称容量滞后。

T大，反应慢，难以控制；T小，反应快。第十一页，共二十九页，编辑于2023年，星期一2.积分对象积分对象：对象的输出与输入对时间的积分成比例的关系。解：qi当发生变化时，qo是常数，变化量=0h只与流入量的变化有关。对上式积分可得：使用泵输出的储槽具有积分特性。A—储槽横截面积第十二页，共二十九页，编辑于2023年，星期一3.二阶线性对象问题：求右图所示的对象模型(输入输出模型)。解：该对象的输入量为qi

被控变量为液位h2（同样利用物料平衡方程）槽1：槽2：联立方程求解：传递函数：第十三页，共二十九页，编辑于2023年，星期一另解：根据一阶对象的传递函数，有传递函数：槽1：且槽2：阶跃响应函数：第十四页，共二十九页，编辑于2023年，星期一二阶线性对象（总结）典型的微分方程典型的传递函数典型的阶跃响应函数典型的阶跃响应曲线qita不相关双容第十五页，共二十九页，编辑于2023年，星期一4.纯滞后一阶对象操纵变量qi

，水箱入口的进料量qf.导流槽长度l

，流体平均速度v，流体流经导流槽所需的时间τ.所以当qi发生改变以后，经过时间以后qf才有变化：对于qf与h来说，根据前面的推导，可知：传递函数为：第十六页，共二十九页，编辑于2023年，星期一纯滞后对象（总结）典型的微分方程典型的传递函数典型的阶跃响应函数典型的阶跃响应曲线h()hT0.632h()纯滞后产生的主要原因：

物料输送等中间过程产生纯滞后大时间常数表现出来的等效滞后由于纯滞后的出现，控制作用必须经历一定的时间延迟（滞后）才能在被控变量上得到体现，致使当被控变量的反馈反映出控制作用时，可能会输入过多的控制量，导致系统严重超调甚至失稳。qita第十七页，共二十九页，编辑于2023年，星期一二、对象特性的实验建模—在被控对象上人为加入输入量，记录表征对象特性的输出量随时间的变化规律。被控对象输入量输出量系统辨识对象模型阶跃信号脉冲信号伪随机信号……表格数据响应曲线……阶跃输入t0At0A矩形脉冲t1阶跃反应曲线法矩形脉冲法对象特性的测取方法第十八页，共二十九页，编辑于2023年，星期一在测试过程中必须注意以下几点：

加测试信号前，系统尽可能保持稳定状态，否则会影响测试结果；

输入量/输出量的起始时间是相同的，起始时间是输入量的加入时间，输出量的响应曲线可能滞后于输入量的响应，其原因是纯滞后或容量滞后；在测试过程中尽可能排除其它干扰的影响，以提高测量精度；在相同条件下重复测试多次（2~3），以抽取其共性；在测试和记录的过程中，应持续到输出量达到新的稳态值；许多工业对象不是真正的线性对象，由于非线性关系，对象的放大倍数是可变的，所以作为测试对象的工作点应该选择正常的工作状态（一般要求运行在额定负荷、正常干扰等条件下）。第十九页，共二十九页，编辑于2023年，星期一三、对象特性的混合建模由于机理建模和实验建模各有特点，目前比较实用的方法是将二者结合起来，称为混合建模。混合建模的过程：先通过机理建模获取数学模型的结构形式，通过实验建模（辨识）来求取（估计）模型的参数。第二十页，共二十九页，编辑于2023年，星期一第三节对象特性对过渡过程的影响对象模型由三个基本参数决定：K、T、τ

K

对过渡过程的影响阶跃输入作用下，对象输出达到新的稳定值时，输出静态变化量与输入静态变化量之比，称为对象的放大系数或静态增益。u广义对象fyK其它参数不变控制通道放大系数干扰通道放大系数KO越大控制变量u对被控变量y的影响越灵敏控制能力强Kf

越大干扰f对被控变量y的影响越灵敏。在设计控制系统时，应合理地选择KO使之大些，抗干扰能力强，太大会引起系统振荡。第二十一页，共二十九页，编辑于2023年，星期一h()h(t)T0.632h()

T对过渡过程的影响时间常数：在阶跃输入作用下，对象输出达到最终稳态值的63.2％所需要的时间。T其它参数不变时间常数T是反映响应变化快慢或响应滞后的重要参数。用T表示的响应滞后称阻容滞后（容量滞后），T大反应慢，难以控制；T小反应快。

第二十二页，共二十九页，编辑于2023年，星期一

T对过渡过程的影响一般情况希望TO小些，但不能太小，Tf大些。控制通道TO大响应慢、控制不及时、过渡时间tp长、超调量大；控制通道TO小响应快、控制及时、过渡时间tp短、超调量小；控制通道TO太小响应过快、容易引起振荡、降低系统稳定性。干扰通道TO对被控变量输出的影响也是相类似的。TT第二十三页，共二十九页，编辑于2023年，星期一τ对过渡过程的影响滞后现象：对象在受到输入作用后，被控变量却不能立即而迅速地变化。（1）纯滞后（传递滞后）由于介质的输送需要一段时间而引起的。第二十四页，共二十九页，编辑于2023年，星期一溶解槽

蒸汽直接加热器τ对过渡过程的影响产生纯滞后的原因：①物料输送等中间过程产生，

②测量点选择不当等原因。控制通道纯滞后对控制肯定不利，纯滞后增大控制质量恶化、超调量大干扰通道的纯滞后对系统响应影响不大，因为干扰本身是不确定的，可以在任何时间出现。

在工艺设计时，应尽量减少或避免纯滞后时间。如：简化工艺、减少不必要的环节，以利于减少控制通道的滞后时间；在选择控制阀与检测点的安装位置时，应选取靠近控制对象的有利位置。第二十五页，共二十九页，编辑于2023年，星期一τ对过渡过程的影响

（2）容量滞后

有些对象在受到阶跃输入作用x后，被控变量y开始变化很慢，后来才逐渐加快，最后又变慢直至逐渐接近稳定值，这种现象叫容量滞后或过度滞后。

容量滞后一般是由于物料或能量的传递需要通过一定阻力而引起的。

0y(t)t第二十六页，共二十九页，编辑于2023年，星期一TCADB12一阶滞后环节包含三个参数：K、T、，如何确定这三个参数？(a)在S型响应曲线上选择拐点A（二阶导数+—或—+）；(b)曲线在拐点A作切线，交y(0)于D点，交y()于C点；(c)OD为滞后时间，

=1+2。1是系统真正纯滞后，2是容量滞后时间；(d)DC为时间常数T；(e)增益K=y/u。

对象的特性参数总结y在被控对象上加入的输入信号为uy(0)0y()y(t)t第二十七页，共二十九页，编辑于2023年，星期一eiRCeo例1：RC电路如图，如R=5，C=2（1）绘出ei突然由0阶跃变化到5V时，e0的变化曲线。（2）