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文档简介
7.2勾股定理
这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的,被称为“赵爽弦图”.
(1)你能用准备好的材料摆成如下图形吗?(2)图中四边形的形状是什么?你能分别求出他们的面积吗?(用a,b,c表示)(3)你能探索出a、b、c之间的关系吗?写出探索过程?实验与探究1bbbbaaaaccccbbaa∵
大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和。
c2 = a2+b2aaaabbbbcccc(4)探索a、b、c之间的关系?∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2abaaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab∴a2+b2=c2a2+b2+2abc2+2ab=4×
ab+c2又
S大正方形=4S直角三角形+S小正方形=c2+2ab
在直角三角形中,如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么一定有:ACBcba勾股定理
(gou-gutheorem)a2+b2=c2勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。直角三角形的这种关系,我们称为勾股定理。abc
a2=c2-b2
勾股定理变形b2=c2-a2
c2=a2+b2
如图,电线杆AC的高为8m,从电线杆CA的顶端A处扯一根钢丝绳,将另一端固定在地面上的B点,测得BC的长为6m,钢丝绳AB的长度是多少?【规范解答】例1CAB解:①在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8
由勾股定理得:AB2=AC2+BC2=82+62=64+36=100
于是AB=10
m.有一个古代荡秋千的问题:有一架秋千,静止时其踏板离地1尺(1米=3尺);将它向前推两步(一步指“双步”,即左右脚各迈一步,一步为五尺)并使秋千的绳索拉直,其踏板离地5尺,求绳索的长。【规范解答】例2ABCDFOEx解:设绳索的长为x尺点A是秋千静止时踏板的位置,∵AC=1,BD=FC=5,BF=10,∴FA=FC-AC=BD-AC=5-1=4OF=OA-FA=OB-FA=X-4在Rt△OFB中,由勾股定理得
OB2=BF2+OF2
即x2=102+(x-4)2
化简得8x=116∴x=14.5
所以秋千绳索长为14.5尺ABCDFOEx挑战自我如图,将两个直角边为a、b,斜边长为c的三角形按图中所示的方式放置。连接两个直角三角形的另外一对锐角的顶点,你能用此图证明勾股定理吗?∵S梯形
=(a+b)2=(a2+b2)+ab=c2+ab又
S梯形=2S直角三角形+S等腰直角三角形=2×
ab+c2∴a2+b2=c2
(a2+b2)+ab=c2+ab∴abc
课堂小结知识小结:数学思想:
数学方法:勾股定理的证明和运用数形结合的思想和方程的思想面积相等法
课堂达标填空题
1.在Rt△ABC中若∠A=900,AB=c,BC=a,AC=b若b:c=3:4,a=15则b=
,c=
.2.在直角三角形ABC中,AC=3,AB=4,则BC=———129
3如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形边长是7cm,则正方形A、B、C、D的面积和是—————
DCBA7cm494受台风麦莎影响,一棵高9米的树断裂,树的顶部落在距离树跟底部3米处,这棵树在距离地面多高的地方断裂?3米BCA解:设这棵树在离地面x米高的地方断裂在RtABC中∠BCA=900,AC=3,AB=9-X由勾股定理得X2+32=(9-X)2即X2+9=81-18X=X2解得X=4因此这棵树在距地面4米高的地方断裂有一块直角三角形的纸片,两直角边AB=6,BC=8将直角边AB折叠,使它落在斜边AC上,折痕为AD,问BD的长为多少?解:设的长为x在RtABC中,B=900,AB=6,BC=8由勾股定理,得AC2=AB2+BC2=62+82=36+64=100于是AC=10∵ADB’与ADB关于AD对称∴∠AB’D=∠B=900AB’=AB=6,DB’=DB=X∴∠CB’D=1800-900=900在RtDCB’中∠DB’C=900,CD=8-X,CB’=10-6=4由勾股定理得(8-X)2=X2+42
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