2022-2023学年北京市昌平区高二下学期期中诊断数学试题【含答案】

2022-2023学年北京市昌平区高二下学期期中诊断数学试题一、单选题1．已知等差数列中，，公差，则（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】由等差数列通项公式计算即得.【详解】依题意，等差数列通项，所以.故选：C2．在的展开式中，的系数为（

）A．6 B．12 C．24 D．36【答案】C【分析】先求二项式展开式的通项公式，然后根据通项公式计算求解即可.【详解】展开式的通项公式，令，得，所以在的展开式中，的系数为，故选：C3．已知函数，则函数的单调递增区间是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数，求得，进而可求解函数的单调递增区间，得到答案．【详解】由题意，函数，则，当时，，函数单调递增，所以函数的单调递增区间是，故选B．【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中熟记导数与原函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4．若随机变量的分布列如下表，则（

）1234P3x6x2xxA． B． C． D．【答案】A【分析】分布列中概率之和等于可得的值，再计算即可.【详解】由分布列中概率的性质可知：，可得：，所以故选：A.5．为迎接2022年北京冬奥会的到来，某体育中心举办“激情冰雪，相约冬奥”主题展览体验活动，共有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个活动项目，每人限报1个项目．有3位同学准备参加该活动，则不同的体验方案种数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】按照分步计数原理，计数结果.【详解】每个人都可以参加5项活动中的一项，共有种方法.故选：C6．在一段时间内，甲去博物馆的概率为0.8，乙去博物馆的概率为0.7，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是（

）A．0.56 B．0.24 C．0.94 D．0.84【答案】C【分析】先根据独立事件的乘法公式求出甲乙两人都不去博物馆的概率，进而对立事件求概率的公式即可计算出结果.【详解】甲乙两人至少有一个去博物馆的对立事件为甲乙两人都不去博物馆，设甲去博物馆为事件,乙去博物馆为事件，则甲乙两人都不去博物馆的概率,因此甲乙两人至少有一个去博物馆的概率,故选：C.7．若函数的零点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】先求出定义域，再求导，得到函数单调性，并结合特殊值及零点存在性定理得到答案.【详解】的定义域为R，且，当或时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，又，，，故函数的零点的个数为2.故选：C8．某人射击一次击中的概率是，经过次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据独立重复试验的概率公式即可求解.【详解】由题意可得：此人至少有两次击中目标的概率为：，故选：A.9．若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（）A．[-1，+∞） B．（-1，+∞） C．（-∞，-1] D．（-∞，-1）【答案】C【详解】由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．10．学校准备在周二上午第1、2、3、4节举行化学、生物、政治、地理共4科选考科目讲座，要求生物不能排在第1节，政治不能排在第4节，则不同的安排方案的种数为（

）A．12 B．14 C．20 D．24【答案】B【分析】根据生物进行分类，根据分类计数原理求解【详解】解：若生物排在第4节，则其它3节任意排，则有种，若生物不排在第4节，则生物排在第2节或第3节，然后将政治排在前3节中的剩下的2节，最后化学、地理排在剩下的2节，则有种，所以根据分类计数原理可知共有种，故选：B11．如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（

）（参考数据：）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，确定标准对数视力从下到上的项数，再利用等比数列计算作答.【详解】依题意，以标准对数视力为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力为该数列第3项，标准对数视力对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为，因此，标准对数视力对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为.故选：D12．设函数，若关于的不等式有且仅有一个整数解，则正数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，作出函数与的图象，根据图象和整数解的个数得出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围.【详解】，，令，得，列表如下：极小值所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.则函数在处取得极小值，且极小值为，如下图所示：当时，若关于的不等式有且仅有一个整数解，则，解得；当时，由于直线与轴的负半轴交于点，当时，关于的不等式有无数个整数解，不合乎题意.综上所述，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查利用函数不等式整数解的个数问题求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二、双空题13．数列{}是公比为2的等比数列，其前n项和为．若，则=_______；=_______【答案】【详解】，，，故答案为，.三、填空题14．已知函数，则__________．【答案】【分析】首先计算，当时，即可求值.【详解】，，.故答案为：15．等差数列中，公差，，则当前项和最大时，________【答案】或【分析】由等差数列中，公差，可得，从而，由此求出当前项和最大时，的值.【详解】等差数列中，公差，，所以，解得，所以，当前项和最大时，或，故答案为：或.四、双空题16．设，则__________；__________．【答案】【分析】令即可求；利用二项展开式的通项分别求和的系数，由组合数得性质即可得.【详解】由题意，令可得，所以；的展开式的通项为，令，即得，令，即得，所以，故答案为：；17．已知某电脑卖家只卖甲、乙两个品牌的电脑，其中甲品牌的电脑占，甲品牌的电脑中，优质率为；乙品牌的电脑中，优质率为，从该电脑卖家中随机购买一台电脑：（1）则买到优质电脑的概率为____________，（2）若已知买到的是优质电脑，则买到的是甲品牌电脑的概率为___________（精确到）【答案】【分析】本题可通过概率的加法法则以及条件概率的计算方式得出结果.【详解】（1）买到优质电脑的概率为，（2）买到优质电脑且是甲电脑的概率为，则已知买到的是优质电脑的情况下买到的是甲品牌电脑的概率为，故答案为：、.五、填空题18．在中，，分别是边，的中点，，分别是线段，的中点，…，，分别是线段，（，）的中点，设数列，满足：向量，有下列四个命题：①数列是单调递增数列，数列是单调递减数列；②数列是等比数列；③数列有最小值，无最大值；④若中，，，则最小时，其中真命题是__________．【答案】①②④【分析】首先得到，由向量基本定理得推论得到，，得到①正确；，，得到无最小值，②正确，③错误，，求出，得到当时，取得最小值，即有最小时，，故④正确.【详解】根据题意可得，，，，，，，，则，由于在中，不共线，，，则数列是单调递增数列，数列是单调递减数列，①正确；，数列是首项和公比均为的等比数列，②正确；恒成立，在单调递减，有最大值为0，无最小值，故③错误；根据题意，，，，当时，取得最小值，即有最小时，，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】数列与向量结合，本题中要先利用向量基本定理及向量共线定理得推论得到，的通项公式，再判断数列的单调性及数列类型，D选项，还会用到向量数量积的运算法则，综合性高，难度较大.六、解答题19．如图，在锐角中，，，，点在边的延长线上，且.(1)求；(2)求的周长.【答案】(1)；(2)30.【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求解；（2）由（1）可求得，在中，利用余弦定理可求，从而可求的周长.【详解】（1）在中，，，，由正弦定理可得，故，因为是锐角三角形，所以.（2）由（1）得，所以.在中，，，，所以.所以的周长为.20．如图，四边形为梯形，，四边形为平行四边形．(1)求证：∥平面；(2)若平面，求：（ⅰ）直线与平面所成角的正弦值；（ⅱ）点D到平面的距离．【答案】(1)见解析；(2)（i）；（ii）.【分析】（1）在射线上取点,使，证明四边形为平行四边形，则，则根据线面平行的判定即可得到；（2）以为原点，建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，计算出平面的法向量为，则可计算出线面角的正弦值；（3）因为,根据（2）的结论则得到距离.【详解】（1）如图,在射线上取点,使,连接.由题设,得,所以四边形为平行四边形.所以且.又四边形为平行四边形,所以且.所以且..所以四边形为平行四边形,所以.因为平面平面所以平面.（2）（i）因为平面,平面，所以.又,所以,,两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系,则.所以.设平面的法向量为,则即令,则.于是.设直线与平面所成角为,则所以直线与平面所成角的正弦值为.（ii）因为,所以直线与平面所成角的正弦值为.所以点到平面的距离为21．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：(1)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；(2)在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在中的人数，求的分布列及数学期望；(3)在（2）抽取的3人中，用表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小.（直接写结果）【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3).【分析】（1）利用直方图的性质及平均数的计算方法即得；（2）由题可知服从超几何分布，即求；（3）由超几何分布即得.【详解】（1）由直方图可得第二组的频率为，∴全校学生的平均成绩为：（2）由题可知成绩在80分及以上的学生共有人，其中中的人数为5，所以可取0,1,2,3，则，，，，故的分布列为：0123P；（3）.22．设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称.（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在直线为满足题意，详见解析【分析】（Ⅰ）根据对称性求出点，从而可得出椭圆两焦点的坐标，利用椭圆定义求出的值，结合的值，可求出的值，从而写出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，可得出直线的方程为，设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，消去，得出有关的一元二次方程，并列出韦达定理，同理将直线的方程与椭圆的方程联立可得出点的坐标，由已知条件得出线段与的中点重合，从而可得出有关的方程，求出的值，即可得出直线的方程．【详解】（Ⅰ）解：由点和关于点对称，得，

所以椭圆E的焦点为，，

由椭圆定义，得.所以，.

故椭圆的方程为；（Ⅱ）解：结论：存在直线，使得四边形的对角线互相平行.理由如下：由题可知直线，直线的斜率存在，设直线的方程为，直线的方程为由，消去得，

由题意，可知，设，，则，，

由消去,得，由，可知，设，又，则若四边形的对角线互相平行，则与的中点重合，所以，即故所以解得，所以直线为，四边形的对角线互相平分．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，对于直线与椭圆的综合问题，常采用韦达定理法，本题中注意到四边形为平行四边形，利用两对角线互相平分结合韦达定理进行求解，这是解题的关键，同时在解题中也要注意韦达定理法适用的情形．23．已知函数．(1)当时，求曲线在（2，f（2））处的切线方程；(2)若a=0，求函数的极值点.(3)若在区间上恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)有极小值点，无极大值点.(3)【分析】(1)求导，得出切线斜率即，，再由点斜式即可得出答案；(2)在定义域内求导，根据单调性即可判断函数的极值点；(3)求出函数的导数，通过讨论的范围结合函数的单调性确定的范围即可.【详解】（1）由题知，，则，，则，，所以在（2，f（2））处的切线方程为，即.（2），则，定义域为，，令，得或（舍去），则令，得，令，得，所以有极小值点，无极大值点.（3）已知，定义域为，因为，令，则或，当，即时，，则在上单调递增，不符合题意；当，即时，则在内单调递增，不符合题意；所以，即，此时，若，在区间上，所以单调递减，所