高一复习指数函数经典例题

指数函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．1．比较大小例1已知函数满足，且，则与的大小关系是_____．分析：先求的值再比较大小，要注意的取值是否在同一单调区间内．解：∵，∴函数的对称轴是．故，又，∴．∴函数在上递减，在上递增．若，则，∴；若，则，∴．综上可得，即．评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．2．求解有关指数不等式例2已知，则x的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵，∴函数在上是增函数，∴，解得．∴x的取值范围是．评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．3．求定义域及值域问题例3求函数的定义域和值域．解：由题意可得，即，∴，故．∴函数的定义域是．令，则，又∵，∴．∴，即．∴，即．∴函数的值域是．评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．4．最值问题例4函数在区间上有最大值14，则a的值是_______．分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围．解：令，则，函数可化为，其对称轴为．∴当时，∵，∴，即．∴当时，．解得或（舍去）；当时，∵，∴，即，∴时，，解得或（舍去），∴a的值是3或．评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．5．解指数方程例5解方程．解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或（舍去），∴，∴，经检验原方程的解是．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．6．图象变换及应用问题例6为了得到函数的图象，可以把函数的图象（）．A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断．解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，故选（C）．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等．（2）当k<0时，直线y=k与函数的图象无交点,即方程无解;当k=0或k1时,直线y=k与函数的图象有唯一的交点，所以方程有一解;当0<k<1时,直线y=k与函数的图象有两个不同交点，所以方程有两解。9．若函数是奇函数，求的值．．解：为奇函数，，即，则，10.已知9x-10.3x+9≤0，求函数y=（）x-1-4·（）x+2的最大值和最小值解：由已知得（3x）2-10·3x+9≤0得（3x-9）（3x-1）≤0∴1≤3x≤9故0≤x≤2而y=()x-1-4·()x+2=4·（）2x-4·（）x+2令t=（）x（）则y=f（t）=4t2-4t+2=4（t-）2+1当t=即x=1时，ymin=1当t=1即x=0时，ymax=211．已知，求函数的值域．解：由得，即，解之得，于是，即，故所求函数的值域为12.(9分)求函数的定义域，值域和单调区间定义域为R值域（0，8〕。（3）在（-∞，1〕上是增函数在〔1，+∞）上是减函数。13求函数y＝的单调区间.分析这是复合函数求单调区间的问题可设y＝,u＝x2-3x+2，其中y＝为减函数∴u＝x2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增)u＝x2-3x+2的增区间就是原函数的减区间(即减、增→减)解：设y＝,u＝x2-3x+2,y关于u递减，当x∈(-∞，)时，u为减函数，∴y关于x为增函数；当x∈［，+∞)时，u为增函数，y关于x为减函数.14已知函数f(x)＝(a>0且a≠1).(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.解：(1)易得f(x)的定义域为｛x｜x∈R｝.设y＝,解得ax＝-①∵ax>0当且仅当->0时，方程①有解.解->0得-1<y<1.∴f(x)的值域为｛y｜-1＜y＜1.(2)∵f(-x)＝＝＝-f(x)且定义域为R，∴f(x)是奇函数.(3)f(x)＝＝1-.1°当a>1时，∵ax+1为增函数，且ax+1>0.∴为减函数，从而f(x)＝1-＝为增函数.2°当0<a<1时，类似地可得f(x)＝为减函数.15、已知函数f（x）=a－（a∈R），求证：对任何a∈R，f（x）为增函数．若f（x）为奇函数时，求a的值。（1）证明：设x1＜x2f（x2）－f（x1）=＞0故对任何a∈R，f（x）为增函数．（2），又f（x）为奇函数得到。即16、定义在R上的奇函数有最小正周期为2，且时，（1）求在[－1，1]上的解析式；（2）判断在（0，1）上的单调性；（3）当为何值时，方程=在上有实数解.解（1）∵x∈R上的奇函数∴又∵2为最小正周期∴设x∈（－1，0），则－x∈（0，1），∴（2）设0<x1<x2<1=∴在（0，1）上为减函数。（3）∵在（0，1）上为减函数。∴即同理在（－1，0）时，又∴当或时在[－1，1]内有实数解。函数y＝a｜x｜(a>1)的图像是()分析本题主要