函数的平均变化率

人教B版高中数学必修第一册

§3.1.2

函数的平均变化率函数的平均变化率

我们已经知道，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，这一结论当然也成立.一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1≠x2时，称为直线AB的斜率；当x1=x2时，称直线AB的斜率不存在.直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度.

若记Δx=x2-x1，相应的Δy=y2-y1，则当Δx≠0时，斜率可记为解为

如下图所示，直线AB的斜率即为Rt△ACB中BC与AC的比.另外，图中，直线AB的斜率大于零，而直线AD的斜率小于零.

不难看出，平面直角坐标系中的三个点共线，当且仅当其中任意两点确定的直线的斜率都相等或都不存在.

下面我们用直线的斜率来研究函数的单调性.

由函数的定义可知，任何一个函数图像上的两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在.

如下图所示，观察函数图像上任意两点连线的斜率的符号与函数单调性之间的关系，并总结出一般规律。

可以看出，函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于0，函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于0

一般地，若I是函数y=f（x）的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1=f（x1），y2=f（x2），（即），则：（1）y=f（x）在I上是增函数的充要条件是在I上恒成立；（2）y=f（x）在I上是减函数的充要条件是在I上恒成立。

一般地，当x1≠x2时，称

为函数y=f（x）在区间[x1，x2]（x1<x2时）或[x2，x1]（x1>x2时）上的平均变化率。

利用上述结论，我们可以证明一个函数的单调性.

例如，对于函数y=-2x来说，对任意x1，x2∈R且x1≠x2，有

因此y=-2x在R上是减函数.【例1】

已知函数f(x)＝2x2＋1.

(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；(2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率；求函数f(x)在[x1，x2]上的平均变化率的方法步骤是：(1)先求Δx＝x2－x1；(2)再求Δy＝f(x2)－f(x1)；利用函数递增递减的充要条件证明单调性的步骤(1)设任意x1，x2∈I⊆定义域，且x1≠x2；例3求证：函数y=在区间（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数

例4判断一次函数y=kx+b（k≠0）的单调性.解设x1≠x2，那么

因此，一次函数的单调性取决于k的符号：当k>0时，一次函数在R上是增函数；当k<0时，一次函数在R上是减函数.

例4说明，一次函数y=kx+b（k≠0）的图像上任意两点确定的直线斜率均为k，这实际上也说明了一次函数的图像一定是直线。不仅如此，此时从=k还可以看出，Δy=kΔx，这就意味着在一次函数中，Δy与Δx成正比，且比例系数为k.特别地，当自变量每增大一个单位时，因变量增大k个单位，而且可以证明，只有一次函数才具有这个性质.事实上，如果Δy=kΔx，设x=0时函数值为y0，则

y-y0=k（x-0）

即y=kx+y0，因此一定是一次函数.正因为如此，一次函数也经常被称为线性函数.

例如，如果向给定的容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，那么容器内水面的高度y是时间t的函数。

当容器是下图（1）所示的圆柱时，在固定的Δt时间内，Δy应该是常数，因此函数的图像是如下图（2）所示的一条线段.

当容器是如下图（1）所示圆台时，由容器的形状可知，在固定的Δt时间内，随着t的增加，Δy应该越大，因此函数的图像如图（2）所示。例5证明函数f（x）=x2+2x在（-∞，-1]上是减函数，在[-1，+∞）上是增函数，并求这个函数的最值.当然，这一结论也可以从二次函数的图像是关于x=对称的抛物线与开口方向看出来.【例3