1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理

第一课时分类加法计数原理问题1.1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有‘力种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有 N=m+n种不同的方法.知识应用例1•在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学 B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业,又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件.解：这名同学可以选择A,B两所大学中的一所.在A大学中有()种专业选择方法，在B大学中有()种专业选择方法.又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有 变式：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？_探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有〃"种不同的方法，在第2类方案中有加2种不同的方法，在第3类方案中有加3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有“类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有加1种不同的方法，在第2类办法中有加2种不同的方法……在第n类办法中有加“种不同的方法.那么完成这件事共有N=叫+m2+•••+mn种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.例2.一蚂蚁沿着长方体的棱，从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？练习1・填空：（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是 ；（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B的路线有 条.第二课时分步乘法计数原理（1）提出问题问题2.1：用前6个大写英文字母和1一9九个阿拉伯数字，以人，A?，…，B[} …的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？用列举法可以列出所有可能的号码：字母数字得到的号码/IA//2a2/幺3A3aWAs人A?Aq我们还可以这样来思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6X9=54个不同的号码.（2） 发现新知分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有"种不同的方法.那么完成这件事共有N=mxn种不同的方法.（3） 知识应用例1・设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤.第1步选男生.第2步选女生.解：第1步，从30名男生中选出1人，有 种不同选择；第2步，从24名女生中选出1人，有 种不同选择.根据分步乘法计数原理，共有 种不同的选法.探究:如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有加1种不同的方法，做第2步有加2种不同的方法，做第3步有加§种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情需要"个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有〃“种不同的方法，做第2步有加2种不同的方法……做第n步有加”种不同的方法.那么完成这件事共有N=mAx叫x…xm”种不同的方法.理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成 例2•如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？解：按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成，TOC\o"1-5"\h\z第一步， ml = 种，第二步， m2 = 种，第三步， m3 = 种，第四步， m4 = 种，所以根据乘法原理，得到不同的涂色方案种数共有N二 变式如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？2若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢?练习现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名.（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？村去C村，不同（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?第三课时综合应用例1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？【分析】要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事,因此是分类问题，应用分类计数原理.要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.N=“+叫+m3二4+3+2二9;例2・要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？例3•随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？1•乘积（坷+偽+。3）（勺+爲+b3）（q+q+C3+q+c5）展开后共有多少项?某电话局管辖范围内的电话号码由八位数字组成，其中前四位的数字是不变的,后四位数字都是。到9之间的一个数字，那么这个电话局不同的电话号码最多有多少个？从5名同学中选出正、副组长各1名，有多少种不同的选法?某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进人商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？第四课时例1.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A〜G或U〜Z,后两个要求用数字1〜9・问最多可以给多少个程序命名？分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第1步，选首字符：第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符•而首字符又可以分为两类.解：先计算首字符的选法.由分类加法计数原理，首字符共有7+6=13种选法.再计算可能的不同程序名称.由分步乘法计数原理，最多可以有13X9X9==1053个不同的名称，即最多可以给1053个程序命名.例2.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分一个RNA分子是一个有着数百个我至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据.总共有4种不同的碱基，分别用A,C,G,U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次丿子出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关.假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？分析：用图1.1-2来表示由100个碱基组成的长链，这时我们共有100个位置,每个位置都可以从A,C,G,U中任选一个来占据.第1位 第2位 第3位 第100位4种 4种4种 4种解：100个碱基组成的长链共有100个位置，如图1.1-2所示.从左到右依次在每一个位置中，从A,C,G,U中任选一个填人，每个位置有4种填充方法.根据分步乘法计数原理，长度为100的所有可能的不同RNA分子数目有

4-4••…4=4100（个）••> •〜♦•・••"■••••••.f•・•・C・ 第1第1位 第2位 第3位 第8位巩固练习：如图,从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书.若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法?若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少