2023年高考数学概率知识点总结及解题思路方法

千里之行，始于足下让知识带有温度。第2页/共2页精品文档推荐高考数学概率知识点总结及解题思路方法高考数学概率学问点总结及解题思路办法

考试内容：

随机大事的概率．等可能性大事的概率．互斥大事有一个发生的概率．互相自立大事同时发生的概率．自立重复实验．考试要求：

（1）了解随机大事的发生存在着逻辑性和随机大事概率的意义．（2）了解等可能性大事的概率的意义，会用罗列组合的基本公式计算一些等可能性大事的概率。

（3）了解互斥大事、互相自立大事的意义，会用互斥大事的概率加法公式与互相自立大事的概率乘法公式计算一些大事的概率．（4）会计算大事在n次自立重复实验中恰好发生κ次的概率．

§11.概率学问要点

1.概率：随机大事A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

2.等可能大事的概率：假如一次实验中可能浮现的结果有年n个，且全部结果浮现的可能性都相等，那么，每一个基本领件的概率都是

n

1，假如某个大事A包含的结果有m个，那么大事A的概率n

mP(A).

3.①互斥大事：不行能同时发生的两个大事叫互斥大事.假如大事A、B互斥，那么大事A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于大事A、B分离发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：

)P(A)P(A)P(A)AAP(An21n21+++=+++.

②对立大事：两个大事必有一个发生的互斥大事．．．．．．．．．．．．．．．叫对立大事.例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥大事，由于其中一个不行能同时发生，但又不能保证其中一个必定发生，故不是对立大事.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立大事，由于其中一个必发生.

注重：i.对立大事的概率和等于1：1)AP(A)AP(P(A)=+=+.ii.互为对立的两个大事一定互斥，但互斥不一定是对立大事.③互相自立大事：大事A(或B)是否发生对大事B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个大事叫做互相自立大事.假如两个互相自立大事同时发生的概率，等于每个大事发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B).由此，当两个大事同时发生的概率P（AB）等于这两个大事发生概率之和，这时我们也可称这两个大事为自立大事.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A：“抽到老K”；B：“抽到红牌”则A应与B互为自立大事[看上去A与B有关系很有可能不是自立大事，但26

1

P(B)P(A),215226P(B),131524P(A)=

?====

.又大事AB表示“既

抽到老K对抽到红牌”即“抽到红桃老K或方块老K”有26

1

522B)P(A=

=?，因此有)BP(AP(B)P(A)?=?.

推广：若大事n21,A,,AA互相自立，则)P(A)P(A)P(A)AAP(An21n21?=?.注重：i.普通地，假如大事A与B互相自立，那么A与AB,与B，A与B也都互相自立.

ii.必定大事与任何大事都是互相自立的.

互斥对立

iii.自立大事是对随意多个大事来讲，而互斥大事是对同一试验来讲的多个大事，且这多个大事不能同时发生，故这些大事互相之间必定影响，因此互斥大事一定不是自立大事.

④自立重复实验：若n次重复实验中，每次实验结果的概率都不依靠于其他各次实验的结果，则称这n次实验是自立的.假如在一次实验中某大事发生的概率为P，那么在n次自立重复实验中这个大事恰好发生k次的概率：k

nkknn

P)

(1PC(k)P

--=.4.对任何两个大事都有)()()()(BAPBPAPBAP?-+=+第十二章-概率与统计

考试内容：

抽样办法.总体分布的估量．总体期望值和方差的估量．考试要求：

（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对容易实际问题举行抽样．

（2）会用样本频率分布估量总体分布．（3）会用样本估量总体期望值和方差．

§12.概率与统计学问要点

一、随机变量.

1.随机实验的结构应当是不确定的.实验假如满足下述条件：①实验可以在相同的情形下重复举行；②实验的全部可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次实验总是恰好浮现这些结果中的一个，但在一次实验之前却不能绝对这次实验会浮现哪一个结果.它就被称为一个随机实验.

2.离散型随机变量：假如对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机

变量，a，b是常数.则ba+=ξη也是一个随机变量.普通地，若ξ是随机变量，)(xf是延续函数或单调函数，则)(ξf也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为：,,,,21ixxx

ξ取每一个值),2,1(1=ix的概率iipxP==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

有性质①,2,1,01=≥ip；②121=++++ippp.

注重：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做延续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3.⑴二项分布：假如在一次实验中某大事发生的概率是P，那么在n

次自立重复实验中这个大事恰好发生k次的概率是：k

nkknq

pCk)P(ξ-==[其中pqnk-==1,,,1,0]

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ听从

二项分布，记作ξ～B（n·p），其中n，p为参数，并记p)nb(k;q

pCknkkn?=-.⑵二项分布的推断与应用.

①二项分布，实际是对n次自立重复实验.关键是看某一大事是否是举行n次自立重复，且每次实验惟独两种结果，假如不满足此两条件，随机变量就不听从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较

小，而每次抽取时又惟独两种实验结果，此时可以把它看作自立重复实验，利用二项分布求其分布列.

4.几何分布：“k=ξ”表示在第k次自立重复实验时，大事第一次发生，假如把k次实验时大事A发生记为kA，事A不发生记为q)P(A,Akk=，那么)AAAAP(k)P(ξk1k21-==.按照互相自立大事的概率乘法分式：

))P(AAP()A)P(AP(k)P(ξk1k21-==),3,2,1(1

==-kpqk于是得到随机变量

ξ的概率分

布列.

我们称ξ听从几何分布，并记pqp)g(k,1k-=，其中3,2,1.

1=-=kpq

5.⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取)Nnn(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)MNknM,0k(0CCCk)P(ξn

N

knM

NkM-≤-≤≤≤??=

=--.〔分子是从M件次品中取k件，

从N-M件正品中取n-k件的取法数，假如规定m＜r时0Crm=，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,kCCCk)P(ξnb

ak

nb

ka=?==+-.

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ听从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把ba+个产品编号，则抽取n次共有nba)(+个可能结果，等可能

：

k)

(η=含

k

nkknb

aC-个结果，故

n,0,1,2,k,)baa(1)baa(

Cb)(ab

aCk)P(ηk

nkknn

k

nkkn=+-+=+=

=--，即η～)(b

aanB+?

.[我们先为k

个次品选定位置，共knC种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法]可以证实：当产品总数很大而抽取个数不多时，

k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样

可近似看作放回抽样.二、数学期望与方差.

1.期望的含义：普通地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称++++=nnpxpxpxE2211ξ为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2.⑴随机变量ba+=ξη的数学期望：baEbaEE+=+=ξξη)(①当0=a时，bbE=)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.②当1=a时，bEbE+=+ξξ)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.

③当0=b时，ξξaEaE=)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.

⑵单点分布：ccE=?=1ξ其分布列为：

cP==)1(ξ.

⑶两点分布：ppqE=?+?=1

0ξ，其分布列为：（p+q=1）⑷二项分布：∑=?-?

=-npqpknknkEknk)!

(!!

ξ其分布列为ξ～),(pnB.（P为发

生ξ的概率）

⑸几何分布：p

E1=ξ其分布列为ξ～),(pkq.（P为发生ξ的概率）

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为

),2,1()(===kpxPkkξ时，则称+-++-+-=nnpExpExpExD2222121)()()(ξξξξ为

ξ的方差.

明显0≥ξD，故σξ

ξσξ.D=

为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差

与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.．4.方差的性质.

⑴随机变量ba+=ξη的方差ξξηDabaDD2)()(=+=.（a、b均为常数）⑵单点分布：

=ξD其分布列为

pP==)1(ξ

⑶两点分布：pqD=ξ其分布列为：（p+q=1）

⑷二项分布：npqD=ξ⑸几何分布：2

pqD=

ξ

5.期望与方差的关系.

⑴假如ξE和ηE都存在，则ηξηξEEE±=±)(

⑵设ξ和η是相互自立的两个随机变量，则ηξηξηξξηDDDEEE+=+?=)(,)(⑶期望与方差的转化：2

2

)(ξξξEED-=⑷)()()(ξξξξEEEEE-=-（由于ξE为一

常数）0=-=ξξEE.

三、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于延续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间),[ba内的概率等于它与x轴.直线ax=与直线bx=所围成

的曲边梯形的面积

（如图阴影部分）的曲线叫ξ

图像的函数)(xf叫做ξ的密度函数，因为“是必定大事，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2.⑴正态分布与正态曲线：假如随机变量ξ的概率密度为：

22)(21)(σμσ

π--=

xe

xf.（σμ,,Rx∈为常数，且0σ），称ξ听从参数为σμ,的

正态分布，用ξ～),(2σμN表示.)(xf的表达式可简记为),(2σμN，它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN，则ξ的期望与方差分离为：

2,σξμξ==DE.

⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交.②曲线关于直线μ=x对称.

③当μ=x时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，展现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

④当x＜μ时，曲线升高；当x＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延长时，以x轴为渐近线，向x轴无限的逼近.⑤当μ一定时，曲线的外形由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越簇拥；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.3.⑴标准正态分布：假如随机变量ξ的概率函数为

)

(21)(2

2

+∞-∞=

-xe

xxπ?，则称ξ听从标准正态分布.即ξ～)1,0(N有

)

()(xPx≤=ξ?，)(1)(xx--=??求出，而P（a＜

ξ

≤b）的计算则是

)()()(abbaP??ξ-=≤.

注重：当标