2022-2023学年河南省郑州市高二下学期5月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省郑州市高二下学期5月月考数学试题一、单选题1．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】B【分析】根据正态分布的性质，利用其概率公式，可得答案.【详解】由题意可知，变量所作的正态曲线关于直线对称，则，，故.故选：B.2．已知等差数列的前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】利用下标和性质和前n项和公式可判断的符号，然后可得.【详解】设等差数列的公差为d，因为，所以又，所以所以等差数列的前5项为正数，从第6项开始为负数，所以当时，取得最大值.故选：A3．已知的展开式中各项的二项式系数之和为256，则展开式中的常数项为（

）A． B． C．40 D．70【答案】D【分析】先由求得n，再利用的展开式的通项求解常数项.【详解】因为的展开式中各项的二项式系数之和为256，所以，解得，则的展开式的通项为，令，解得，所以展开式中的常数项为，故选：D.4．函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调递增区间.【详解】函数的定义域为，又，令，即，即，所以，所以的单调递增区间为.故选：C5．某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮次，每罚进一球记分，不进记分，已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二项分布数学期望公式可求得该同学罚球命中次数的数学期望，结合罚球得分的规则可计算得到结果.【详解】记该同学罚球命中的次数为，则，，该同学得分的数学期望为.故选：D.6．在数列中，已知且，则其前项和的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将展开，根据题中递推公式进行分组求和，再利用等差数列前n项和公式计算求解即可.【详解】.故选：C7．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”.若各项均为正数的等比数列是一个“2023积数列”，且，则当其前n项的乘积取最小值时n的值为（

）A．1011 B．1012 C．2022 D．2023【答案】A【分析】根据“m积数列”判断出的单调性，再根据具体数据找出满足的最后一项，即可得到选项.【详解】根据“2023积数列”性质可知，即，根据等比中项性质可知：，因为，且，所以前1011项都是小于1的，从第1012项开始往后的都是大于1的，即为递增的等比数列，且，则当其前n项的乘积取最小值时n的值为1011.故选：A.8．设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用作商法，结合对数函数的单调性，可得答案.【详解】由题意可得：，，由，则；，令，，由，则，即；综上可得：.故选：A.二、多选题9．已知是两个随机事件，，下列命题正确的是（

）A．若相互独立， B．若事件，则C．若是对立事件，则 D．若是互斥事件，则【答案】ABD【分析】利用条件概率、相互独立事件判断A；利用条件概率的定义判断B；利用条件概率及对立、互斥事件的意义判断C，D作答.【详解】对于A，随机事件相互独立，则，，A正确；对于B，事件，，，B正确；对于C，因是对立事件，则，，C不正确；对于D，因是互斥事件，则，，D正确.故选：ABD10．对任意实数，有.则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】求得的值判断选项A；求得的值判断选项B；求得的值判断选项C；求得的值判断选项D.【详解】由，可得，当时，，则，A选项错误；由二项式定理可得，，B选项错误；当时，，即，C选项正确；当时，，即，D选项正确.故选：CD11．现将把椅子排成一排，位同学随机就座，则下列说法中正确的是（

）A．个空位全都相邻的坐法有种B．个空位中只有个相邻的坐法有种C．个空位均不相邻的坐法有种D．4个空位中至多有个相邻的坐法有种【答案】AC【分析】对于A，利用捆绑法结合排列数；对于B，利用插空法结合排列数；对于C，利用插空法结合排列组合；对于D，根据分类加法原理结合插空法，可得答案.【详解】对于A，将四个空位当成一个整体，全部的坐法：种，故A对；对于B，先排4个学生，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入由4个学生形成的5个空档中有种方法，所以一共有种，故B错；对于C，先排4个学生，4个空位是一样的，然后将4个空位插入由4个学生形成的个空档中有种，所以一共有种，故C对；对于D，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C可知都不相邻的有120种，空位两个两个相邻的有，空位只有两个相邻的有，所以一共有种，故D错；故选：AC.12．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（

）A．2次传球后球在丙手上的概率是B．3次传球后球在乙手上的概率是C．3次传球后球在甲手上的概率是D．n次传球后球在甲手上的概率是【答案】ACD【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断ABC，n次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式可得，再构造等比数列求解即可判断D.【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1个结果，所以概率是，故A正确；第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为:甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为，故B错误；3次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为，故C正确；n次传球后球在甲手上的事件记为，则有，令，则于是得，故，则，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则有，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以即，故D正确.故选：ACD三、填空题13．在等比数列中，，是函数的极值点，则＝__________.【答案】【分析】根据极值点的必要条件，可得，是函数的零点，结合零点的定义以及二次方程根的性质，利用等比数列中等比中项的性质，可得答案.【详解】由函数，则其导数，由，是函数的极值点，则，是函数的零点，即，是方程的两个解，故，在等比数列中，，且同号，即，故.故答案为：.14．接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为，而接种了疫苗的感染率为.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为___________【答案】【分析】根据条件概率公式求解即可.【详解】设事件“感染流行感冒”，事件“未接种疫苗”，则，，故.故答案为：．15．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是___________.①；②；③；④.【答案】②③【分析】根据题意可知小球每次碰到小木钉后落下都是独立重复实验，根据独立重复实验概率计算规则计算即可.【详解】由题意可知，的所有取值为，则，由对称性可知，,，所以.故答案为：②③16．已知e是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是________．【答案】/【分析】根据给定的不等式，两边同乘x，利用同构的思想构造函数，借助函数单调性求得恒成立的不等式，再分离参数构造函数，求出函数最大值作答.【详解】由得，即，令，求导得，则在上单调递增，显然，当时，恒有，即恒成立，于是当时，，有，从而对恒成立，即对恒成立，令，求导得，则当时，；当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则，所以实数m的最小值是．故答案为：【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，将不等式等价转化，利用同构思想，构造新函数，借助函数的单调性分析求解.四、解答题17．彭老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的7篇，求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．【答案】(1)分布列见解析(2)【分析】（1）根据已知条件求出随机变量的取值，求出对应的概率，即可得出随机变量的分布列；（2）根据已知条件及随机变量的分布列的性质即可求解.【详解】（1）由题意可知，的可能取值为，则,,.所以的分布列为（2）该同学能及格，表示他能背诵篇或篇，由（1）知，该同学能及格的概率为.18．已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由成等比数列得首项，从而得到通项公式；（2）利用裂项相消求和可得答案.【详解】（1）设数列的公差为，∵成等比数列，∴，即，∴，由题意故，得，即.（2），∴．19．已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求导可得，分和进行讨论即可得解；（2）根据题意参变分离可得恒成立，令，求出的最大值即可得解.【详解】（1）依题意，，当时，显然，所以在上单调递增；当时，令，得；令，；即在上单调递增，在上单调递减．（2）由题意得恒成立，等价于恒成立，令，即时成立．则，当时，，当时，，那么在上单调递增，在上单调递增减，所以，所以．20．已知等差数列的前项和为，，．正项等比数列中，，．(1)求与的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式即可求的通项公式.（2）利用错位相减法整理化简即可求得前项和．【详解】（1）等差数列的前项和为，，，设公差为所以，解得所以正项等比数列中，，，设公比为所以，所以解得，或（舍去）所以（2）由（1）知：所以两式相减得：21．第届亚运会将于年月日至月日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为、、，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．(1)求这人中至多有人通过初赛的概率；(2)求这人中至少有人参加市知识竞赛的概率；(3)某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励元；方案二：只参加了初赛的选手奖励元，参加了决赛的选手奖励元．若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．【答案】(1)(2)(3)方案二更好，理由见解析【分析】（1）计算出人全通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）计算出人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为随机变量的所有可能取值，并求出对应的概率，求出其期望，比较大小作答.【详解】（1）解：人全通过初赛的概率为，所以，这人中至多有人通过初赛的概率为.（2）解：甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为，丙参加市知识竞赛的概率为，所以，这人中至少有人参加市知识竞赛的概率为.（3）解：方案一：设三人中奖人数为，所获奖金总额为元，则，且，所以元，方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为元，则的所有可能取值为、、、，则，，，，所以，.所以，，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．22．已知函数．(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的极小值；(2)若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求得，然后结合的单调性求得的极小值.（2）将不等式转化为，通过构造函数法，结合导数来求得的取值范围.【详解】（1）因为的