2022-2023学年河南省平顶山市高二下学期期中考试数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省平顶山市高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．抛物线的准线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先把抛物线化成标准方程，求出，即可得到准线方程.【详解】抛物线的标准方程为：，令，得，于是该抛物线的准线为：.故选：A2．若随机变量的分布列如表：则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用分布列可求得的值.【详解】由分布列可得.故选：C.3．在等比数列中，，，则数列的公比为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【分析】设等比数列的公比为，根据题意和等比数列的通项公式，即可求解.【详解】已知等比数列中，，，则，可得.故选：B.4．甲同学参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行，已知在备选的8道试题中，甲能答对其中的4道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出4道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依据古典概型去求时的概率【详解】在备选的8道试题中，甲能答对其中的4道题.则从备选题中随机抽出4道题进行测试，答对3道题的概率．故选：D．5．已知集合，，其中，若中有且仅有两个元素，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】集合和中的元素构成两个圆，由题意可得两圆相交，根据圆心距小于半径之和大于半径之差的绝对值列不等式，解不等式即可求解.【详解】由可得集合中的元素构成以为圆心，半径为的圆；由可得集合中的元素构成以为圆心，半径为的圆；若中有且仅有两个元素，则两个圆相交；可得，即，解得：，所以的取值范围为，故选：C.6．英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（

）A．0.01 B．0.0099 C．0.1089 D．0.1【答案】C【分析】利用条件概率的概率公式求解即可.【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件，则，，，，故所求概率，故选：C.7．等差数列的前项和为，若，则满足的最小的正整数的值为（

）A．31 B．32 C．33 D．34【答案】C【分析】根据等差数列等差中项的概念及推论，结合前项和公式化简判断.【详解】由，可得，又由，则有，，所以，，，可得当时，，故选：C.8．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函数满足，构造函数，得出的单调性，解不等式即可.【详解】令，则，所以在R上单调递增，由，得，即，又在R上单调递增，所以，解得，即不等式的解集为.故选：A.二、多选题9．已知直线，直线，若，则实数a可能的取值为（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】BC【分析】由，可得，即可得出答案.【详解】解：因为，所以，解得或1．故选：BC.10．对于的展开式，下列说法正确的是（

）A．展开式共有8项B．展开式中的常数项是70C．展开式中各项系数之和为0D．展开式中的二项式系数之和为64【答案】BC【分析】利用二项式定理和二项式系数的性质判断各选项.【详解】的展开式共有9项，故A错误；展开式中的常数项为，故B正确；令，则展开式中各项系数之和为，故C正确；展开式中的二项式系数之和为，故D错误.故选：BC11．已知双曲线C：，则（

）A．双曲线C也叫等轴双曲线B．双曲线C的一个焦点F到一条渐近线的距离为C．若过原点的直线l与双曲线C相交，则直线l的倾斜角的取值范围为D．直线l过双曲线C的右焦点F，且直线l与双曲线的一条渐近线平行，直线l与双曲线C相交于点A，与双曲线C的另一条渐近线相交点于B，则点A是线段BF的中点【答案】ACD【分析】对于A，由双曲线定义可以判断；对于B，由点到直线的距离公式求得结果进行判断；对于C，直线l的斜率与双曲线的渐近线的斜率进行比较，得出直线l的倾斜角的取值范围；对于D，设，联立方程求出A，B的横坐标，通过中点坐标公式进行判断.【详解】对于A，由双曲线C：，可得，则，可知A正确；对于B，由双曲线C的渐近线方程为，右焦点的坐标为，可求得焦点F到直线的距离为，故B错误；对于C，由双曲线C的渐近线方程为，若直线l与双曲线相交，只需要直线l的斜率，则，可求得直线l的倾斜角的取值范围为，故C正确；对于D，如下图，由双曲线C的渐近线方程为，直线与双曲线的一条渐近线平行，设，可知△OBF为等腰直角三角形，，可知点B的横坐标为，联立方程，解得，点A的横坐标为，由中点坐标公式，，可知点A为线段BF的中点，故D正确.故选：ACD.12．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，的图象位于轴下方B．有且仅有一个极值点C．有且仅有两个极值点D．存在，使得【答案】AB【分析】利用导数与极值、最值的关系求解即可.【详解】当时，，，所以，故A正确；由题意知，，令，在恒成立，所以在上单调递减，又，，所以，使得，即，所以当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以有且仅有一个极值点.故B正确，C错误；所以，故D错误，故选:AB.三、填空题13．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______.【答案】－1【分析】求f(x)在x=0处导数值，根据导数的几何意义即可计算．【详解】，则，则，解得．故答案为：－1．14．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问这个人最后一天走了______里路.【答案】6【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,设该数列为,其前项和为则有,解得,故.四、双空题15．已知抛物线的准线为，点为抛物线上的一个动点，则点到准线和直线的距离之和的最小值为__________，此时点的坐标为__________.【答案】【分析】根据抛物线的定义把点到的距离转化到点到焦点的距离，就是求点到直线的距离，从而能求出直线，与抛物线联立可求点的坐标.【详解】设过点分别向和作垂线，垂足分别为，因为抛物线的焦点，由抛物线的定义得：，所以只需要求最小即可.当且仅当三点共线时最小，且最小值为点到直线的距离，即.此时直线与垂直，所以，所以直线为：直线与抛物线联立得，即，且所以，故点答案为：

16．已知数列的前n项和为，且满足.则数列的通项公式为________，的最大值为________.【答案】/0.4【分析】空①利用求出，然后构造等比数列求数列的通项公式；空②判断数列的单调性，得出的最大值.【详解】空①,由可得，当时，，则，有，有，即.可得数列成等比数列，有，可得.空②,记，有，可得，当时，，有.故答案为：；.五、解答题17．已知的展开式中，第4项为．(1)求正整数n的值；(2)求的展开式中的系数．【答案】(1)5(2)10【分析】（1）由二项式定理求得第4项，由已知第4项的系数与指数列方程组可得；（2）写出展开式通项公式，确定所在项数，从而得结论．【详解】（1）的展开式中，第4项为，可得，解得，故正整数n的值为5．（2）的展开式中第项为，其中，1，2，3，4，5，令，可求得，故展开式中的的系数为．18．（1）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，有多少种排法？（2）一场班级元旦晚会有4个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单，第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？（3）从4个男青年教师和5个女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种选法？【答案】（1）；（2）；（3）；【分析】（1）利用捆绑法计算可得；（2）首先选2个唱歌节目排在首尾，其余全排列，按照分步乘法计数原理计算可得；（3）分安排2名男生和2名女生、3名男生和1名女生两种情况讨论，按照分类加法计数原理计算可得；【详解】解：（1）依题意甲、乙、丙3人必须相邻，则将甲、乙、丙3人捆绑在一起，则排法有种；（2）首先选出2个唱歌节目排在首尾，剩下的4个节目在中间排列，排法有种；（3）依题意，问题可以分为两类：第一类，安排2名男生和2名女生参加，则有种选法；第一类，安排3名男生和1名女生参加，则有种选法；根据分类加法计数原理可得一共有种选法；19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，O为BD的中点，，．(1)证明：平面ABCD；(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，利用勾股定理证明，又可证明，根据线面垂直的判定定理证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面和平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【详解】（1）证明：如图，连接，在中，由，可得，因为，，所以，，因为，，，则，故，因为，，，平面，则平面；（2）解：由（1）可知，，，两两垂直，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，，，0，，，0，，，2，，，0，，所以，则，，，又，设平面的法向量为，则，令，则，，故，设平面的法向量为，因为，所以，令，则，，故，所以，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．20．已知正项数列满足，且．(1)求数列的通项公式；(2)记，记数列的前n项和为，证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）先利用题给条件求得数列的通项公式，进而求得数列的通项公式；（2）利用得到，再利用裂项相消法求得数列的前n项和，进而得到.【详解】（1）数列中，，由，可得又，则数列是首项为1公差为1的等差数列，则，则数列的通项公式为（2）由（1）知，则则数列的前n项和由，可得，即．21．已知函数．(1)若，证明：在上存在唯一的零点；(2)若，证明：当时，．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）利用导数判断出函数的单调性，再由零点存在性定理求证即可；（2）求出函数导数，分析当时，导数大于等于0，利用函数单调递增，求出函数的最小值即可证明.【详解】（1）当时，，故，，当时，，所以函数在上单调递减，又，，由零点存在性定理知，在上存在唯一的零点.（2），，当时，，令，当时，，，当时，令，则，故时，，单调递增；时，，单调递减，故当时，，，，综上可知，时，，故，在时单调递增，所以，即当时，．22．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：，椭圆：，点P为椭圆的上顶点，点A，C为椭圆上关于原点对称的两个动点.斜率为的直线PA与椭圆交于另一