“三线合一”证题

等腰三角形

巧用“三线合一〃证题“三线合一〃是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用，供参考。一.直接应用“三线合一〃例1.,如图1,AD是AABC的角平分线，DE、DF分别是乙钻。和A4CD的高。求证：AD垂直平分EF分析：从此题的条件和图形特征看，欲证AD垂直平分EF,因为有N1=N2,所以只要证AAE尸为等腰三角形即可证明：•/DE1AB,DF1AC又N1=N2/.AD垂直平分EF例2.如图2,AABC中，AB=AC,AD为BC边上的高，AD的中点为M,CM的延长线交AB于点K,求证：AB=3AK分析：可考虑作DE//CK交AB于E,因为M是AD的中点，所以K是AE的中点，只要证E是BK的中点，问题可得到解决。由于有AD±BC,所以就想到用“三线合一〃。证明：过点D作DE//CK交BK于点E二.先连线，再用“三线合一〃例3.如图3,在八钻。中，ZA=90\AB=AC,D是BC的中点，P为BC上任一点,作PEL45,PF1AC,垂足分别为E、F求证：（1）DE=DF；[2）DEU）F分析：（1）欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。观察DE为ABDE或"的一边，DF为△。£P或△。回C的边，但它们都没有全等的可能。由于D为等腰直角三角形的底边BC上的中点，于是我们想到连结AD一试，这时容易发现3ACKD或^BDF=AADF问题得证。[2）欲证DEL。尸，只要证NADE+NAO尸=90°,即可但由（1）已证出NAQE=NCD/又NADb+NCDb=9。。，故问题解决证明：连结AD。・・・D是BC的中点ABAC=90°,AB=ACDA平分N84C,AD1BC・・.四边形PEAF是矩形又・・・A3=AC.・.AE=C/又NEAD=/FCD=45°,AD=DC⑵・・・AA£D二ACFD又・・・ZADF+/CDF=90°即DE1DF三.先构造等腰三角形，再用“三线合一〃例4.如图4,四边形ABCD中，ZACB=ZADB=90°,M、N分别为AB、CD的中点,求证：MN1.CD分析：由于MN与CD同在AMCD中，又N为CD的中点，于是就想到证AMCD为等腰

三角形，由于MD、MC为用AADB、RfAACS斜边AB上的中线，因此MD=MC='AB,2所以，问题容易解决。证明：连结DM、CM/ZACB=ZADB=90°,M是AB的中点・・△CM。是等腰三角形又・.・N是CD的中点，:.MN1CD例5.如图5,小钻。中，BC、CF分别平分NABC和NAC8,AKL5E于E,AELCF于F,求证：EF//BC分析：由BE平分NA5C、AELBE容易想到：延长AE交BC于M,可得等腰ABM4,E为AM的中点；同理可得等腰AC4N,F是AN的中点，故EF为A4MN的中位线，命题就能得证。证明：延长AE、AF分别交BC于M、N・・N1=N2,ARLBE・・M4M为等腰三角形即 :.AE=EM同理"=EV・・为A4A/N的中位线一、证明角相等【例1】：如图1,在AA3c中，AB=AC,于D.求证：ZBAC=2ZDBC.4图1【分析】作出等腰AABC的顶角平分线将顶角分为相等的两局部，根据“三线合一〃的性质证得NOBC等于其中任一局部即可.4图1【证明】作ABAC的平分线AE,则有Z1=Z2=1ZBAC.9：AB=AC,Z1=Z2,/.AE.LBC（三线合一）・・•・N2+NC=90。・又・•・ZDBC+ZC=90°..・・N2=NDBC.：.ZBAC=2ZDBC.【点拨】添加辅助线，利用等腰三角形的“三线合一〃性质，巧妙地构造了两个具有同一锐角的直角三角形，将条件与待证结论有机地联系在一起，从而容易获得问题的解决.二、证明线段相等【例2】〔2009•汕头）如图2,AA3C是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E,使C£=CD,过点D作。垂直为M.求证：BM=EM图2【分析】在ABDE中，DMLBE.如果能证得DB=DE,由“三线合一〃就可得出=图2【证明】：AA5C是等边三角形，D是的AC中点,・•・ZABC=NAC6=60。，BD平分ZABC（三线合一）.AZDBC=30°.又•：CE=CD,；./E=/CDE.又•：ZACB=/E+/CDE,：.ZE=}ZACB=30°.：.ZDBC=ZE=30°.：.DB=DE.又•：DM上BE,：.BM=EM〔三线合一）.【点拨】能利用“三线合一〃证明线段相等的问题，也可以用全等三角形来解决，但利用“三线合一〃证明要比用全等三角形证明简便得多.因此，我们在解决这类问题时，要纠正总是依据三角形全等的思维定势，应该优先选用“三线合一〃来解决.三、证明直线垂直【例3】（2009•义乌）如图3,在正AABC中，4。，3。于点口，以AD为一边向右作正4ADE.请判断AC、DE的位置关系，并给出证明.图3【分析】在正△ABC中，由“三线合一〃知ZCAD=3Q°.而4ADE也是正三角形，于是有ZFAE=/DAE—ZCAD=60°-30°=30°,这样就得AF是正4ADE的角平分线，再由“三线合一〃得AC.LDE.图3【证明】在正4ABC中，;AD±BC,：.ZCAD=30°（三线合一）・在正4ADE中，*?ZFAE=ZDAE-ACAD=60°-30°=30°,，AF是的平分线.：.AC±DE（三线合一）.【点拨】当题设中同时具备以下两个条件时，就可以利用“三线合一〃来证明两条直线相互垂直：（1）有一个等腰三角形；（2）两条直线中有一条是这个等腰三角形的顶角的平分线或底边上的中线所在的直线.例1.等腰三角形顶角为a,一腰上的高与底边所夹的角是p,则0与a的关系式为P= 。图1分析：如图1,AB-AC,BDLAC于D,作底边BC上的高AE,E为垂足，则可知NEAC二ZEAB=-a,又NEAC=9Q°—NGZp=90°-ZC,所以2ZE4C=P，0=；a。例2.：如图2,4ABC中，AB=AC,CEJ_AE于E,CE=-BC,E在AABC外，求证:2ZACE=ZBo图2分析：欲证NACE=NB,由于AOAB,因此只需构造一个与RtZ\ACE全等的三角形，即

做底边BC上的高即可。证明：作ADLBC于D,VAB=AC,・•・BD=-BC2又ce」bc,2，BD=CE。在RtAABD和RtAACE中，AB=AC,BD=CE,ARtAABD^RtAACE〔HL）。・•・NACE=NB例3.：如图3,等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线一点，CE二CD,DMJ_BC于M,求证：M是BE的中点。图3分析：欲证M是BE的中点，DM±BC,因此只需证DB=DE,即证NDBE=NE,根据等边△ABC,BD是中线，可知NDBC=30。，因此只需证NE=30。。证明：联结BD,:△ABC是等边三角形，AZABC=ZACB=60°VCD=CE,AZCDE=ZE=30°•「BD是AC边上中线，，BD平分NABC,即NDBC=30。AZDBE=ZEo，DB二DE又TDMLBE,.'DM是BE边上的中线，即M是BE的中点。［练习］.如图4,墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如以以下图的测