经济问题模型课件

第三章经济问题模型在人类社会中，经济活动是最为活跃的活动之一。小到个人，大到企业和国家，每天都要与经济问题打交道。本章将介绍几个有代表性的经济模型，以了解用数学建模解决经济问题的一些方法。1.连续利率问题某银行为吸引储户来存款，出台了一个特殊存款理财品种。该品种的政策是允许储户在一年期间可以任意次结算，但要求储户存款的最低金额为10万元且存款时间至少1年。假设该银行年利率为5%，某储户买了10万元的这个存款理财品种，随后他在一年的存款期间等间隔的结算n次，每次结算后将本息全部存入银行，问在不计利息税的情况下，一年后该储户的本息和是多少？3.1日常生活中的经济模型

设表示在一年的存款期间里等间隔的结算n次一年后该储户的本息和。分析：模型建立若该储户每季度结算一次，则每季度利率为：一年要结算4次：第一季度后储户本息共计：

第二季度后储户本息共计：

第三季度后储户本息共计：

一年后该储户本息共计：

模型建立若该储户每月结算一次，则每月利率为：一年要结算12次：第1个月后储户本息共计：

第2个月后储户本息共计：

第11个月后储户本息共计：

一年后该储户本息共计：

观察规律可知，若该储户一年里等间隔地结算n次，则一年后本息共计数学模型：模型讨论计算出几个值会发现的确结算次数越多，一年后得到的本息和越多，如有因为结果说明该理财品虽然会随着结算次数的增加使储户一年后储户的本息和比一年的定期存款多一点。由于故有一年期间多次结算产生的比一年定期存款多的金额不会超过储户存款金额的0.13%！2.连续利率问题小王夫妇打算贷款买一辆11万元的轿车用于家庭活动。他们选择了首付车价额30%，余额贷款的方式购买。假设他们打算用每月偿付固定的钱款分12个月还清银行贷款，他们每月要还多少钱才行？问题分析要12个月还清贷款，故要选择银行的一年贷款。假设当年的年贷款利率为6.57%，故分配到每月上的利率就是0.065712。此外，他们选择了首付车价额30%，则还欠车款的金额为：要向银行借为期一年的贷款77000元。

设表示贷款第n个月该夫妇所欠银行的钱数，r是贷款的月利率，x是每月还款金额，由题意有模型建立整理有数学模型：

一年后该储户本息共计：

因为有：

故小王夫妇每月要还6647.31元

假设某人贷款额为B元，贷款机构的贷款月利率为r，其每月偿付固定的钱款为x元.同样设表示贷款第n个月该贷款人所欠银行的钱数。则有对一般的贷款问题数学模型为：讨论3.养老金问题假设某人从现在开始，每月的第一天存500元到养老金账户，一直存20年。在银行活期率为1%的前提下，他20年后的养老金账户有多少存款？如果从21年后的每个月末支取500元，他能支取多长时间？

养老金是为退休目的而规划的一种存取款品种。通常人们可以在年轻时按月存入一定数额的钱款，然后在自己退休后按月从先前的存款账户中支取固定的钱款用于生活。养老金对存入的存款付给活期存款利息并允许每月有固定数额的提款，直到提尽为止。

设表示第n个月此人养老金账户的存款金额，r表示活期存款的月利率，因为活期存款的利率也是年利率，故有：模型建立

整理有数学模型：

即：模型建立他20年后的养老金账户的存款为：从21年后，他每月末支取500元，设

表示其从第21年开始的第n个月的支取后，其养老金账户的余额，则有

整理要回答他能支取多长时间，就要求出上式中满足

的最大n。

该式不易用解析式求出，我们采用直接计算的方式求之。由元代入算得临界点由此知此人从第21年开始可以连续领300个月的钱款。3.2商品广告模型无论你是听广播，还是看报纸，或是收看电视，常可看到、听到商品广告。随着社会向现代化的发展，商品广告对企业生产所起的作用越来越得到社会的承认和人们的重视。商品广告确实是调整商品销售量的强有力手段，然而，你是否了解广告与销售之间的内在联系？如何评价不同时期的广告效果？这个问题对于生产企业、对于那些为推销商品作广告的企业极为重要。请建立独家销售的广告模型。问题的提出1．商品的销售速度会因做广告而增加，但增加是有一定限度的。当商品在市场上趋于饱和时，销售速度将趋于它的极限值；当速度达到它的极限值时，无论再作何种形式的广告，销售速度都将减慢；2.商品销售速度随商品的销售率增加而减小，因为自然衰减是销售速度的一种性质；模型假设符号说明S(t)：t时刻商品销售速度；A(t)：t时刻广告水平（以费用表示）；r(s)：销售速度的净增长率；M：销售的饱和水平，即市场对商品的最大容纳能力，它表示销售速度的上极限；λ：衰减因子，是广告作用随时间增加而商品销售速度自然衰减的速度，λ>0为常数。模型建立商品销售速度的变化=增长-自然衰减商品销售速度随时间的变化关系为:由假设1知商品销售速度的净增长率r(s)应该是商品销售速度s(t)的减函数，并且在销售饱和水平M处，有r(M)=0。为简单起见，设由导数的含义，本问题的数学模型为

模型求解

为求解该模型，选择一个广告策略:

在时间段(0,)内，用于广告的总费用为a，则，代入模型方程有令，

则有其解为在时间段[,),模型变为其解为

综合之，有本问题的解为模型讨论

1．企业若保持稳定销售,根据模型估计采用广告水平

2.在销售水平比较低的情况下，每增加单位广告产生的效果比销售速度接近极限速度的水平时，增加广告所取得的效果更显著。解得3.要得到某种商品的实际销售速度，可以采用离散化方式得到模型中的参数，方法为：将模型（1）离散化，得上式关于数的线性方程（严格的说应该是的线性方程），代入若干个月的销售数据，并利用最小二乘法可以得到的估计值。3.3经济增长模型

大到一个国家的国民产值，小到一个企业中某种产品的生产量，其值通常取决于相关的生产资料和劳动力等重要因素。而这些量之间究竟存在何种依赖关系，进而劳动生产率提高的条件是什么？问题的提出1.生产量只取决于生产资料（厂房、设备、技术革新等）和劳动力（数量、素质等）；生产量，生产资料和劳动力都是随着时间的变化而不断改变的；2.劳动力服从指数增长规律，相对增长率为常数；生产资料的增长率正比于生产量；3.劳动生产率可由生产量与劳动力之比来表征。模型假设符号说明符号tQKLZ含义时间生产量生产资料劳动力劳动生产率模型建立与求解由假设1，有如下函数关系

在正常情况下，生产资料越多，可以达到的生产量就越多；另外，在劳动力越多时，如果不考虑会产生人员冗余致使劳动效率的极端低下，则生产总量也会越多。因此，用数学来描述就是

1.道格拉斯（Douglas）生产函数在实际生产中，人们关心的往往是生产的增产量，而不是绝对量。因此，定义生产资料指数iK,劳动力指数

iL与总产量指数iQ分别为

这三个量与度量单位无关，又分别称之为“无量纲化”的生产资料、劳动力与总产量。附表：美国马萨诸塞州1890~1926年数据

tt-90.950.780.7241.221.221.30173.611.862.09-80.960.810.7851.271.171.30184.101.931.96-70.990.850.8461.371.301.42194.361.962.20-60.960.770.7371.441.391.50204.771.952.12-50.930.720.7281.531.471.52214.751.902.16-40.860.840.8391.571.311.46224.541.582.08-30.820.810.81102.051.431.60234.541.672.24-20.920.890.93112.511.581.69244.581.822.56-10.920.910.96122.631.591.81254.581.602.3401.001.001.00132.741.661.93264.581.612.4511.041.051.05142.821.681.95274.541.642.5821.061.081.18153.241.652.0131.161.181.29163.241.622.00附表显示，在正常的经济发展过程中（除个别年份外，如1908年），上述三个指标都是虽时间增长的，但是，我们很难直接从表上发现具体的经济规律，为了定量分析，我们定义两个新变量附表的图

利用数据拟合，作一元线性回归曲线，可得这一结果并非偶然，事实上它被后来更多地区或国家的统计数据所肯定：存在常数，使得之间的关系为由前面公式，易得得道格拉斯生产函数：

等价于

2.劳动生产率增长的条件

：根据假设3，劳动生产率持续增长的条件应为恒成立。

将代入，得两边同时取对数，然后对t求导，可得：持续增长的条件应为两边同时取对数，然后对t求导，可得：

说明持续增长的条件应为对生产资料投入的相对增长率要恒大于劳动力的相对增长率。根据模型假设有如下初值问题模型：解之，得，

此时有其恒取正值的充分必要条件为说明早期投资是有决定性意义的！

简单推导易得

知当时上式右端趋于零，说明劳动生产率最终趋于一常数值。

市场中当某种商品的上市量远大于需求量时，会出现价格下降的情况，使生产者在后续的生产中就不生产或少生产该商品。结果是导致该商品上市量变少使该商品供不应求又导致价格上涨，此时，生产者又重操旧业大量生产该商品，以致下个时期又重现价格下降的局面。如果没有外界的干预，该情况会不断循环出现。请尝试用数学建模的方式表述和研究该现象，用你的研究结果提出合理化建议对付市场经济中的这个问题。3.4市场经济中的蛛网模型1.商品的价格只由商品的供需数量决定；2.商品的数量只由商品的价格大小决定。模型假设商品的生产时间可以用时段（也称时期）表示，一个时段表示的是商品的一个生产周期，例如人们常说的种植周期，饲养周期等。问题分析从上图可知，商品的价格和数量是震荡的。在现实中，这种震荡可能越来越大，也可能越来越趋向平稳。本节主要讨论基于市场经济不稳定时，这种震荡呈现什么样的状况，而政府此时应该怎样采取措施保持经济的稳定。在市场经济中，商品生产的特点可以用如下图示表示数量增多价格下降生产量减少数量减少价格上涨产量增多

--------------------------------------------------------------------------模型建立设第k时段商品数量为，价格，由假设和分析有而下一时段的数量由上一时段的价格决定，有称为需求函数，是单调下降的

称为供应函数，是单调上升的

为讨论方便，假设需求函数和供应函数都是直线，分别用D和S表示，则需求与供应的变化可以用平面坐标系中形如蜘蛛网的如下几种类型的图形描述：收敛型蛛网封闭型蛛网发散型蛛网模型讨论

从图形上可知，一旦需求曲线和供应曲线被确定下来，商品数量和价格是否趋向稳定就完全由这两条曲线在附近的形状决定。观察比较上述图的不同，可以发现D和S的陡缓不同，即斜率的不同直接影响着该经济活动的稳定性。记D的斜率绝对值为，S的斜率为，图形直观告诉我们：是稳定的

不稳定的

封闭的