高考数学关于平面向量数量积运算的三类题型课件

专题4三角函数与平面向量第

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练关于平面向量数量积运

算的三类经典题型平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算，应用十分广泛，对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定、夹角、模等问题，另外还可以解决平面几何、立体几何中许多有关问题，因此是高考必考内容，题型有填空题，也在解答题中出现，常与其他知识结合，进行综合考查.题型分析高考展望体验高考高考必会题型高考题型精练栏目索引体验高考解析答案12345解析如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.12345解析答案12345解析由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.即3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，12345解析3.(2015·陕西改编)对任意向量a，b，①|a·b|≤|a||b|；②|a－b|≤||a|－|b||；③(a＋b)2＝|a＋b|2；④(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.以上关系式中不恒成立的是______.解析

对于①，由|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|≤|a||b|恒成立；对于②，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于③、④容易判断恒成立.√12345解析答案4.(2016·课标全国乙)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.解析

由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2.－212345解析答案返回高考必会题型题型一平面向量数量积的基本运算解析答案9解析答案13点评点评点评(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a，b的数量积a·b与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b＝0时得不到a＝0或b＝0，根据平面向量数量积的性质有|a|2＝a2，但|a·b|≤|a|·|b|.解析答案解析题型二利用平面向量数量积求两向量夹角例2

(1)设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成.若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4的所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为________.解析答案解析设a与b的夹角为θ，由于xi，yi(i＝1,2,3,4)均由2个a和2个b排列而成，①S＝2a2＋2b2；②S＝4a·b；③S＝|a|2＋2a·b＋|b|2.∵|b|＝2|a|，∴①中S＝10|a|2，②中S＝8|a|2cosθ，③中S＝5|a|2＋4|a|2cosθ.易知②最小，即8|a|2cosθ＝4|a|2，点评(2)已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5在R上单调递减，则向量a，b的夹角的取值范围是________.解析答案解析

设向量a，b的夹角为θ，因为f(x)＝－2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋5，所以f′(x)＝－6x2＋6|a|x＋6a·b，又函数f(x)在R上单调递减，所以f′(x)≤0在R上恒成立，所以Δ＝36|a|2－4×(－6)×(6a·b)≤0，因为a·b＝|a||b|·cosθ，且|a|＝2|b|≠0，点评求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律.(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时，两向量的夹角为钝角.点评解析答案变式训练2

若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为________.

120°题型三利用数量积求向量的模及4a2－4a·b＋b2＝10，又向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，解析答案点评解析答案5点评解析方法一以点D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝x.∴D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，解析点评点评返回解析答案高考题型精练1234567891011解析答案解析由题知四边形ABCD的边和对角线的长都为1，点E、F分别是AB、AD的中点，则EF平行于BD，1234567891011解析答案又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.30°1234567891011解析答案解析由A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆的直径，设B(x，y)，71234567891011解析答案1234567891011解析答案5.已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a，b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_______________________.解析∵a，b的夹角为锐角，∴a·b＝1×1＋(－2)λ＞0且1×(－2)－1×λ≠0，1234567891011解析答案解析∵(a＋b)⊥a，1234567891011解析答案由于上式对任意单位向量e都成立.∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.1234567891011解析答案1234567891011解析答案解析如图，设点O在AB，AC上的射影分别是点D，E，它们分别为AB，AC的中点，连结OD，OE.由数量积的几何意义，即2x＋6y＝3，将两式相加可得6x＋9y＝5.5123456789101110.设a＝(－1,1)，b＝(x,3)，c＝(5，y)，d＝(8,6)，且b∥d，(4a＋d)⊥c.(1)求b和c；解析答案解∵b∥d，∴6x－24＝0，∴x＝4.∵4a＋d＝(4,10)，(4a＋d)⊥c，∴5×4＋10y＝0，y＝－2，∴b＝(4,3)，c＝(5，－2).1234567891011(2)求c在a方向上的投影；解析答案1234567891011(3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b.解析答案解∵c＝λ1a＋λ2b，12