自考复习专题：线性代数第5章

第五部分特征值与特征向量本章讨论方阵的特征值和特征向量，进而讨论方阵能与对角阵相似的充分必要条件以及实对称阵与对角阵相似的问题。5.1特征值与特征向量5.1.1特征值与特征向量的定义定义5.1.1设A是一个n阶方阵，入是一个数。如果存在一个非零的n维列向量p,使得Ap=Xpo则称入为方阵A的一个特征值，称p为A的属于特征值入的特征向量。由以上定义容易看出，D为A的属于特征值入的特征向量—p是齐次方程组（入E-A）=0的非零解。:星手,板图示0501-01由此可见，入为方阵a的一个特征值°|厲定义5.1.2称带参数入的方阵XE-A为方阵A的特征方阵，称，皿）=I®&为A的特征多项式,称|紀-牛。为A的特征方程。愁=2,愁=2,■=为A的特征多项式？看“11"12a2\a22/一国［十叮卩庆十们今2叩2囹2为二次多项式。对n阶方阵为二次多项式。对n阶方阵是一个n次多项式。所以n阶方阵A的特征方程是一元n次方程，容易知道，n阶方阵A在复数范围内，有n个根（重根按重数进行计算）。所以n阶方阵A在复数范围内必有n个特征值（重根按重数计算）。

手写板图示0501-02^+1=0例（叫-1糜-2）'（工-3）‘=0=1,X.=X/2孤=毛=瓦=31+2+3=6而当入是A的特征值时，齐次方程组（入E-A）X=0的所有非零解都是A的属于特征值X的特征向量。。=的所有特征值和所有特征向量。【答疑编号12050101]卩E一O=月兑=0<=>项］=A这说明，n阶0矩阵的n个特征值都是0。对于任给的n维非零向量p,都有Ap=0=0p,所以p都是0矩阵的属于特征值0的特征向量。例2当陟-牛°时，2是A的特征值。当韻+御=0时，入二 是A的特征值。【答疑编号12050102]建灵手写板图示0501-03|A£—j4|=0则;I为|A£—j4|=0则;I为k的特征值. 3 _--■—--4=02二人=一:为A的一个特征值-例3设A例3设A是一个n阶方阵，且满足出=时办证明：T是矩阵A的特征值。【答疑编号12050103]”关手写板图示0501-04|^-J4|=OnX是|^-J4|=OnX是A的特征值=緋4了5=风"『十”=仇I5十电丁=|』俾+』| '-■|j4|<0[1+(-国b]|甘+，|=0 1+(-跳>0■■■俾十圳=。 .・・T是A的-个恃征值例4设A是一个n阶方阵，且ANE。如果广以+妙)+广3一电)小，证明：-1是矩阵A的特征值。【答疑编号12050104].•隽手写板图示0501-05■要证\A+E\=d要证\A+E\=d只要证心+町')<”•.•心_恥）手1又心+EJ+r（AfQ=Hr（N+尻）Wn-L5.1.2关于特征值和特征向量的若干结论命题1方阵的特征值未必是实数。■011,日-1 .A= ，|兒占―= =兒'+1聞k火_]Q [只例5设L」显然，=士"即特征值都是复数。命题2三角形矩阵的特征值就是它主对角线上的所有元素。_r§手写板图示0501-06 一一-一一 如-"=3-旬1）3-相…annann是由的全体特征值命题3设巧是矩阵A的一个特征值，均'巧是矩阵A属于特征值用的特征向量，外柘是两个任意数，则当M口必葺时，Wl+q巧也是矩阵a属于特征值為的特征向量。■写板图示。5Q1FT证:纳二爲占=爲W.'.A[kyP十珞g）=十k^AF^—R爲坦+灼A）孔=爲（咼*+电潟、）■.■尤击+灼w孟0.'.上啬+灼w是』表示特征值爲的特征向重定理5.1.1n阶方阵A与它的转置有相同的特征值。这只要看心-A这只要看心-AT值得注意的是刃「与A未必有相同的特征向量。X所以=n卬」不是建的特征向量。（此题给出了判断向量是否是AX所以=n卬」不是建的特征向量。（此题给出了判断向量是否是A的特征向量的方法）。【答疑编号12050105］定理5.1.2设々'叱定理5.1.2设々'叱■^是n阶方阵力的全体特征值。则£4=切&="[]中山？2+■,,+口浴j,n勾=1引。1=1 1=1，舞手写板图示0501-08-A=2?_（司］+Q錦）見十代］母紀-

二人_（缶1十勺J兀+14

十為=佝J十晚22制2=怛|、 、r, •、亠f国=-电方4-a 1必一'+■.・+口1工+In定理5.1.3设A为n阶万阵,『、'部 职-1 1 0八A）=%來十%］缽T十…十时十气E为对应的方阵多项式。如果非零向量p满足Ap=Xp, f（A）p=f（入）p。这表明，如果入是A的特征值，则f（入）就是方阵f（A）的特征值，且如果p是方阵A属于特征值入的特征向量，则p也是方阵f（A）属于特征值f（入）的特征向量。..善手写板图示0502-01A•是A的特征值卩拦。Ap=XpA2p=A（Ap）=A（X.p）=A（Ap）=A-（Ap）v2二A-p（A£+2A+3E）p=A£p+2Ap+3p=経p+2Xp+Sp=（X2十汴十3）p f（A）p=f（X）pr^B=^?-2A+3E的所有特征值。【答疑编号12050201].■丢手写•图示0502-02~12_解；"= 廢司为A的所有L。3」特征值，E=f(A)=V-韭+3E二B的特征值为心槌(3)即2,6二毗恃征值为涌例8已知n阶方阵A2-A-6^=。，求A的所有特征值。【答疑编号12050202],寧手写板图示0502-03te：'.'fU)=a2-a-se=o以心的結征值为。设&的特征值为卜则X2-X-6=0即(入■一3)(A+2)=0丄1=3j标=~2.■-A的特征值为3或点定理5.1.4设A是可逆方阵，入是A的一个特征值,p是方阵A属于特征值入的特征向量，则入NO,且p是方阵A」属于特征值元的特征向量。

•，手写,图示0502-04uE：---x是由的一个特征值.■/成可逆阵IaI^o又I止为M■■■MiXHO.q是a的特征值,二存在pho,使得Ap=A.p用左乘两边得p=XA-1p■_■丄壬o..•虹七二土口•••£＜『'的一个特征值P是「属于特征值％的特征向量定理5.1.5设外叱'…湿止是矩阵A的k个两两不相同的特征值，且旳分别是关于■V*&的特征向量。则，/W母线性无关。.,共手,板图示05只对k=2证明证Pijp2是也属于M 的特征向童,M王晟考虑k1P1+k2p2=0①用医乘得 A_Ck]P[+蛉电)=0即0丄[口[十处易p广Q②*1①得k1妇卩]Hz丄1P2=0 ③②-③得k2(^2_^1)P£=0.••改产口A-«p—Ji]LJ.■.：&有蜓=0同理知ki=0■■■%,改线性无关5.1.3关于求特征值和特征向量的一般方法A=24例9求出卢4A=24例9求出卢226」的特征值和线性无关的特征向量。【答疑编号12050203]声手写■图示声手写■图示0502-06（丄E一山）k=0（丄E一山）k=02E-A=-4-2-4_2120o0jF000X-2-2X+40①HT)②(k-2)-2A■-3-2-1011-20=(A-2)2-2X-3-2-101•矣手写•图示0502-07=d/di）得X]-\<2.=2jM3二U是A的全部特征值.当X[二M驾时，取为相，气为自由未知藐.•■手写,图示0502-08■■-山的属于特征值2的线性无关的特征向重-1-1-1Pl=当^3=11时(11E-A)k=0是瀉于11的持征向量是瀉于11的持征向量5-2~4~1-41-2S-2F；-9-4-4-25-4-251-411-41018-902-10-18900011E-A=212L•矣手写板图示0502-10是诵三个线性无关的特征的向重.解（1）写出特征多项式A-6-2-4A-6-2-4A-6-2-4-22-3-2—-2見一3-2=0f-2見-3-2-4-2A-62-A01-2-101厲一副=3_2)-2^+401-20100(』-2)-2A-3-2-2A-3-2=牛2)“-2-2-10-101-1-21二（貝-2）气』—11）得兀=4=2,&=11为的全部特征值。卜面求A的特征向量。当&===2时,A的属于该特征值的线性无关的特征向量就是齐次方程组心=0的基础解2E-A='-4-22E-A='-4-2_4一_212_-2-1-2T000_-4-2_4__000_P1=取的，电为自由未知数，得A的属于特征值2的线性无关的特征向量-12，刃=_0_当4=11时，则A的属于特征值的线性无关的特征向量就是齐次方程组P1=取的，电为自由未知数，得A的属于特征值2的线性无关的特征向量-12，刃=_0_当4=11时，则A的属于特征值的线性无关的特征向量就是齐次方程组（11丹-旦）I-101：0的基础解系。而_5-2-4"_1-4'1-4I-1迅-如-28-2TQ18_9->02-1-4-25Q-189000取沔自由未知数，得的属于特征值的线性无关的特征向量为所以'-I-'-I-~22，刃=0，实＞=1_0__1_2Pi=2是矩阵A的三个线性无关的特征向量。例10求矩阵的特征值和特征向量。【答疑编号12050204](X—2)(X—4)X-4.,晶的全部特征值为M=处=幻丄3=4Oi-1211当A-]=A9—2jE—A=0-11T01-1-2-1-1000————110101二（舄一2）‘（X—4）小结：（1） 求特征值特征向量的方法步骤。（2） 对于A的二重特征值，可能有两个线性无关的特征向量，也可能只有一个线性无关的特征向量。一般，若入二a是A的k重特征值，A至多有k个属于入二a的线性无关的特征向量。（可能少于k个！）关手写板图示0502-13 r-r牛111■■r21-inp1-r為=4时;招=01】T0】】L-2-11 0001 J ■■11 ri'0莉）为A属于情征值[1J[1』的全部特征同置丄睥是网的全部建性无关的特征向宣例11设n阶方阵"斃了）的每一行中元素之和同为a,证明：a是矩阵"=%了）的特征值，并求出它属于该特征值的一个特征向量。【答疑编号12050205]手写板图示-an+*口+…+#加a丁Ax—a21+尊22+，'二at二aI61+%"•+%」a11—w•,-必为』的一个特征值（LL…，1/为a感干持征值C3的恃征向重~r_2ira=是j4二121例12求出k的值，使得_i__112_的逆矩阵的特征向量。【答疑编号12050206]手写■图示0502-15解）也是丄的特征向量即存在丄， 1使得Aa=AaF211_「1一「1一即121k=4k112■.1■■1-■2+4+1=X2+2Jt=2it即，3十此=A©ftA②得2十2止二（先十3）先即尸+存-2=。

（上+2）（女一1）二。'•k=-2或k=1小结特征值和特征向量的定义；入是n阶矩阵A的特征值的充分必要条件是|悲-』=0,而齐次方程组R用-4）阵0的所有非零解都是A属于特征值入的特征向量；3•关于特征值和特征向量的若干重要结论；如

*4-X,+■■■+^=trA=廿]]■*■廿2n 1-。演;码…凡T別A属于不同特征值的特征向量线性无关等4.求矩阵的特征值和特征向量的方法。作业P135习题5.12,3,4,5,6,7,8,9,10,115.2方阵的相似变换对于方阵A,要求』"七**一般来说，这是一个十分困难的问题。有两种情况我们会处理。建袞手写板图示而。'-，，雲J手写板图示0503-02而对一般的方阵A,要求四七十分困难。于是思考能否把求由*的问题转化为求一个对角阵的k次幂的问题呢？这首先希望找到A与对角阵的联系。这一节就讨论这个问题。5.2.1相似矩阵的概念一、定义定义5.2.1设A,B都是n阶方阵。如果存在一个可逆矩阵P,使得6=尸皿则称A与B相似，记为A〜B。'00__-21", 1_2-r伊二，P—则P~l=~-05取125-1-2故A与B相似。【答疑编号12050301]例2设A,B都是n阶方阵。A可逆，则AB与BA相似。【答疑编号12050302]Vb-写板图示-证：二』可逆要证=AB与E白相似BA=^_1|如以存在可逆阵P，使得二AB与昉相似BA=户一气航）卢证因为妒（眼）A=3小）曲二曲，故ab与BA相似。例3设B是n阶方阵，若n阶单位阵电与B相似，则~=电。【答疑编号12050303]/•云手写•图示0503-04证'也与％相候 存在可逆阵日使得B=r1EnP=^1P=En、相似矩阵的性质:（1）反身性；（2）对称性；（3）传递性。:■手写，图示0503-05证⑴任给11阶方阵火有A与A相似只要看丄=供"丄与⑵若A与E相似，则E与A也相似•••食与日相俱..•存在可逆阵F使得B=FrlAP:.A=務T=(尸T)1B(广]二日与A也相似_•宛手写板图示0503-06⑶若A与B相似，B与C相以，则A与C相似-.0与E相似，...存在可逆阵P,使得&=P_LAP同理存在可逆阵Q,使得C=Q_1EQ・C=Q_1BQ=Q_1P_1APQ■■=(PQf1A(PQ).■-A与C也相似定理5.2.1设n阶方阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而特征值完全相同。从而有圳=固和hA=irB.需注意的是A与B不一定有相同的特征向量。•貝手写•图示050307证：..是与E相似.・・存在可逆阵F.使得B=F】AP

又下一£|=卩pi砂一卩一】妒|二"T[XE-A)P二俱-1睥"|f|= —利即H与日有相同的特祉多哽式..畐与E有相同的特征值

只要看例1中,-2_-2_12_■-2_-。一,四=241—0-24」的一个属于特征值o的特征向量，但_0Q-_-2_Bp=051—5r-2iroonB=L1」不是矩阵05所以属于特征值0的特征向量。推论若n阶方阵A与三角阵相似，则该三角阵的主对角元素就是A的所有特征值。推论oo-'10o-0010y0_01A__00-1_且A与B相似。求参数x,y。【答疑编号12050304]•关手写，图示0503-08fe---A与B相供二fe---A与B相供二I副二I外；trA.=trB-1=-Vi+"_y"=1/M=.E阳-例5设n阶方阵A与B相似，证明：方阵多项式f(A)与f(B)相似，其中【答疑编号12050305]手写■图示0503-09证L.F与B相似...存在可逆阵F,使得B=P~lAP:.B1=尸顼Pp-1]AF=P~lAiP=P-^Pk二LW,…，in/邙)=£財斗心PNT ET=2X(5"=*顷A-l5.2.2方阵与对角阵相似

pplP2曷pplP2曷P~^AP使得0 0^设三阶方阵A与对角阵相似。存在可逆阵即％如电是矩阵A的三个特征值，如P*依次为矩阵A属于特征值车知也的特征向量。上面的讨论对n阶方阵可类似注意尸=[凡P2曷可逆的充分必要条上面的讨论对n阶方阵可类似的进行。于是有下面的重要定理定理5.2.2n定理5.2.2n阶方阵A与对角阵贰界」相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。设“项是A的n个特征值，和‘旳‘…’为依次是A属于特征值％ …，项孙的线性无关的特征向量,巧-如的特征向量,巧-如推论设n阶方阵A有n个不同的特征值（即特征方程无重根），则A必能和对角阵相似。（这是充分条件，不是必要条件）分析矩阵不能与对角阵相似的原因。例6不能与对角阵相似。例6不能与对角阵相似。【答疑编号12050401]_t类;手写，图示0504-01xE-A=E-A=0100得_t类;手写，图示0504-01xE-A=E-A=0100得CAE-A）^0的基础解系P=■■■AH有一个线性无关的特征向童二A■不能与时角阵相供2例7判断L4能否与对角阵相似？若能，求出变换矩阵P。【答疑编号12050402]在上一节例9已求出A的全部特征值&=”2=丄电=11当咼=&=2时,A有两个线性无关的特征向量:-1孔二当咼=&=2时,A有两个线性无关的特征向量:-1孔二20-10,-1-对吃一11—，A有一个线性无关的特征向量Pi所以是矩阵Pi所以是矩阵A的三个线性无关的特征向量。F=IPiP2故A能与对角阵相似，取变换矩阵2。0尸所二020o必有I。。11-例8判断矩阵_2-11一.4=03-1-21 能否与对角阵相似，若相似，求出变换矩阵。【答疑编号12050403]解在上一节例10已求出A的全部特征值得A的全部特征值为*2=2例=4Pi=A只有一个属于特征值为=13=3'的线性无关的特征向量所以A没有三个线性无关的特征向量，故A不能与对角阵相似。-1-20-2例9设问A是否相似于对角阵？若是，则求出其相似标准形。【答疑编号12050404】

:蒙手写板图示0504-02 221一XX—10I-A©-KD=(i-A-fX-3=(1-A?1©-KD=(i-A-fX-3=(1-A?11■7'12-100-1X-31X-201022-1-2122-1~2当x{= =[时XE-A=-212——»000-212■_000"(11)3的全部特征值为扃=猗』痍F，黒■写板图示0504-03、取*为约東未知数，改旳为自由未知数了了Pi=2F广0，黒■写板图示0504-03、取*为约東未知数，改旳为自由未知数了了Pi=2F广001当X3二口时为j底于、二為土二1的两个线性无关的特征向重-31~20-21XE-A=-A=漏于匕二口的特征

卩_向量电=11L■手写板图示0504-04取P=PiP2P3为山的相似标准形例10已知三阶方阵A的三个特征值为*=L叱="向=T与它们对应的特征向量分别为:3厂【23厂【2—21]=【―N_]N求矩阵A。【答疑编号12050405]【答疑编号12050405]C第手写板图示0504-05F=PiP如2-2-2-112AC第手写板图示0504-05F=PiP如2-2-2-112A二例11设1」，求砂。10-10-1P_122-21-2-12-102【答疑编号12050406］?关手写板图示0504-06、■A=21IM土巳二*1.mx+i）得a的特征值xL=3,a2=-i当W3时皿修扣叩二的二［；］是山属于L二3的特征向重当丄2=-1时*E-A=［；•.•「2七］是源于特征值AL的特征向量，手写板图示-M11111-1-1-1~-11P_1AP=300-1A=P300-1P_1AnP_1AP=300-1A=P300-1P_1An=P0-10-1TlF_1=F-1—]tp)—pP~L300-1n.,nn『_时L3+(-1) 3+(-1)n,_\口+1n,ji3十(一1) 3 +(-1)小结主要概念：相似的定义和性质。n阶方阵能与对角阵相似的充分必要条件；及充分条件(特征方程无重根)。主要习题类型：判断n阶方阵能否与角阵相似，相似时，求出变换矩阵。已知方阵的全部特征值和n个线性无关的特征向量，求矩阵A利用相似矩阵的性质求矩阵中的未知参数。作业P144习题5.21.(1),(2),(5),2,3,4(2),55.3向量内积和正交矩阵5.3.1向量的内积、定义定义5.3.1设定义5.3.1设都是n维实向量。皿#)=气杵+】尹A+…十%^3=&为句=女貝定义 为CL与B的内积。显然，江与B的内积的内积是一个实数，所以内积也称数量积。例］设冥=(-，-3,-2,7)危=(4,-电0)求它们的内积。【答疑编号12050501］解(A用=一4+6-2=。二、性质交换律(a,B)=(B,a)

（1）线性性质（如1十知％卽=岷乳⑶十硕约顼;=0的充分必要条件是a=0o正定性对任意的CL，总有（CL,CL）巳0,且（CL,=0的充分必要条件是a=0o（叫①=%+%中…+独=NG只要看 1』 『1（4）许瓦兹不等式K心劍亀ese用（*）而且式（*）中等式成立的充分必要条件是a与B线性相关。（证明从略）三、向量的长度定义5.3.2设十…十为向量CL的长度。当间1=1时，称向量a为单位向量。抑22^7=1-显然，CL为单位向量1=1向量长度的性质：（1）非负性：同河且||圳=口0出.（2）齐次性：恤IH那时,关手写板图示•5.5-01l|m||=、（m业口）=、详（口』口）=回小叮）=|"|冋I只要看||如||=虹心=。㈣），十^卩‘十…十（知城）'=歷賦十*」…十展=RIH-（3）三角形不等式枉+到目岡+落

/血邛传加肘引许瓦盆不等式|（口!B）|J||M，||印，证II□十B|「=（口十Bn十B）=（□,□）*（□,B）十]b，B）=I叫，+家L8）+||B『w||ci||气加』bHIB『]]朋回川B||十||耶=（||口||上・.f||钊回却B||可见，n维向量长度的性质与三维向量长度的性质相同。显然，基本单位向量号=竹°"■1■""1为单位向量。1对于任意的非零向量11^11为单位向量，称它为a的单位化向量。^||=1O1^||=1O £1'因为lid因为容易看出，当k/O时，kcl的单位化向量与a的单位化向量相同。例2对于a=（1,2,3）。求它的单位化向量。【答疑编号12050502]网顼+'+矿=应,所以，它的单位化向量为|网成’g请自已读例3（p147）,目的搞清楚每个式子是否有意义。四、向量的正交与正交向量组定义5.3.3若（a,B）=0，则称向量a与B正交。显然零向量与任何向量都正交。

定义5.3.4如果一个同维向量组不含零向量，且其中任意两个向量都正交（两两正交），则称该向量组为正交向量组。例3在民‘中，气=卩丄与=①丄％=（艮°」）一个正交向量组。且为一个标准正交向量组。（还是一个标准正交基）。【答疑编号12050503]例4求一个单位向量x,使得即垂直于a=（1,1,1）又垂直于B=（1.-2,1）。【答疑编号12050504]L走手,板图示0505-04解设vJl.则（財）=。.〔跖卩）=0,即A-解设vJl.则（財）=。.〔跖卩）=0,即A--20-30010得即为所求将x单位化得定理5.3.1正交向量组必线性无关。证-设 •••□!!,是正交向重组考虑klal+k2a2+■■■+k<nam=0两边与ai（i=1j2r■m）做內积得k1（Gija1）+---+v1（a1_ljaL）+k1（aljCL1）+5*+ig]）+-fL）=o•口」…口m是正交向重组」（口八口」。杓）■,- 即k】||旳|F=0.I闽溟Q肪有始二。（i=iMl"）叽吃一心线性无关.5.3.2施密特正交化手续能否根据给定的一个线性无关向量组，构造出与它等价的正交向量组。为使&丄（吃81）=（吃岗）-昼1（岗，岗）=。'■成=；齢）&=俱-*展广跪盘为使为丄％两边与&做内积，得私8卩=&四-k3ic6t,B]*戒.&，&i）

=（购岛）-旳邛1值）=。■.-.k kj£aA）（61，E（氐為施密特正交化手续.【答疑编号12050505]

b-安手写■图示0505-0S解：取&=口1=耳=口厂睑1岗=*些鸟）（鸟關）03_201I阂I1~201I阂I1~2_—00-3-131————（口3，岛）口 （口饥&）n&3=四-始出1吐睨&二口3_俱],岗）斗-£耳）堤1-1-1下辺单位化置食;寓即为所求・5.3.3 正交矩阵一、定义定义5.3.5如果n阶实方阵A满足世”=&碑,则称A为正交矩阵。例6证明下列矩阵为正交矩阵（1）区内因为跖毬见=由所以耳5为正交阵。【答疑编号12050601]1_uO=A\]/2【答疑编号12050602]卜走手写板图示枫00VE互2200VE互222_叵22■■■A为正交阵(3)cos^sin(3)cos^sin日cos^【答疑编号12050603]手写板图示0506-02cos9sin手写板图示0506-02cos9sin6cos0—sin.6-sin0cos6-sin0cos6sinBcos0一cos6sLii0+一cos6sLii0+sin9cosBnn与+COS£6一win.Bcas日+cqs0sin日湛正交阵二、正交矩阵的性质如果A是正交阵，则俱卜:■手写，图示•506-03如果A是正交阵，则A必可逆，且兒T二』『；正交阵的逆，转置和伴随阵都是正交阵；-■手写板图示0506-04AAT=EA可逆，且&T二jCA1A=E尸"都是正交阵.A1・・.罪侬・・.罪侬f)(lW

=|a|2 (A1)rlr=ea也正交设A,B都是正交阵，则它们的乘积仍为正交阵;,妄手写板图示0506-05证（AB）（AB）T=A（BBr）AJ=AEZ=E...曲也是正交阵设A是n阶正交阵，cl,B都是n维向量，则日圆=（它岗。特别，定細，应HM。关手写板图示证 3")WE(Act, )=(Aa7 二a1jj"二十E=(3)当R二。时得Ua,Aa)=(oc,a)即问勺商而E同I定理5.3.2n阶方阵是正交阵的充分必要条件是它的行（列）向量组是标准正交向量组。手写板图示050507 证=设煲正交矩阵，设卜囱顼氏1口］园CL矿.••勺耶一电叩&财■.一电0J' '''=Ef?y口妄手写板图示0506-08QjiQiHjLiUil012■■■OCin）Qj2_QjTl—=aniiji+Hijaj2+---+HirLajTL=（功皿），宾手写板图示0506-09L.象手写板图示0506-10即Qi!az,--■!an构成标准正交向童组.反之，若也，…，an=EMr==E例7判断下列矩阵是否为正交阵1(1)-11(1)-1222 2-122-1【答疑编号12050604]10-10(2)01(2)【答疑编号12050605]例8设x为n维单位列向量。证明是对称正交阵。且有Hx=-x【答疑编号12050606]「衰手写,图示0506-11IT1 1 1TT皿H=(En-2sKT)=En-(2kk)睫对称阵HH'=(En-2sKT)(Er器舟)=En-2KKT-2sK_r4'4KKl嘉嘉’=Er-4Ks7+4k(ktk)s7.,运手写•图示12X为单位向重，ktk=1HHn=En 皖正交阵Hit=（En_2KK'）K=EnK_2K（S'=k-2k=-k. 命题得证例9设A是n阶正交阵。入是A的一个特征值。证明入NO,且』也是A的一个特征值。【答疑编号12050607]•■手写板图示0剛侦证a£正交阵，.■-必可逆^0又山T=FA土是虬1=忒的恃征值而山与布相同的特征值土也是A的特征值.小结向量a与B内积的定义与性质；向量长度的定义，如何将向量单位化；两向量正交与正交向量组的定义，正交向量组必线性无关；施密特正交化手续；正交矩阵的定义和性质。作业p153习题5。31，5（1）,6,7,85.4实对称矩阵的相似标准形5.4.1实对称矩阵的性质定理5.4.1实对称矩阵的特征值必为实数。定理5.4.2实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。证.设"为实对称阵A的两个恃征值且%-必」。，夕分别为A属于特征值石，為的特征向重要证度丄P.即加二015）=（标#=枷用）（如仞=〔加）麟=次①”）■■■AT=A-”「（A#）=快丁&#=.（口」们=为WM）即（■-Y）（球）二口M以.•.必有0成）二。二厦与#正交（”丄多定义5.4.1设A,B都是n阶方阵，若存在正交阵P使得B=P~lAP,则称A与B正交相似。定理5.4.3（实对称矩阵的基本定理）设A为n阶实对称阵，则A必能与对角阵正交相似，即存在正交阵P，使得其中，"丁是方阵A的n个特征值。反之，凡是正交相似于对角阵的实方阵一定是实对称阵。_♦玉手写板图示0507-02/0■■O'证.设』与A=0志-0正交相似0 0■■■A_即存在一个正交阵RI吏得P~XAP=NH=PNP-1逐二（FAF-叩二C时=/)=P%P~'=A二R为对祢阵我们证明定理的后半部分。设A是n阶方阵，存在正交阵P使得则H二瓢尸二FAW,故4二（P带〉二恰序二缽产二A,即A为对称阵。5.4.2求正交阵，使实对称阵正交相似于对角形设A是实对称阵。要求正交阵P,使得设A是实对称阵。要求正交阵P,使得尸敏为对角形。卜面看例题。32丄"2012320，求正交阵和对角阵0用」，使得F项F二人。【答疑编号12050701]kk走手写板图示0507-03解:Ci)求A的結征值IS-A=C^-3)'^-2iU-l.=0得A的全部恃征值为:&=1,&二％%=3L芙手写板图示0507-04(2)求A的特征向重-1-211,急手写転图示.50T-Q5取与，眄为约束未知数，耗为自由未知数，得弓=为A属于特征值4=1的特征向重12121202120100取如此为约束末知教，贯N为自由未知数，得--「与=10:关手写板图示0507-06当柘=3时（3E—A）X=QP3=是漏于特征值3的特征向重ll矣手写板图示0507-07解(1)求A的特征值A--212A--212012A--20A-3=C4_g_2)M_l)=Q(2)求特征向量^E-A=1^E-A=1212012120当&二1时,如=得矩阵A的属于特征值刀二1的特征向量AE-A=1212012120-2当爲=2时,P2得矩阵A的属于特征值日=2的特征向量-13S-A=3P2得矩阵A的属于特征值日=2的特征向量-13S-A=321202320'13O''13o'T3100-g0T000