解析函数及其判定

解析函数及其判定1第一页，共七十一页，编辑于2023年，星期一在定义中应注意:2第二页，共七十一页，编辑于2023年，星期一例2解3第三页，共七十一页，编辑于2023年，星期一4第四页，共七十一页，编辑于2023年，星期一例3解5第五页，共七十一页，编辑于2023年，星期一6第六页，共七十一页，编辑于2023年，星期一（2）.可导与连续的关系(i)函数f(z)在z0处可导则在z0处一定连续.（a)可导连续(ii)函数f(z)在z0处连续不一定在z0处可导.(b)(i)实函数中构造一个处处连续但处处不可导的例子非常困难；(ii)复变函数中处处连续处处不可导的函数随处可见7第七页，共七十一页，编辑于2023年，星期一（3）.求导法则:由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致,并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样,因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来,且证明方法也是相同的.求导公式与法则:8第八页，共七十一页，编辑于2023年，星期一9第九页，共七十一页，编辑于2023年，星期一2.微分的概念:复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.（1）微分的定义10第十页，共七十一页，编辑于2023年，星期一特别地,（2）可导与可微的关系11第十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期一二、解析函数的概念1.解析函数的定义2.奇点的定义12第十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期一根据定义可知:(1)函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.但是,(2)函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念.即函数在一点处可导,不一定在该点处解析.函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.3.复变函数连续、可导、解析之间的关系13第十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期一的某邻域内处处可导在解析在可导在在连续（1）（2）在区域D内可导在区域D内解析14第十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期一例4解由本节例1和例3知:15第十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期一16第十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期一17第十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期一例6解18第十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期一19第十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期一课堂练习答案处处不可导,处处不解析.20第二十页，共七十一页，编辑于2023年，星期一定理以上定理的证明,可利用求导法则.4.解析函数的运算性质有理运算性质：复合运算性质：21第二十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期一根据定理可知:(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.22第二十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期一三、判定函数解析性的方法定理一23第二十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期一成立存在在可微在C—R方程定理一24第二十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期一并且给出了求复变函数导数的一种方法1、函数导数的表示形式（2)已知求注:(1)已知求25第二十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期一2、函数在区域D内解析的充要条件26第二十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期一内成立在区域D内解析在内可微在C—R方程定理二27第二十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期一解析函数的判定方法:28第二十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期一3、充分条件成立存在在连续在C—R方程29第二十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期一成立在D内解析在内连续在C—R方程30第三十页，共七十一页，编辑于2023年，星期一4、典型例题例1判定下列函数在何处可导,在何处解析:解不满足柯西－黎曼方程,31第三十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期一四个偏导数均连续指数函数32第三十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期一四个偏导数均连续33第三十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期一例2证34第三十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期一例3解35第三十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期一2.复变指数函数（1）定义:称为复变数的指数函数，记作：36第三十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期一（2）复变指数函数的性质<1><2>37第三十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期一<3>.加法定理例1解<4>38第三十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期一39第三十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期一例2解求出下列复数的辐角主值:40第四十页，共七十一页，编辑于2023年，星期一41第四十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期一42第四十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期一例3解43第四十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期一二、对数函数1.定义44第四十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期一其余各值为特殊地,45第四十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期一例4解注意:在实变函数中,负数无对数,而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.46第四十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期一例5解47第四十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期一例6解48第四十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期一49第四十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期一2.性质50第五十页，共七十一页，编辑于2023年，星期一三、乘幂与幂函数1.乘幂的定义注意:51第五十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期一52第五十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期一特殊情况:53第五十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期一54第五十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期一例7解答案课堂练习55第五十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期一例8解56第五十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期一2.幂函数的解析性它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,57第五十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期一它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,58第五十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期一四、三角函数和双曲函数1.三角函数的定义将两式相加与相减,得现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.59第五十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期一60第六十页，共七十一页，编辑于2023年，星期一例9解61第六十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期一有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.62第六十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期一(注意：这是与实变函数完全不同的)63第六十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期一其他复变数三角函数的定义64第六十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期一例11解65第六十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期一例12解66第六十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期一67第六十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期一2.双曲函数的定义68第六十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期一它们的导数分别为并有如下公式:它们都是以为周期