九年级(上册)数学压轴题精选和详细解析

./2014-2015学年度???学校1月月考卷试卷副标题1．〔本题满分10分如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点〔不与点A、B重合OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E．〔1当BC=1时,求线段OD的长；〔2在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由；[答案]①；②存在,[解析]试题分析：〔1如图〔1,∵OD⊥BC,∴BD=BC=,∴OD==；〔2如图〔2,存在,DE是不变的．连接AB,则AB==2,∵D和E分别是线段BC和AC的中点,∴DE=AB=；〔3如图〔3,连接OC,∵BD=x,∴OD=,∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴∠2+∠3=45°,过D作DF⊥OE．∴DF==,由〔2已知DE=,∴在Rt△DEF中,EF==,∴OE=OF+EF=+=∴y=DF•OE=••=〔0＜x＜考点:1.垂径定理；2.勾股定理；3.三角形中位线定理2．在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E．〔1如图1,连接EC,求证：△EBC是等边三角形；〔2点M是线段CD上的一点〔不与点C,D重合,以BM为一边,在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形,并直接写出MD,DG与AD之间的数量关系；〔3如图3,点N是线段AD上的一点,以BN为一边,在BN的下方作∠BNG=60°,NG交DE延长线于点G．试探究ND,DG与AD数量之间的关系,并说明理由．[答案]〔1证明见解析：〔2AD=DG+DM．〔3AD=DG-DN．理由见解析.[解析]试题分析：〔1利用"三边相等"的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形；〔2延长ED使得DN=DM,连接MN,即可得出△NDM是等边三角形,利用△NGM≌△DBM即可得出BD=NG=DG+DM,再利用AD=BD,即可得出答案；〔3利用等边三角形的性质得出∠H=∠2,进而得出∠DNG=∠HNB,再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．试题解析：〔1证明：如图1所示：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,BC=AB．∵BD平分∠ABC,∴∠1=∠DBA=∠A=30°．∴DA=DB．∵DE⊥AB于点E．∴AE=BE=AB．∴BC=BE．∴△EBC是等边三角形；〔2结论：AD=DG+DM．证明：如图2所示：延长ED使得DN=DM,连接MN,∵∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,∴∠ADE=∠BDE=60°,AD=BD,又∵DM=DN,∴△NDM是等边三角形,∴MN=DM,在△NGM和△DBM中,∵∴△NGM≌△DBM,∴BD=NG=DG+DM,∴AD=DG+DM．〔3结论：AD=DG-DN．证明：延长BD至H,使得DH=DN．由〔1得DA=DB,∠A=30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2=∠3=60°．∴∠4=∠5=60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH=ND,∠H=∠6=60°．∴∠H=∠2．∵∠BNG=60°,∴∠BNG+∠7=∠6+∠7．即∠DNG=∠HNB．在△DNG和△HNB中,∴△DNG≌△HNB〔ASA．∴DG=HB．∵HB=HD+DB=ND+AD,∴DG=ND+AD．∴AD=DG-ND．考点：1.等边三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质．3．如图,△ABC内接于⊙O,过点A的直线交⊙O于点P,交BC的延长线于点D,AB2=AP•AD．〔1求证：AB=AC；〔2如果∠ABC=60°,⊙O的半径为1,且P为的中点,求AD的长．[答案]〔1证明见试题解析；〔23．[解析]试题分析：〔1根据AB2=AP•AD,可以连接BP,构造相似三角形．根据相似三角形的性质得到∠APB=∠ABD,再根据圆周角定理得到∠APB=∠ACB,即∠ABC=∠ACB,从而由等角对等边证明结论；〔2因为有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形,发现等边三角形ABC,再根据点P为弧的中点,连接BP,发现30°的直角三角形,且BP是直径,从而求得AP的长,AB的长．再根据已知中的条件求得AD的长．试题解析：〔1连接BP,∵AB2=AP•AD,∴,又∵∠BAD=∠PAB,∴△ABD∽△APB,∵∠ABC=∠APB,∠APB=∠ACB,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC；〔2由〔1知AB=AC,∵∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,∵P为的中点,∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°,∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°,∴BP为直径,∴BP过圆心O,∴BP=2,∴AP=BP=1,∴,∵AB2=AP•AD,∴AD==3．考点：1．圆周角定理；2．相似三角形的判定与性质．4．如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点F在⊙O上,且满足,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点,交AF的延长线于E点．〔1求证：AE⊥DE；〔2若∠CBA＝60°,AE＝3,求AF的长．[答案]<1>证明见解析；〔22．[解析]试题分析：〔1首先连接OC,由OC=OA,,易证得OC∥AE,又由DE切⊙O于点C,易证得AE⊥DE；〔2由AB是⊙O的直径,可得△ABC是直角三角形,易得△AEC为直角三角形,根据AE=3求得AC的长,然后连接OF,可得△OAF为等边三角形,知AF=OA=AB,在△ACB中,利用已知条件求得答案．试题解析：〔1证明：连接OC,∵OC=OA,∴∠BAC=∠OCA,∵∴∠BAC=∠EAC,∴∠EAC=∠OCA,∴OC∥AE,∵DE切⊙O于点C,∴OC⊥DE,∴AE⊥DE；〔2解：∵AB是⊙O的直径,∴△ABC是直角三角形,∵∠CBA=60°,∴∠BAC=∠EAC=30°,∵△AEC为直角三角形,AE=3,∴AC=2,连接OF,∵OF=OA,∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°,∴△OAF为等边三角形,∴AF=OA=AB,在Rt△ACB中,AC=2,tan∠CBA=,∴BC=2,∴AB=4,∴AF=2．考点：切线的性质．5．〔1如图①,在正方形ABCD中,△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求的度数．〔2如图②,在Rt△ABD中,,,点M,N是BD边上的任意两点,且,将△ABM绕点A逆时针旋转至△ADH位置,连接,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由．〔3在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若,,,求AG,MN的长．[答案]〔145°．〔2MN2=ND2+DH2．理由见解析；〔35.[解析]试题分析：〔1根据高AG与正方形的边长相等,证明三角形全等,进而证明角相等,从而求出解．〔2用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．〔3设出线段的长,结合方程思想,用数形结合得到结果．试题解析：〔1在Rt△ABE和Rt△AGE中,AB=AG,AE=AE,∴Rt△ABE≌Rt△AGE〔HL．∴∠BAE=∠GAE．同理,∠GAF=∠DAF．∴∠EAF=∠BAD=45°．〔2MN2=ND2+DH2．∵∠BAM=∠DAH,∠BAM+∠DAN=45°,∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．∴∠HAN=∠MAN．又∵AM=AH,AN=AN,∴△AMN≌△AHN．∴MN=HN．∵∠BAD=90°,AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=45°．∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．∴NH2=ND2+DH2．∴MN2=ND2+DH2．〔3由〔1知,BE=EG,DF=FG．设AG=x,则CE=x-4,CF=x-6．在Rt△CEF中,∵CE2+CF2=EF2,∴〔x-42+〔x-62=102．