《线性代数》复习资料

《线性代数》课程期末复习资料一．客观题（一） 选择题k12）.1.行列式0的充分必要条件是（2k1(A)k1(B)k3(C)k1且k3(D)k1或k3（选C.需先将行列式算出)1022.若3120,则1,2必须满足（）.101(A)12,20(B)122(C)12,2可为任意数(D)1,2均可为任意数（选C.需先将行列式算出)1a113.已知行列式D11b1,则D().111b(A)ab2b2(B)(a1)b2(C)ab2(D)ab2（选B.需先将行列式算出)a114.行列式0100的充分必要条件是（）.4aa(A)a2(B)a2(C)a2(D)a2（选 D.需先将行列式算出)a01111a1005.10a20().(其中a1a2an0)100annn1nai.(D)（A）0.(B)(ai)(a0).(C)i1i1aii1nai.i0（选B.需先将行列式算出)bccaab6.设a,b,c两两互不相同，则行列式Dabc0的充分必要a2b2c2条件是().(A)abc0(B)abc(ba)(ca)(cb)(C)(abc)(ba)(ca)(cb)0(D)(ba)(ca)(cb)1（答案：选A.）7.如果线性方程组2xkyc1(c,c为不等于零的常数）有唯一解，则kx2yc212k必须满足（）.(A)k0(B)k2或k2(C)k2或k2(D)k2且k2（选D）1318.乘积2140012().1134131402(A)6786782056(B)5620123(D)768(C)5620564（选A.按矩阵乘法定义计算)9.若A,B都是三阶可逆矩阵，则下列结论不一定正确的是().(A)(AB)TBTAT.(B)(AB)1B1A1.(C)(AB)BA.(D)(AB)2B2A2.（选D.注意：问的是：不一定正确者)若β(0,k,k2)能由α (1 k,1,1),α (1,1 k,1),α (1,1,1 k)1 2 3唯一线性表示，则 k等于（ ）.(A) k 0 (B) k 3 (C) k 0 且k 3 (D) k任意.（选C. ）11. 设向量组 B:b1,b2, ,br能由向量组 A:a1,a2, ,am线性表示，则( ).(A)(B)(C)(D)

当当当当

m时，向量组A必线性相关m时，向量组A必线性相关m时，向量组B必线性相关m时，向量组B必线性相关（选 D.解法提示：用反证法排除其余三种可能 )12. 设A为n阶方阵，以下结论中成立的是（ ）．(A) 若A可逆，则矩阵 A属于特征值 的特征向量也是矩阵A11的特征向量．的属于特征值(B)A的特征向量即为方程(EA)xo的全部解．(C)若A存在属于特征值的n个线性无关的特征向量，则AE．(D)A与AT不可能有相同的特征值．（选A）13.n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角矩阵相似的().(A)充分必要条件(B)充分而非必要条件(C)必要而非充分条件(D)既非充分也非必要条件（选B.）14.设A,B均为n阶矩阵，且A与B合同，则（）.(A)A与B相似(B)AB(C)A与B有相同的特征值(D)r(A)r(B)（选D）15. 若 a1ia23a35a5ja44是5阶行列式中带有正号的一项 , 则i,j的值应为（ ）.(A) i 1,j 3 (B)i 2,j 3 (C) i 1,j 2 (D) i 2,j 1（选C.）16.设D是n阶行列式,则下列各式中正确的是（）.nn(A)aijAij0,j1,2,,n(B)aijAijD,j1,2,,ni1i1nnaijAi0,i1,2,,n(C)a1jA1jD(D)jj1j1（选B.解法提示：根据行列式展开定理知选B.它是行列式按第j列展开的公式.）（二）判断题(对的,在后面的括号内打”V”,错的，打”X”）1x2117.方程21x10的解为x1=3,x2=3,x3=3.（）111x（解法提示：展开后解方程）a0b018.行列式0x0y的值等于(adbc)(xvyu).（）c0d00u0v（解法提示：直接按行列式展开）00λ119.行列式λ20λn.（）0=λ1λ2λn00n(n1)（第1章．.解法提示：正确答案是：(1)2n.）1220.排列32514的逆序数为5.（）（第1章．解法提示：分别计算每个数的逆序，再相加）n阶范德蒙行列式的计算公式是：111x1x2xnVn(xjxi).（）1ijnx1n1x2n1xnn1（解法提示：有公式）22.A11A.其中A是A的伴随矩阵.（）A（解法提示：有公式）23.关于逆矩阵,有性质：(AB)1B1A1.（）（解法提示：有公式）给定向量组A:a1,a2,,am，如果存在数k1,k2,,km使得k1a1 k2a2 kmam o,则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关 . （）（解法提示：要求k1,k2,,km不全为零）25.设n阶方阵A,B,C满足关系式ABC=E,其中E是n阶单位矩阵,则必有关系式BCA=E.（）（解法提示：由ABC=E知A,B,C均为可逆矩阵,且A与BC互为逆矩阵,因而BCA=E.）26.a11a12a13a14001a31a32a33a34设Aa21a22a23a24,则010Aa21a22a23a24.（）a31a32a33a34100a11a12a13a14（解法提示：利用矩阵乘法）二．主观题（三）填空题0a12a13a1n若n为奇数，则行列式Da120a23a2n27.a13a23a3n的值等于（）a1na2na3n0（答案D0.)abcd28.行列式Daababcabcd）.a2ab3a2bc4a3b2c等于（da3ab6a3bc10a6b3cd（第1章．答案：a4）29. 齐次线性方程组的解的结构是：齐次线性方程组的通解 =（ ）.（答案：（基础解系的全体线性组合 ）30. m×n矩阵阶Am×n的秩有性质：0≤r(Am×n)≤( ).（答案：min{m,n}.）对任意向量α和β，其模的性质有三角不等式：αβ≤().+（答案： α+ β.有公式）32.给定实二次型f(x1,x2,,xn),它对应的实对称矩阵为A，则我们可将它写成矩阵形式：f(x1,x2,,xn)=().（第5章．答案：xTAx.利用二次型的矩阵表示）33.矩阵12310123().方程2012X3011的解是X11011220(第2章.1314.)答案：1003212134.设A,B,C均为n阶方阵，且ABBCCAE,则A2B2C2().(第2章.答案：3E.)（四）计算题12111x2335.求三次方程0x0的解.02002x解x1 x2 2,x3 2.36.设Ax0,Buv,C3uA2BCO,试求7yy2x,且vx,y,u,v的值.(第2章x5,y6,u4,v2.)010，求A2012.37.已知A100001解A2012=(A4)503==E.要求复习时补上省掉的.123038.给定矩阵A0121,试求矩阵A的秩.2460解2.39. 设A 2 5,求A1.3解请复习时自己写出）12340.设A011,求A1.141解不存在逆矩阵.10041.设A013,求(A)T1.其中A是A的伴随矩阵.220152111,矩阵X满足AXA142.设矩阵A1112X,111其中A是A的伴随矩阵,求矩阵X.43.求未知量的值，使AB，其中x232zByz6Ax,18zy2.6y2y6z（第二章．按定义，先列出联立方程组，再解出：x11,y9,z3.要求会写出过程）a1a2a300144.已知AP10b1b2b3Pm,mN，其中P010,求矩阵c1c2c3100.（第二章．提示： P是交换一、三行的初等矩阵 , 矩阵左乘P10 相当于交换10次一、三行的位置，仍为原矩阵. 矩阵右乘 Pm 相当于交换 m次一、三列的位置. 故当 m为奇数时, A为原矩阵交换一、三列后的矩阵, 即a3 a2 a1b3 b2 b1 ；当m为偶数时, A为原矩阵.）c3 c2 c10001000100245.设n阶行列式A1,求A中所有元素的代数0000n110000n余子式之和.（第二章．提示:A中所有元素代数余子式,即A中的所有元素,其中A是矩阵A的伴随矩阵.而AAA1(n1)(n 2)(1)2

0001000100211,因此A中所有元素的代数余子n!0000n110000n(n1)(n 2)式之和, 即A 中的所有元素之和为 ( 1) 2

n(n 1)2n!

.)46.已知A22E,BA22A2E,证明B可逆,并求B的逆矩阵.（第二章．提示：由已知条件可得BA22AA3A(A2E)(AE),而由A22E,可推出A可逆，且A11A2；2(AE)(A2AE)E,即AE可逆,且(AE)1A2AE；由A38E10E,得(A2E)(A22A4E)10E,所以A2E可逆,且(A2E)11(A22A4E).于是B可逆,且可推出10B11(A23A4E).）1047.已知A,B均为三阶矩阵,且满足2A1BB4E,其中E是三阶单位120矩阵.试证明矩阵A2E可逆.若已给B120,求出矩阵A.002020A110.)002121148.已知方程组11kx2无解，试求k的值.5k834（第3章按定义，列出联立方程组.然后解方程组.可求出k0.要求会写出计算过程）.11049.设α2,β2,γ2,TT3β,试求此方程若αβxβγx1k1组的通解.（解 由于112kT212k242k,αβ112k1021T2021042,βγk02kk故所给的线性方程组可改写为14k13282k2x6.12k22k3k对其增广矩阵作初等行变换，使之化为阶梯形矩阵14k1314k13A282k26(r)02k2k13k3B.12k22k3k000014k13当k1时,此时A可化为矩阵B10213,易知0000r(A) r(B1) 2 3.故线性方程组有无穷多解：x1k13xx2c113,其中c1为任意常数.x322101423当k1时,此时A可化为矩阵B20000,易知0000r(A)r(B2)13.故线性方程组有无穷多解：x1423xx2c11c200,其中c,c为两个任意常数.）12x3010xyz1,50.已知方程组2x(a3)y3z3,有无穷多解,试求a,b的取值及2x(a1)ybza1方程组的解.（第3章答案：当a0,b1,方程组的通解为(0,1,0)Tk(0,1,1)T.当a1,b2,则方程组的通解为(0,0,1)Tk(1,1,0)T.要说明理由）51.设A,B都是n阶矩阵,且A2ABE,求矩阵(ABBA2A)的秩.（第4章答案：r(ABBA2A)=r(2A)=r(A)=n.）0ab52.已知向量组β11,β22,β31与向量组110139α12,α20,α36有相同的秩，且β3可由α1,α2,α3线性317表出，求 a,b 的值.（第4章b5,a15.）已知α是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,其中121A=13a,求a的值.a11260（第4章答案：因为A是43矩阵,基础解系中仅有一个解向量α,故3r(A)1,即r(A)2.而12112113a0110.）a1100,可见aa260004a12354.已知矩阵A=04a中a0,且齐次线性方程组Ax=0有非零解.1a9A*是A的伴随矩阵,试求齐次方程组 A*x=0的通解.（第4章答案：因齐次方程Ax=0有非零解,故123A04a242aa20.于是a6或a4.因a0,故取1a9a4.因r(A)=2,所以r(A*)=1.于是齐次方程组A*x=0有nr(A*)=312.又因A*A=AE=0,所以矩阵A的列向量是齐次方程组A*x=0的解.故A*x=0的通解为k1(1,0,1)T+k2(1,2,2)T.）55.设A是34矩阵,秩r(A)=1,若α1(1,2,0,2)T,α2(1,T,α(3,a,3,5)T,α4(1,T线性相关,且可以表1,a,5)31,1,a)示齐次线性方程组Ax=0的任一解,求Ax=0的基础解系.（第4章答案：因设A是34矩阵,秩r(A)=1,所以Ax=0的基础解系有nr(A)=3个解向量.由此知向量组α,α,α,α的秩为3,1234且其最大线性无关组就是 Ax=0的基础解系.对矩阵1121112121a1施行初等变换得03a410a310a31a,0255a0(a3)(a4)00当且仅当a3,4或1时，向量组α,ααα的秩为3,从而推出12,3,4α1,α2,α3是Ax=0的基础解系.）56.已知向量组（I）α1(1,3,0,5)T,α2(1,2,1,4)T,α3(1,1,2,53)T与向量组（II）β(1,3,6,1)T,βT等价，求a,b的值.12(a,0,b,2)（第4章答案a1,b3.解法提示：由于ααα3,只需考察122α1,α2与β1,β2的互相线性表出问题.作初等变换：111a111a[ααββ32300163a]16b016b0541201625a111a0163a方程组x1α1x2α2β2有解000.b3a0022ab3a022a0a1,b3.即（II）可由(I)线性表出的充分必要条件是a1,b3.1111反之，当a1,b3.时,[β,βαα3032]12123016125411110365.方程组x1β1x2β2α1与x1β1x2β2α2均有解,00000000说明(I)可由(II)线性表出,所以(I)与(II)等价时,a1,b3.)（五）证明题57.若已知a100A0a20,其中ai0(i1,2,,n).00an求证其逆矩阵100a11100.Aa2001ann0,所以A1存在.（证因为Ai1ai又100a100a110a2000E,a200an001an100a1a1001000a20a2E.00100anan100a11A100.）所以a2001anx12x2x31,58.证明线性方程组2x1x22x32,无解3x1x23x34.1211（证方程组的增广矩阵为A2122,对A施行适当3134的初等行变换，将其化成阶梯形矩阵，即r2r1(1211112112)500r2()0100Ar1(05r33)501050101211r3r250100,0001会求出A与A的秩，从而知r(A) r(A).故方程组无解.）试证明向量b=(3,5,6)可以用向量a1 (1,0,1),a2 (1,1,1),a3 (0, 1, 1),线性表示，并写出表示式 .（证按定义，设存在数x1,x2,x3,使得bx1a1x2a2x3a3成立.为此，应解如下线性方程组x1x23x2x35x1x2x36.x111容易求得此方程组的唯一解为x214x39,故有b11a114a29a3.）60.证明f(x1,x2,x3)3x126x1x3x224x2x38x32是正定二次型.(证因二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为303A012.328会写出A的各顺序主子式，并验证皆大于零 .故由赫尔维茨定理知 f(x1,x2,x3)是一个正定二次型.)61. 设 A=[aij]是n阶矩阵,如果aij >∑aij ,i=1,2, ,n,≠i证明矩阵A的列向量αj=[a1j,a2j, ,anj]T (j=1,2, ,n)线性无关.(第4章 答案：可用反证法. 若存在不全为零的数 k1,k2, ,kn, 使得kαk2α+knα=0,然后，设ki=max{k1,k2,,kn},11+2+n显然ki>0.由ki≠0,知α可以由其余n1个α线性表出，且ijαk1α1ki1αi1ki1αi1knαn.那么,其第i个分量就满ikikikiki足关系式：aiik1ai1ki1aii1ki1aii1knain.从而有kikikikiaiikjaijkjaijaij.这与已知条件矛盾,所以jikijikijiα,α,,α12n线性无关.)62.设A是n阶矩阵,α1,α2,,αt是齐次方程组Ax=0的基础解系,若存在βi,使Aβi=αi,i=1,2,,t,证明向量组α1,α2,,αt,β1,β2,,βt线性无关.(第4章答：若存在不全为零的数k1,k2,,kt,l1,l2,,lt,使得kα+k2α++ktα+lβ++lβ=0,（1）112t11tt用A左乘上式,并把Ai0,Ai=i,i=1,2,,t代入,得α=βαl1α1+l2α2++ltαt=0,（）2因α1,α2,,αt是齐次方程组Ax=0的基础解系,它们线性无关,故对（2）必有l1=0,l2=0,lt=0.（1）式,有kαkα++ktα=0,即向量αα,α,βββ11+22t1,2,t1,2,,t线性无关.)设A是m×n矩阵,对矩阵A做初等行变换得到矩阵B,证明矩阵A的列向量与矩阵B相应的列向量有相同的线性相关性.(第4章证法提示：因经初等行变换由A可得到B,故存在初等矩阵P1,P2,,Pk使PkP2P1AB.把矩阵A,B写成列向量形式：A=[α1α2αn],B=[β1β2βn],P=kP1则有PP2P[α1α2αn]=[β1β2βn],于是Pαi=βi(i=1,2,,n).A的列x向量α,α,,α线性相关[α,α,,α]x20有非零解j1j2jkj1j2jkxkxxα,α,,α]x20有非零解[βββ]x20P[j1j2jkj1j2jkxkxk有非零解B的列向量βj1βj2βjk线性相关.）64.已知A是n阶矩阵,且矩阵A中各行元素对应成比例.α1,α2,,αt是Ax=0的基础解系,而β不