2022-2023学年河南省驻马店市高二下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省驻马店市高二下学期期中数学试题一、单选题1．等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【详解】试题分析：由数列为等比数列，且成等差数列，所以，即，因为，所以，解得：，根据等比数列前n项和公式．【解析】1．等比数列通项公式及前n项和公式；2．等差中项．2．已知能够被15整除，则的一个可能取值是（

）A．1 B．2 C．0 D．【答案】D【分析】利用二项展开式写出，由展开式可知需要能被15整除，结合选项可得答案.【详解】,75能够被15整除，要使原式能够被15整除，则需要能被15整除，将选项逐个检验可知的一个可能取值是，其他选项均不符合题意，故选：D3．已知，若直线：与直线：平行，则它们之间的距离为（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根据题意结合两直线平行求得，再代入两平行线间距离公式运算求解.【详解】若直线：与直线：平行，则，解得或，当时，直线：与直线：平行；当时，直线：与直线：平行；综上所述：若直线与直线平行，则或.∵，则，此时直线：，直线：，故直线、之间的距离.故选：A.4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题．现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（

）A．55 B．49 C．43 D．37【答案】A【分析】由条件写出通项公式，即可求解.【详解】正整数中既能被3除余1且被2除余1的数，即被6除余1，那么，有.故选：A5．设抛物线的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为，则（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】根据几何图形，结合抛物线的定义的性质，即可判断.【详解】依题意，，，，又，，则为等边三角形，有，故选：B6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为36寸，盆底直径为12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中积水的深度恰好是盆深的一半，则平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）（

）A．寸 B．2寸 C．寸 D．3寸【答案】C【分析】由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口面积得答案．【详解】如图，由题意可知，天池盆上底面半径为18寸，下底面半径为6寸，高为18寸．积水深9寸，水面半径为寸，则盆中水的体积为（立方寸）．平地降雨量等于（寸．故选：C．7．已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定不等式构造函数，借助导数确定函数的单调性，再解不等式作答.【详解】令，，因为，则，因此函数在上单调递减，则，解得，所以的解集为.故选：C8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，若是“斐波那契数列”，则的值为（

）.A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】由已知数列的特点依次求出，，，的值，发现这些数依次为，进而可求出答案【详解】由题设可知，斐波那契数列为：其特点为：前两个数为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，由此可知：，，，，，则.故选：B.二、多选题9．袋中装有除颜色外完全相同的3个红球和6个白球，从袋中一次抓出2个球，记事件A=“两球同色”，事件B=“两球异色”，事件C=“至少有一红球”，则（

）A．事件A与事件B是对立事件 B．事件A与事件B是相互独立事件C． D．【答案】ACD【分析】由对立事件的定义可判断A选项；利用独立事件的定义可判断B选项；由古典概型的概率公式求解判断C选项；利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可判断D选项．【详解】对于A选项，由对立事件的定义可知，事件A、B互为对立事件，A对；对于B选项，，，，显然，故B不正确；对于C选项，，，所以，故C正确；对于D选项，，故D正确，故选：ACD．10．函数f(x)＝b（x-a）2（x-b）的图象可以是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】首先根据解析式确定零点类型，再结合图象，判断选项.【详解】由函数解析式可知，是不变号零点，是变号零点，A.由图可知，变号零点是0，则，则，不成立，故A错误；B.由图可知，变号零点小于0，不变号零点为0，则，此时，当，，当，，当时，，满足图象，故B正确；C.由图可知，，，当时，，当时，，当时，，满足图象，故C正确；D.由图可知，，，当时，，与图象不符，所以D错误.故选：BC11．在平行六面体中，已知，则下列说法错误的是（

）A．为中点，为中点，则与为异面直线B．线段的长度为C．为中点，则平面D．直线与平面所成角的正弦值为【答案】ABD【分析】利用棱台的定义判断A，利用空间向量的数量积运算律求解B,利用线面平行的判定定理判断C，利用线面角的定义判断D.【详解】对于A，如图，连接，为中点，为中点，由图可知，且设则重合，即与相交，故A错误；对于B，因为，所以，所以所以,故B错误；因为为中点，连接交于点，再连接，则在中，，平面，平面,所以平面，C正确；对于D:在平行六面体中，四边形是菱形，则,又,所以，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，过点作于点，平面平面，平面所以平面，所以直线与平面所成角为，，所以,所以，所以，故D错误；故选:ABD.12．已知直线l：y=kx+m与椭圆交于A，B两点，点F为椭圆C的下焦点，则下列结论正确的是（

）A．当时，，使得B．当时，，C．当时，，使得D．当时，，【答案】BCD【分析】对于A，将直线的方程与椭圆方程联立，求出的取值范围，可求得的取值范围，可判断A选项；求出线段中点的轨迹方程，可求得的取值范围，可判断B选项；将直线的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式结合可求得的取值范围，可判断C选项；求出线段中点的轨迹方程，可求得的最小值，可判断D选项.【详解】在椭圆中，，，，由题意可得，上焦点记为，对于A选项，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，，所以，，故A错误；对于B选项，设线段的中点为，由题意可得，两式作差可得，因为直线的斜率存在，则，所以，，整理可得，又因为，消去可得，其中，所以，，所以，，故B正确；对于C选项，当时，直线的方程为，即，联立可得，，解得，由韦达定理可得，，，同理，所以，，因为，所以，当时，，使得，故C正确；对于D选项，设线段的中点为，由B选项可知，，即，即，由可得，故点的横坐标的取值范围是，而点到直线的距离为，由可得，当且仅当点时，取最小值，故D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛:圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略:(1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围;(2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;(3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围;(4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围;(5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.三、填空题13．已知直线与曲线相切，则m的值为______．【答案】1【分析】求出函数的导数，设切点为，利用导数的几何意义求出切点坐标，代入切线方程，即可求得答案.【详解】由题意，可得，直线与曲线相切，设切点为，则，则，即切点为，将该点坐标代入，可得，故答案为：114．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．（结果用分数表示）附参考数据：；；．【答案】【分析】计算出和，然后利用条件概率公式可得出的值.【详解】由题意可知，，事件为，，，所以，，，由条件概率公式得，故答案为.【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布原则计算概率，解题时要将相应的事件转化为正态分布事件，充分利用正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题.15．函数的最小值为______．【答案】0【分析】求出函数定义域，对分段去绝对值，当时，分析函数的单调性；当时，利用导数分析函数的单调性并求最小值，即可得到的最小值．【详解】解：函数的定义域为．当时，，此时函数在上为减函数，当时，，则，所以在上单调递增，在上是连续函数，当时，单调递减，当时，单调递增．当时取得最小值为．故答案为：0．16．已知函数，数列满足，给出下列两个条件：①函数是递减函数；②数列是递减数列.试写出一个满足条件②但不满足条件①的函数的解析式：__________.【答案】（答案不唯一，均可）【分析】若函数是递减函数，则恒成立，由此可得不是递减函数的条件为，后结合任意，函数，，可得满足题意的的范围.【详解】若函数是递减函数，则在恒成立.则.则若在上不是递减函数，可得；数列是递减数列，等价于对任意，函数，，又，，则在上单调递减.则可使满足：，则取即可满足②，不满足①.故答案为：（答案不唯一，均可）四、解答题17．已知函数，.(1)若为的极小值点，求的值；(2)若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求导，根据导数判断极值情况，进而确定参数值；（2）求导，根据导数的几何意义可得切线方程，进而确定参数值及最值情况.【详解】（1），则，为的极小值点，，解得或，当时，，令，解得，单调递增极大值单调递减极小值单调递增此时是的极小值点；当时，，令，解得或，单调递增极大值单调递减极小值单调递增此时是的极大值点，不成立；所以；（2）在上，，在上，，又，，解得，，，，令，解得或，单调递增极大值单调递减极小值单调递增，，，，所以函数在区间上的最大值为．18．已知数列，满足：，，.(1)求证：数列是等比数列；(2)若___________（从下列三个条件中任选一个），求数列的前项和.①；②；③.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：因为，所以，所以，又因为，所以数列是首项为1公比为的等比数列；（2）由（1）知，又因为，所以数列为常数列.若选条件①或③，均可得，所以，所以.若选②，因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以.19．已知四棱锥中，平面，，，，，．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)线段上是否存在一点M，使得平面？若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)不存在点M，理由见解析【分析】（1）求出相关线段的长，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面的一个法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案；（2）假设存在满足条件的点M，表示出其坐标，利用向量的垂直列出方程，根据方程解的情况可得出结论.【详解】（1）因为，BC⊥AB，所以AD⊥AB．又因为，，所以．因为平面，平面，平面，所以．又，所以．以A为坐标原点，以所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．所以，，．设平面的法向量为，则，即，得，令，可得平面的一个法向量为．设直线与平面所成的角为，，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．另解：如图，连接AC．因为，BC⊥AB，所以AD⊥AB．因为，，所以．因为BC⊥AB，所以．因为平面，平面，平面，平面，所以．因为，所以，．所以，．设点C到平面的距离为h，由，得，即，解得．设直线与平面所成的角为，，则．所以直线与平面所成角的正弦值为．（2）不存在点M，理由如下：假设存在满足条件的点M（如图）．可设，，所以，所以．又由（1）知为平面的一个法向量，所以，即，无解．所以线段PB上不存在满足条件的点M．另解：不存在点M，理由如下：假设存在满足条件的点M，由平面，平面，平面，得，且，因为平面，平面，所以．因为，且，平面，平面，所以平面．又平面，所以．若存在满足条件的点M，则点M必与点B重合．又与不垂直，所以线段上不存在满足条件的点M．20．区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术．区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2018年至2022年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列．现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表：年份20182019202020212022编号x12345企业总数量y（单位：千个）2.1563.7278.30524.27936.224(1)根据表中数据判断，与（其中e＝2.71828…为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）(2)根据（1）的结果，求关于的回归方程；（结果精确到小数点后第三位）附：线性回归方程中，，参考数据：，，，(3)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛，比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？【答案】(1)适宜(2)(3)甲公司获得“优胜公司”的概率最大【分析】（1）根据增加速度逐渐变快即可得解；（2）对两边取自然对数，得，转化为线性相关，再利用最小二乘法求出线性回归方程，再转化为关于的回归方程即可；（3）对于首场比赛的选择分A：甲与乙先赛；B：甲与丙先赛；C：丙与乙先赛，三种情况讨论，分别求出对应概率，即可得出结论.【详解】（1）根据表中数据可知增加的速度逐渐变快，所以回归方程适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；（2）对两边取自然对数，得，令，得,由于，，，则，，∴关于的回归直线方程为，则关于的回归方程为；（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A：甲与乙先赛；B：甲与丙先赛；C：丙与乙先赛，由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，则甲公司获胜的概率分别是，，，由于，∴甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大．21．过点的动直线与双曲线交于两点，当与轴平行时，，当与轴平行时，．(1)求双曲线的标准方程；(2)点是直线上一定点，设直线的斜率分别为，若为定值，求点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据与坐标轴平行的情况可得双曲线上的点的坐标，代入双曲线方程即可求得结果；（2）方法一：由三点共线可整理得到，代入双曲线方程可整理得到，结合两点连线斜率公式可化简得到，根据为常数可构造方程求得，进而得到点坐标，验证可知符合题意；方法二：设，与双曲线方程联立可得一元二次方程，根据该方程的根可化简得到，同理可得，由此可化简得到，由为常数可构造方程求得点坐标，验证可知当直线斜率为和斜率不存在时依然满足题意，由此可得结论.【详解】（1）由题意可知：双曲线过点，，将其代入方程可得：，解得：，双曲线的标准方程为：.（2）方法一：设，点与三点共线，，（其中，），，，又，整理可得：，当时，，，不合题意；当时，由得：，设，则，，若为定值，则根据约分可得：且，解得：；当时，，此时；当时，为定值.方法二：设，直线，由得：，为方程的两根，，则，由得：，由可得：，同理可得：，则，若为定值，则必有，解得：或或，又点在直线上，点坐标为；当直线斜率为时，坐标为，若，此时；当直