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文档简介
2023届高三第一次学业质量评价(t8联考)数学试题2023届高三第一次学业质量评价(T8联考)的数学试题,涵盖了数学的多个方面,包括代数、数学分析、几何、概率与统计等。其中,难度适中,着重考查了学生对于数学概念、方法和思维的理解和应用能力。本文将根据试题内容,对题目中的部分内容进行详细的解答和解释,以便学生理解并提高数学的学习成绩。
第一题:(本小题满分12分)
在平面直角坐标系$xOy$中,设函数$f(x)=\frac{3}{2}sinx-2cosx$。
(1)若$f(x+\frac{\pi}{2})=2f(x)$,求函数$f(x)$的解析式;
(2)若方程$f(x)=m$在$[0,\pi]$上有三个实根,则实数$m$的取值范围是多少?
解析:
(1)当$f(x+\frac{\pi}{2})=2f(x)$时,有:
$f(x+\frac{\pi}{2})=2f(x)$
$\frac{3}{2}sin(x+\frac{\pi}{2})-2cos(x+\frac{\pi}{2})=2(\frac{3}{2}sinx-2cosx)$
$3cosx-4sinx=0$
$\frac{3}{5}cosx=\frac{4}{5}sinx$
$tanx=\frac{3}{4}$
$x=arctan\frac{3}{4}+n\pi$
因此,函数$f(x)=\frac{3}{2}sinx-2cosx$的解析式为:
$f(x)=\frac{3}{2}sin(x+arctan\frac{3}{4})-2cos(x+arctan\frac{3}{4})$
(2)不妨设$f(x)=m$在$[0,\pi]$上的三个实根为$x_1,x_2,x_3$,则方程$f(x)-m=0$在$x_1,x_2,x_3$处的导数均存在,且为零。因此,有:
$f'(x_1)=f'(x_2)=f'(x_3)=0$
$\frac{3}{2}cosx_1+2sinx_1=\frac{3}{2}cosx_2+2sinx_2=\frac{3}{2}cosx_3+2sinx_3=0$
将以上等式相加得:
$\frac{3}{2}(cosx_1+cosx_2+cosx_3)+2(sinx_1+sinx_2+sinx_3)=0$
注意到$cosx+sinx=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$,
因此对于任意的$a,b\inR$,都有:
$|a\cosx+b\sinx|\leq\sqrt{a^2+b^2}$
因此,有:
$\sqrt{2}\sin(x_1+\frac{\pi}{4})+\sqrt{2}\sin(x_2+\frac{\pi}{4})+\sqrt{2}\sin(x_3+\frac{\pi}{4})\leq\frac{3}{\sqrt{2}}\sqrt{4+9}$
$\sin(x_1+\frac{\pi}{4})+\sin(x_2+\frac{\pi}{4})+\sin(x_3+\frac{\pi}{4})\leq\frac{9}{4}$
由于当$|\sinx|\leq1$时,有:
$\sinx\leq|sinx|\leq1$
因此,有:
$\sin(x_1+\frac{\pi}{4})+\sin(x_2+\frac{\pi}{4})+\sin(x_3+\frac{\pi}{4})\geq-3$
综上,得到实数$m$的取值范围:
$-3\leqm\leq\frac{9}{4}$
第二题:(本小题满分12分)
已知函数$f(x)=2^x-ax^2+b$,
(1)当$a=2$,$b=10$时,在区间$[-1,1]$上,函数$f(x)$的最小值为多少?
(2)若函数$f(x)$存在两个不同的零点,求实数$a,b$的取值范围。
解析:
(1)对于任意的$x\in[-1,1]$,有:
$2^x\geq1$
$-ax^2+b\geq-a+b$
因此,有:
$f(x)\geq1-a+b$
当$a=2$,$b=10$时,有:
$f(x)\geq-7$
当且仅当$x=0$时,$f(x)$取到最小值$-7$。
(2)设$f(x_1)=f(x_2)=0$,则有:
$2^{x_1}-ax_1^2+b=0$
$2^{x_2}-ax_2^2+b=0$
将两式相加得:
$2^{x_1}+2^{x_2}=a(x_1^2+x_2^2)$
由于$x_1,x_2$是$f(x)$的零点,因此有:
$2^{x_1}=ax_1^2-b$
$2^{x_2}=ax_2^2-b$
将上式代入原式得:
$ax_1^2+ax_2^2-b\geq(x_1^2+x_2^2)log_2a$
$(a-1)(x_1^2+x_2^2)\leqb$
因此,实数$a,b$的取值范围为:
$(a-1)(x_1^2+x_2^2)\leqb$
其中$x_1,x_2$为$f(
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