通信原理期末考试重要知识点2

多进制数字调制系统

多进制数字调制具有以下两个特点：

(1)在相同的码元传输速率下，多进制数字调制系统的信息传输速率比二进制高。

Rb=RB2bit/s

Rb=&logNbit/s

(2)在相同的信息传输速率下，多进制数字调制系统的码元传输速率比二进制低，

RBN<RB「BN<B2

可增加码元的能量，减小干扰的影响。

1.多进制数字振幅调制(MAS*

(1)多进制数字振幅调制的原理。

——多进制数字振幅调制又称多电平调制。

*MASK表示式:(波形)

eASX£b“g(t-nTJcoscoet

n

[0----------6

M-1------PM

P1+P2+..........P.w=l

2

(2)系统的带宽:BASK

(3)单位频带内有超过2bitk.Hz的信息传输速率。

2,进制数字频率调制(MFSQ

(1)多进制数字频率调制的原理

——M尸SK调制简称多频制,是二进制数字频率键控方式的直接推广。

(2)一个多频制系统的组成方框如图：

※带通滤波器的中心频率就是多个载频的频率。

※抽样判决器--在给定时刻上比较各包络。

(3)MFSK系统带宽：

Af单个码元宽度。

3.多进制数字相位调制(MPSQ

(1)多进制数字相位调制的原理

——多进制数字相位调制又称多相制。

*利用载波的多种不同相位(或相位差)表征数字信息的调制方式。也可分为绝对移相

(MPS/Q和相对(差分)移相("DPS®两种。

*多进制相位调制：M=2kK位码元。

一个相位表示K位二进码元.

*以四相制为例

⑵QPSK(QQPSg)信号调制的原理

(A)QPSK:

定义:用载波的四种不同相位来表征数列中的信息。

两个信息比特与载波相位9关系如下，分为A方式,B方式。

(B)QDSK:

定义:利用前后码元之间的相对相位变化来表示数字信息。

以前一码元相位作为参考，并令△9为本码元与前一码元的初相差。

信息比特与载波相位变化△。的关系如上所示，分为A方式,B方式。

(C)波形：

(D)表达式：

epsK=£g(J-nT)cos(0J+&)

n

=Z一)cos(oct-Zb„g(t一〃7；)sina)ct

nn

式中：容一一受调相位。

M进制用M种不同相位来表征。

«n=COS

6.=sin&

(3)QPSK(Q£>PS/O信号的产生与解调

(a)QPSK(QDPSa信号的产生

调相法：

相位选择法：

(b)QDSK(QDPSK)信号的解调

QPSK----相干解调：

QDPSK----相干解调

差分相干解调：

(4)功谱密度及系统的带宽：

QPSK(QDPSK)调制可以看作两个正交的2PSK调制的合成，故两者的功谱密度

分布规律相同。

系统的带宽：BdpsbQB^psK

QPSK(4PSK)

的M为楙图

T卜

4HMi

1卜

QUPSK佰％的产《格图

加我穿I热^卜|要F]~*|版卜

T

anr

愉入

故被提取电三田至产

比时

加，H忘H傲卜

极什tt校法

和竹比较法

APK是目前研究和应用较多的一种调制方式。

1.幅相键控信号的一般表示式为:

CAPAG尸ZAng(t-nTJcos(ct)ct+我)

n

=Zx“g«-〃7；)cos0/+Z1；g«-"7；)sinq.

nn

式中：&一一受调相位.

4---受调幅度.

X„=A„cos叨

y„=-A„sin%

*APK信号可看作两个正交调制信号之和。

*APK也称作为星座调制。

*研究较多，并被建议用于数字通信中的一种APK信号，是正交振幅调制(Q4M)信号。

2.正交振幅调制(QAM)

(1)定义:用两个独立的基带波形对两个相互正交的同频载波进行抑制载波的双边带调

制，利用己调信号在同一带宽内频谱正交的性质来实现两路并行的数字信息传输.

(2)正交振幅调制表示式为：

=

CQAM(O^i(r)cos31十〃?Q(r)sinCOc(t)

QAM解调一一与QPSK信号形相同，可采用相干检测法解调。

系统误码率一一与QPSK信号相干解调时系统误码率性能相同。

xn<ol

AB

11

01

________________________------------------------------•--------------A•

0A路1

••0

0010B路

4QM足阵

*0H01110

■

IU

OOHcm)]11

.II

力路

-----1----•-----------

0001IIH)

■■01

00010101UOJ100]

•♦•,00

1001

000001001100H路

16QAM兄片

载波同步技术

直接法(自同步法)、插入导频法(外同步法)

1.插入导频法

在抑制载波系统中，无法从接收信号中直接法提取载波，如DSB信号、2PSK信号、

VSB信号、SSB信号等。这些信号可以本身不含有载波或虽然含有载波但不易取出,

对于这些信号可以用插入导频法。

,|*（r）

发端导频应采用正交插入。

2直接法（自同步法）

可分为：非线性变换一一滤波法、特殊锁相环法。

（1）平方变换法

平方变换法提取同步载波

此法适合于抑制载波的双边带信号。

设输入是2PSK信号，经过平双律部件后，通过窄带滤波器取出频率成分，经二分

频率成分一一同步载波。如果二分频电路处理不当，“相位模糊”，即“反向工作”。对

2DPSK则不存在相位模糊的问题。

（2）平方环法

为了改善平方变换的性能，使恢复的相干载波更为纯净，常常在非线性处理之后加入锁

相环。

平方环法提取载波得到了广泛的应用。

（3）同相一正交环法（科斯塔斯环）

科斯塔斯（Costas）环的原理图

这种环路中，压控振荡器提供两路相互正交的载波，与输入信号分别在同相和正交两个

鉴别相器中进行鉴相得打、W中的数字信号，经低通滤波器后得到丫5、v6,再送到一

个乘法器相乘，去掉/、吨中的数字信号，得到反映VCO与输入载波相位之差的误差

控制信号V7o

输入信号为：x（/）cos0）ct

同相与正交两鉴相器的本地参考信号分别为:

Vi=COS（WcZ+0）

V2=sin（wt/+9）

输入信号与0、也相乘后得：

V3=x(r)cos(0tlcos(0)ct+。)=—x(/)[cose+cos(201+J)]

<

V4=x(r)cosCOctsin(COct+。)=—x(r)[sin夕+sin(2S(，+6)]

经低通滤波器后得：

U5=；X(/)COS。

{?6=；x(f)sine

将彩、%，送乘法器相乘后得：

1,17

v1=v5v(,=—x(f)sincos^=—x(r)sin2^

[尤2⑺26=%2(/婚

这个电压环路滤波器以后控制VC0使它与0c同频，相位只差一个很小的0«

vt=cos(a)ct+6)----同步载波

丫5=)x(，)cos6=gx(f)---解调器的输出。

科斯塔斯环的优点有两个：

1.科斯塔斯环工作在。，频率上,比平方环工作频率低，且不用平方器件和分频器，当载波频率

很高时，工作频率较低的同相正交环路易于实现；

2.当环路正常锁定后，同相鉴相器的输出就是所需要解调的原数字序列。这种电路具有提取

载波和相干解调的双重功能。

3.科斯塔斯环的缺点是电路较复杂以及存在着相位模糊的问题。

对于2PSK或DSB信号可采用上述科斯塔斯环来恢复载波。对于多相PSK可采用相应

的多相科斯塔斯环来提取载波。

§8最佳接收

要点：通信系统的统计模型、

最佳接收机的原理和结构

最佳接收机的性能分析

最佳基带系统

§8.1通信系统的统计模型

图8.1数字通信的统计模型

数字通信系统的统计模型如图8.1所示。发送的消息对应于信源，(消息是信息的载体卜消

息的集合U就构成所谓的流鼠变例。(例如，由26个字母组成的英语消息空间)。消息要通信,

必须转化成适合于信道传输的信号(即通常意义下的编码与调制)，并且它是一一对应的，那么

消息空间中的消息就一一映射到售号至7皿X中的信号。在信号空间中，信号被设计成适合于

信道传输的形式，对于带通型的信道，则信号应该是带通型的信号•；对于基带型信道，信号应该

是基带型信号。

在某一个码元传输时间内，消息空间中发送的消息是随机产生的,因此对应于消息空间的

传输信号也是随机的，但是由于信号空间中对应各消息的信号是确定的（如二进制2PSK信号

空间中，两个信号分别是±Acos2nfct），经过信道后由于信道白噪声的加入，使接收信号在接

收端变成了随机的信号。例如，对于二进制调制信号的接收信号为:土Acos2口"+〃⑺。

假设接收时载波和时间是同步的，则在某个码元时间内，从接收机的角度看,接收机收到

信号空间中某个经过噪声污染的信号，但是它并不知道当前码元时间内传送的是什么消息。

接收机的主要任务是确定一种判断方法，以接收到的信号为基础判断当前的发送信息是什

么？确定判决方法是容易也是多样的，但是什么样的判决方法是最佳的呢？这就是数字信号

的最佳接收机试图解决的问题。此处最佳的含义一般指通信误码率最小。

接收机根据接收信号Y,判断X。它的工作一般可以分为（或者可以等效成）两部分，一部

分把接收的波形y"）处理后得到一个判决依据R,叫“判决量”，另一部分进行判决。如图

8-2所示。

y<>>xCDc<i>

图8.2AWGN信道下的接收机

1.AWGN信道下接收信号的统计特性

理想AWGN信道下，假设发送端前后码元的发送是统计独立的，且接收端载波与定时同步，

则在任意码元时间间隔内，接收信号可以表示为y（t）=x（»+〃&）,其中〃是均值为0,

双边功率谱密度为国的高斯白噪声,x〃）是发送信号经过信道后在接收端收到的信号分量,

2

x（t）e｛.y,…，这里将集合#⑺,邑⑺…s”⑺｝称为信号空间，设信号

映射将信源符号^｛X„X2...Xj一—映射至信号空间冷｛4⑺应⑺.….⑺｝。

帝窕为B的y（f）=x（L）+n《）

谑波器

n(t)

图8.3理想AWGN信道下数字接收分析的模型

,0<ti<Ts

其中△是码元间隔。假设港督波器是理想的，&（力是窄带的高斯过程，其均值为0、方

差为〃祝当B无限宽时，信道就是理想AWGN信道。当加（。进行抽样，抽样速率为2B,

则各抽样点之间是互相独立的，均值为0、方差为〃/的高斯随机变量。

在北时间内，抽样点数为沪北26,抽样间隔为At=」一。

IB

f（y（to）,y（杨…y（3）|x（场，x（方）….x（加》）

(yUi)-W))2

N-[i

2〃心1、"但

Ji=0'2minB

1N-

2

1T---Z(.y(＞；)-x(z,)A/

______________e2〃oM/.o

(24历T产2

1—S'(y(t)-x(t))2dt

当B很大时,-------------e"°

Q%B兀)N,2

i庐(>(，)-*(，)),，

所以，f(y(t)|x*))=/c…e”。(8-1)

(2^w0B)

§8.2最佳接收原理及其结构

由前述可知，接收问题是一个后验判决的问题，数字通信中，判决输出的是有限集中的

元素(与输入是有限集中的元素对应)，根据后验概率最大判决准进行判决能使系统的平均

误码率最低。

1.MAP准则(最大后验概率准则)

最大后验概率(MAP)准则描述如下：

“如果P(sw(t)|y(如>P(SK(«),户1,2…My((),则判决为&(t)5,

“如果P(X|Y)>P(Xfi=l,2…施乃,则判决为

即：判决输出为％=argmaxP(%|乃。

对于二进制数字通信系统来说，

则变成：“P(s,3|y(8)>P(5/(t)|y(t))，判决为氯力”。

箭因端”则判决为。

即:

2.最大似然准则(ML准则)

根据Bayes准则，后验概率与先验概率的有如下关系:

因此，使P(u.|D最大，就是使/>(X|Y)=0"IX〃)P(X")最大,

P(Y)

P(WX,“)P(X,“)p(wx的)P(XJ

即一丽——丽一(8-2)

所以，最大后验概率准则变成

“P(K%)P(心>尸(7|%HJ尸(4H.),判决为工”

实现上述最大后验概率准则的充分条件为：

"f3x)尸(无)>f3x#}p(x),判决为u广(8-3)

即符合最大似然准则的判决一定能满足最大后验概率准则.

其中，F(y|无)称为信号去的似然函数，

对于二元通信，上述准则变成

“f(K%)p(%)>f(y|Xi)p(x),判决为o；反之,判决为“i”(8-4)

采用最大后验概率准则需要已知后验概率分布，计算起来比较不方便，ML准则直接利

用信道的转移概率，分析起来会方便些，并且满足ML准则一定满足最大后验概率准则。以

下采用ML准则作为我们的分析基础。

3.最大似然准则下的最佳接收机

1)相关接收机

下面先从二元数字通信入手，最终推广到M进制情况.

假设发送端，消息空间U的取值只有两种可能(即0、1),经过调制后将0、1一对应成信号空

间中的两个信号』⑺,修⑺,经过信道后，在某个码元间隔时间内，接收到的信号y⑺寸⑺+〃⑺

根据最大似然准则式8-4,判决的规则应该如下：

“/®Xo)P(Xo)>X)，|Xi)P(Xi),判决为0；反之,判决为“1”

由将式(8-1)带入上述判决规则，得

你-LvS-f(，犷\dtP(XJ

en°>，判为0；

f(y|X|)--Jo'[xo-^i(i)]2diP(X。)

为了便于计算，将上式两边取对数，化简后得到，

/y⑺/⑺力-；/为⑺力+方mP(X。)>

y(r)x,{t}dt-1£'x,(02InP(X,),判为0；反之判为1。

假设发送0、1等概念时，可以得到如下的判决规则：

力-4心>£>(/)%⑺力-4用时，判决为0

川22

LM阳/(。力-不1绘<[>(，)%⑺力-不1耳时，判决为1.

“22

这里,Eo=「/(f)2dr,&=「玉⑺2力

JoJo

因此，根据这种规则构造的接收机具有最佳性能,这种结构的接收机构造如图8.4示:

图8.4二元最佳接收机结构1

二元相关最佳接收机形式也可以如下图8.5所示：

图&5二元最佳接收机的结构2

同理,M进制的相关最佳接收机的结构如下图8.6:

411X®

y⑴・xen(l)-----------1和,然］_

|«<OS*

---1和关格—［52―

IX^(l)-------------

图8.6M进制最佳接收机结构

例1、双极性二元码(NRZ)

假设二进制信息0、1对应的信号波形如下，且假设0、1等概出现,

+1|t|<y,发1

x(r)=A—1|t|<,发o

o|t|>二

、2

问如何构造对上述信号进行最佳接收的接收机？

解：因为0、1等概，且氏=笈=1'212力=(

JTJ2A

所以，最佳接收机应满足

］：y(t)x0(t)dt>「力，判为0

即-2py(t)dt>0,判为0

*0

所以,最佳接收机的结构可以构造如下:

-------」积分二\—判决_,

2)匹配滤波器

最佳接收机还可以有另外的一种结构，即匹配滤波器。通信系统的误码率与输出的信噪比

有关，接收端输出信噪比越大，则系统的误码率较小。因此,如果在每次判决前，输出的信噪比

都是最大的，则该系统一定是误码率最小的系统。

遵从这种考虑原则,可以得到匹配滤波器的概念.接收机通过匹配滤波器使在抽样时刻输

出信噪比最大.

・匹配滤波器原理

假设线性滤波器的输入端是信号与噪声的叠加5(。=*。+〃(/),且假设噪声〃(。是白噪声,其功

率谱密度P，")=B，信号的频谱为X(f)。

问题:设计一个滤波器使输出端的信噪比在某时刻如达到最大。

假设该滤波器的系统响应函数为“&),系统冲击响应/7(f),则输出信号

y(f)=so(f)+〃o(。

其中，

皿)=「x(r)h(t-T)dT,S(f)^X(f)H(f)

J—OO0

s4r)=「X⑺Hd'df

J—co

在而时刻，信号的功率为|so(fo)『

输出噪声的功率谱密度^lo(n=yl"(/)『

输出噪声平均功率为Pn=f~y|"(/)『df

所以，to时刻输出的信噪比为：

I01。"=__----------(8-6)

2

匕£^IW)I#

根据Schwarts不等式，

ifx(/)r(/)#|2<fx(/)|2#r|y(/)|2#(8-7)

可以得到

「|X(/)「42E

'组F(8-8)

2

当H(f)=KX(行e-n*时等式成立.

因此，如果设计一个滤波器，它的系统响应函数为

，介KX⑺*e"。时，滤波器输出信噪比最大。

・匹配滤波器结构

匹配滤波器的冲激响应/?⑺为

H(/)=KX(/)*e-〃*(8-9)

两边取傅立叶反变换，得到

/?(。=心(击-7)*(8-10)

如果输入信号x(f)是实信号,则/?(。=心(切。

把以上的结论用在数字通信上。假设符号的传输速率则在接收端同样地需要每隔

7；时间进行一次判决，且希望在每7；时刻的输出信噪比最大，将上述的。用7；带入，得到匹配

滤波器如下：

h(t)=Kx(Ts-t).

・匹配滤波器与相关接收机的关系

由匹配滤波器的冲激响应函数h(t)=Kx(Ts-t),当接收端输入为

$(。=汨(。+〃⑺时，在相对于修⑺的匹配滤波器端输出信号

r(/)=£'s(T)h{t-T)dT=j[%](r)+/(c)]心](，一(+t)dr

=KjX](C)X](C+l-Z)dT+jKn.\(T)Xj(t-Ts+T)dT

当片。时，得到

r(7；)=£[玉⑺王(r)d7+K「〃[(7)X](T)dz

=KJ：s«)x«)dr(相关接收机形式)

可以看出，在/=/的取样点上，匹配器与相关接收机的结果是等价的。

因此，匹配滤波器形式的最佳接收机结构如下图：

图8.7匹配滤波器形式的最佳接收机结构

由上分析可见，匹配滤波器形式的最佳接收机与相关形式的最佳接收机其性能一样。

3)正交展开的相关接收机

由于数字调制信号是有限集信号，因此数字信号可以展开成正交函数的线性和形式，即

N

s,”（r）=Z$，，，*/"），

k-\

将上式带入AWGN信道下的最大似然准则(式8-4),并用式8“得到

「(y⑺一%⑺)2力一传InP(X“)＜「(y(r)-s.^dt-n.InP(X*.)

(8-H)

N

将y(t尸⑺淇中yk=『Ty")。⑺力带入式8/1中的积分式，得到

4=1

⑶⑺一%（。）2力=fy（f）2力一2ry。）%。）力+fs,/）2力

司”NNN

=『92小-21⑺y（。山+JT'⑺力（M

k=\k=\/=1

NNN

=Zy"-2gs,*%+Zs“*2

k=lA=1A=1

N

=£（%-%厂（8-12）

*=i

所以，最大似然准则变成

NN

Z（”T，，，j-“°lnP（X“,）<Z（以一sj-〃°lnP（XJ,判为X,“,*〃？

k=lA=1

（8-13）

举例说明该判决准则是判决调制星座图（正交展开的二维信号）的方法，如果定义欧式距离

为信号之间的距离的话，即4=『（六/）一九（/））2力=£（%一6）2,则判决准则实际可

以理解成：“距离接收信号欧式距离最近的星座点即为最佳判决输出。"如QPSK、16QAM

信号的星座图及其判决区域等.

・最佳接收机的正交展开形式

由上可以得到正交展开形式的最佳接收机，如下图.

图8.8正交展开形式的最佳接收机

・y⑺正交展开后的统计特性

NNN

y⑺=s,“0)+〃(/)=Zsinkfk(/)+Z〃/⑺+〃⑺-E

k=\Jt=l4=1

N

=Z>/（'）+°⑺（8/4）

k=\

这里,”=s,⑺力⑺力。可以证明，为之间是互相独立的随机变量，且均

*0

N

值为0,方差为n0/2o由于o（t）=n（t）—£〃/（，）与”是不相关的，即从中是不知

k=\

道任何关于％⑺的信息的，因此忽略它对判决的结果没有影响。即

现。（。”］=a*M（f）］+仇〃"（/）］=风刖（以

=『仇〃（。〃（切力（Gdr-工E（〃网）加）

1=1

吟力（。一年启。=0（8-15）

所以，

fiy^mk）=—^=e2，，02=讥〃方=，（8-16）

V2兀b2

§8.3接收机的性能分析

1、QPSK信号的系统性能分析(20。年考研题)。

2、MASK信号的系统性能分析(有时间的话)。

3、带码间干扰的系统的计算。

§8.4最佳基带系统

最佳基带系统的设计原则：

•保证系统是抽样点无码间干扰的系统。

•保证收发匹配。

1、理想信道下的最佳基带系统

什么是理想信道？理想信道就是对信号衰减为1,噪声为加性高斯白噪的信道模型。

最佳基带传输系统传递函数H(f)=G7(/)C(f)Gr(f)要满足无码间干扰条件，又要符合

最佳接收机形式。

因为是理想信道，信道的传递函数是常数，所以"(/)=G7SGR(/)要满足奈奎斯特无码间串

扰条件。

如果我们令接收滤波器GX/)=G7(/)*e,则接收机与发射机形成匹配形式，可以保证

判决时信噪比最大。因此综合以上结果，设计最佳基带系统应按2步设计；

(1)、根据频谱的要求设计无码间干扰系统的传递函数//(/)

(2)、令GT(/)=7W)0⑺=《H⑺/W

举例1,

假设某二元通信系统的信息速率为1200bits/s,采用基带传输，已知信道的带宽为1200

Hz,请设计最佳通信方式，并画出系统框图和必要的设计参数。

解：为了适应信道的带宽要求，必须设计在900Hz带宽内无码间干扰的传输系统，根据

无码间干扰的原则，我们可以得到整个系统的传递函数应为a=I的升余函数。因此

T

//(/)=y[l+COS7T/TS]

GXf)=#(7)，G好)=痴丞而

即t-Gun"•—幻能一•-Gc{0——空

例题分析：

最佳基带系统的性能分析(99年考研题10题)

2、非理想信道下的最佳基带系统

非理想信道下的最佳基带系统设计与理想信道下一样，只不过由于信道非理想，通常在设计

无码间干扰传递函数前，先对信道进行理想化，这在实际系统中一般用均衡技术解决。然后

按照理想信道的最佳基带传输系统进行设计。

§9信道编码与差错控制

要点：

1、掌握差错控制编码的基本概念(码距、最小码距、编码率、纠错能力、检错能力、随机

差错、突发差错)

2、掌握基本的差错控制编码原理，(纠检错能力与最小码距的关系)，差错控制方式(FEC、

ARQ、混合)

3、简单差错控制编码(奇偶校验、行列奇偶校验，纠借码+交织)

4、线性分组码(汉明码的最小码距、设计、生成矩阵、监督矩阵概念)

5、循环码（生成多项式、生成矩阵、监督矩阵、编码器）

6、卷积码（结构、格状图、树图、网格图、编码、译码*）

7、信道编码的译码方法：最大似然序列译码、最短汉明距译码

§9.1信道差错及其控制方法

应用信道编码能有效地减少信道译码差错，相应地如果要求一定的传输质量，信道编码的

应用还允许减少发射功率。信道编码的主要原理是在传输信息的同时加入信息冗余（与信源

编码正好相反），通过信息冗余来达到信道差错控制的目的。当接收机利用该冗余信息来译

码时，此时不需要反馈信道，这种方式就称为前向纠错译码；当接收机利用该冗余信息对传

输信息进行差错检验并将检验结果反馈，发送端根据反馈结果决定是否重发信息时，这种方

式就称为自动重复要求（ARQ）。

信道编码一般可以分成两大类，即分组码和卷积码。分组码是基于严格的代数理论建立的一

种有效的信道编码；分组码编码是将输入信息分成不同的组，对各组信息分别独立编码，加

入冗余信息，因此分组码传输时，组与组之间是独立的，其译码也是分组独立译码。卷积码

编码是将输入信息与一固定结构的编码器进行卷积，卷积的输出作为传输信息.由于卷积码

的关系，卷积码的输出信息是前后关联的，因此译码时，卷积码一般采用序列译码的方式。

1、差错控制的目的及其需要性

由于信道传输不可避免的噪声及其他影响，通过在发送端提供信息冗余来提供信息的检

验和差错控制，使通信系统达到高的可靠性，就是差错控制编码的基本任务.

差错控制编码的基本思路：在发送端将被传输的信息附上一些监督码元，这些多余的码元

与信息码元之间以某种确定的规则相互关联（约束）。接收端按照既定的规则校验信息码元与

监督码元之间的关系，一旦传输发生差错，则信息码元与监督码元的关系就受到破坏,从而接

收端可以发现错误乃至纠正错误。

2、信道差错的模式

・随机差错

差错的出现是随机的，一般而言差错出现的位置是随机分布的。这种情况一般是由信道

的加性随机噪声引起的。一般将这种信道称为邈邈道。

・突发差错

差错的出现是一连串出现的。这种情况如移动通信中信号在某一段时间内发生衰落，造

成一串差错;光盘上的一条划痕等等。这样的信道称为突发管道。

・混合差错

既有突发错误又有随机差错的情况。这种信道称之为濯又信康

3、差错控制的基本方法

•检错重发（ARQ）

检错重发：在接收端根据编码规则进行检查，如果发现规则被破坏，则通过反应信遭要

求发送端重新发送，直到接收端检查无误为止。

ARQ系统具有各种不同的重发机制：如可以停发等候重发、X.25协议的滑动窗口选择

重发等。

ARQ系统需要反馈信道、效率较低，但是能达到很好的性能.

•前向纠错

前向纠错（FEC）:发送端发送能力纠正错误的编码，在接收端根据接收到的码和编码规则,

能自动上下纠正传输中的错误。

不需要反馈信道，实时性好，但是随着纠错能力的提高，编译码设备复杂。

•混合方式

结合前向纠错和ARQ的系统，在纠错能力范围内,自动纠正错误，超出纠错范围则要求发送端

重新发送。它是一种折中的方案。

§9.2信道编码的基本知识及码的纠检错能力

例1,假设发送信息0、1(等概)，采用2PSK方式，最佳接收的系统误比特率为

Pe=ge，板>见在假设％=叫即平均接收1000个中错一个).

如果将信息0编码成00,信息1编码成11,还是采用刚才的系统，则在接收端：

如果发送00,收到01、10,我们知道发生了差错，要求发送端重新传输，直到传送正确

为止，因此只有当收到11时，我们才错误地认为当前发送的是1。因此在这种情况下发生

译码错误概率是上P2°：

2

同理，如果发送的是11,只有收到00时才可能发生错误译码，因此在这种情况下发生

译码错误的概率是,。2一

2

所以采用00、11编码并采用ARQ方式的系统误比特率为产,

一、纠错编码的分类

1、分组码(n,k)

分组码将k个比特编成n个比特一组的码字(码组)(Codewords)，通常将分组码表示

为(n,k)形式，因此输入有2*种组合,输出码字具有2"种组合(n>k),(n,k)编码器实

际上是从输入码字空间到输出码字空间的一种一一放射，输出实际上是在输出码字空间

中挑出的2«个许用码字。

2,卷积码(n,k,N)

卷积码是另外--种编码方法，它也是将k个信息比特编成n个比特，但k和n通常很小,

特别适合以串行形式进行传输，时延小。与分组码不同，卷积码编码后的n个码元不仅与当

前段的k个信息有关，还与前面的N-1段信息有关，编码过程中互相关联的码元个数为nN

二、纠错编码的基本原理

设I为输入码字空间，C为输出码字空间，(n,k)编码规则工I~C为一一映射。若I

空间中的码字用1=四八2……b)k元组表示,C空间中的码字用C=(c“」c“-2……c0)n元组表示,

CiCjGC,“表示码字s第k个比特的值。

定义1、码字间的汉明距

%二'(。㊉J”),㊉表示比比特异或。

k=\

码字间的汉明距即为两个码字间不相同的比特数。

例如，码字(1100111)与码字(1011001)之间的汉明距为5。

定义2、码字的码重w

码字中的比特1的个数。

例如，码字(1100111)的码重为5。

定义3、最小码距&min

码空间中任意两个码字间最小的汉明距。即以｛四｝

最小码距与码的纠错、检错性能之间的关系：

•为了检测e个错误，要求最小码距为4nm?e+1

设码字C发生的差错为"min,则当时，C可为其他的可用码字，导致不能检测出差

错的发生。因此，为了检测e个错误，要求最小码距»e+L

•为了纠正t个错误，要求最小码距"min221+1

设所有码字均具有纠正t个错误的能力，设码字C发生差错为t,为了不使差错后的码字落

入其他码字的纠错能力范围，因此要求码字C与其他码字的距离至少为2t+l,即

4nin?2f+1。

•为了纠正t个错误，同时检测e个错俣，要:求最小仍距411m+e+l（e>0

当码字C要求能同时纠正t个错误，同时还能检测e个错误，那么若码字C发生e个差错,

则它不能落在另外码字的纠错能力t内，因此要求4in2e+f+1.

§9.3简单的信道编码

1、奇偶校验码

这是一种最简单的检错码，在计算机数据传输中得到广泛应用。

假设奇偶监督码的码字表示为（即I,%一2,…砧，

则偶校验码:斯」㊉斯一2㊉…的=。（即偶数个1）

奇校验码：《一㊉4T㊉…。0（即奇数个1）

可见这种码的最小码距为2,只能检1个错。

2、二维奇偶校验码

为了提高奇偶校验码对突发错误的检测能力，可以考虑用二维奇偶校验码。将若干奇偶

校验码排成苦干行，然后对每列进行奇偶校验，放在最后一行。

CI1dn-2...Cl0

222

。n-\Cln-2...a0

mm，Tl

Cn-\Cn-2...C0

3、交织码

突发信道造成突发差错，突发差错的特点是差错集中，要求编码的纠错能力强，而一般

的纠错编码对随机差错的纠错能力强。解决这个矛盾的基本方法是采用纠错编码加交织编码

的方法。

对信息进行纠错编码后,再进行一次交织编码。交织编码将待传输的信息比特组成块，在传

输时按照列顺序进行传输,在接收端又按照行的顺序检验是否差错。由于突发错误是成串发

生的,经过这样的传输后错误被分散了。在移动通信中，由于信道的衰落经常造成突发错误,

因此经常在进入信道传输前，先将输入的信息比特交织，将突发错误尽可能分散成随机错误,

然后用其它编码方式来纠正随机的错误。

C；道

2...15

17...30

小河口，2,17〜137,“，15,30，…,150

137...150

反*统精道传«1）；.错

§9.4线性分组码

一、线性分组码的概念及性质

若码字AeC,A=（aha2%）,awGF⑵,满足线性条件:

E1a也=°（i=l,2,...,n-k）（9-1）

j=i

则称该（n,k）码为线性分组码.这里即€GF（2）,其中称

%h]2-•%”

r,%为262"

H=

_h-kj4-*,2

为校验矩阵（监督矩阵）。这里H矩阵的各行是线性不相关的。从上可以知道，（n,k）码

构成线性n维空间的k维子空间。线性分组码的线性条件可以写成矩阵式，即：

AHT=0（9-2）

若A，&是（n,k）线性码中的码字，则为+①也是线性码（n,k）中的码字，即满足线

性性。线性分组码具有如下两个性质：

1、线性性（包含全零码字，封闭性）。

2、最小码距等于除全零码外的码字的最小码重。

1110100

例1、(7,4)汉明码的校验矩阵为H=0111010,则(7,4)汉明码的

1101001

输出码满足

AHT=O,即

q+生+%+=0%=。]+%+。3

</+%+。4+。6=0<4=〃2+〃3+

Q[+生+。4+%=0%=。]+。2+。4

若输入信息为U=的,“4),编码输出为

'loooior

0100111

C=U・G=〃2〃3

0010110

0001011

这里称G为(7,4)码的生成矩阵。

从上例可以看到,若校验矩阵具有形式H=[PI],则生成矩阵为G=[IPT]o所有的线性分

组可以通过生成矩阵G来表示编码器结构。

二、线性分组译的译码

当信道传输出现差错后，则接收到的码字A'=A+E,接收端通过校验矩阵进行校验运

算，即A'HT=S,S称为校验子，S=EH‘只与差错向量E有关，因此可以通过校验子S

的值来检验传输是否出现差错或对差错进行纠正。

三、汉明码及其设计

汉明码是•类能纠正一个传输错误的线性分组码，若校验子的列数为n-k,则校验子可

以对应错误向量E的2"“种情况，错误向量E中为1的位置表示传输出现差错.当校验子的

不同值分别对■应只有一个位置出错情况时，所得到的线性分组码为汉明码,若汉明码长为n,

信息位数为k,则监督位数r=n-k。因此汉明码(n,k)满足关系n=2"*-l,能纠正1个传输错误,

其最小码距为3o(n,k)汉明码的监督矩阵的n列正好是n-k个比特的组合(全零除外)。

例2,(15,11)汉明码的监督矩阵为

■11111110000100o-

111100011100100

H=

110011011010010

101010110110001

其中各列正好是4比特除全零外的全部组合。

例3、(7,4)汉明码的设计

如果取k=4,则可以确定n>=7»因此，可以用3个校验子来确定传输的7个位置是否出错。

假设传输时的码字为36%。4的。26。0),如果S|S2s3与错码的位置对应如下：

S1S2s3错码位置S]S2s3错误位置

001101

010Cl\110

100111%

Oila3000无错

根据上述的真值表，我们可以得到如下的关系:

S)=。2+。4+〃5+。6

S2=。1+。3+。5+。6

S3二处+俏+如+恁

在发送端编码时，信息位的,。4M5,。6的取值取决于输入的信息比特，因此它闪是随机变化的.

监督位。2必,劭应根据信息位的取值督关系来确定，即监督位位应该使上式三式的的取值为0,

我们可以得到：

。2=。4+。5+〃6

4]=。3+。5+〃6

。0=〃3+。4+〃6

因此，给出信息位“必33后，根据上式可以算出监督彳立勾”的，从而得到(7,4)的所有码组。

。6〃5〃4的

00000001000111

00010111001100

00101011010010

00111101011001

01001101100001

01011011101010

01100111110100

01110001111111

上述关系可以写成如下矩阵的形工

«6'

■1110100'%叫

1101010

1011001

a2L」

a\

儿

即HAT=O

110100

其中止1101010,A=[a6a5a4的见弓/]。

1011001

例:上例中(7,4)码，若接收端收到码字为A=(1010110),S=HA'T=(100),

可以查表得到错误图样是。2位置错，即e=0000100,所以纠错后的码字为1010010,译码

输出为1010o

四、生成矩阵G与监督矩阵H的关系

A=M.G,且“川=0

所以，H.GT.^=0H.GT=0G.HT=0

对于任何线性分组码而言，上述关系总是存在的，即G./7T=0.

Fl110'

我们再来看，在上述的例子中，〃=叵"*/“_』其中尸=1101

1011

111

T

G=\lkQ^,-k)\=P其中Q=；；；=pT

011

实际上，上述关系可以通过关系GHT=O来求得。

P

[lkQ]'=/+0=0,所以。=凡

五、系统码与非系统码

假设信息位为[。“回々…。“-』，如果编码后的码组为如下形式:

[an_lall_2...an_kall_k_l...a0],其中小皿…的是监督位，则称这种码为系统码。即系统码

经过编码后的码组中前k个就是信息位，后n-k是监督位。如果不存在上述关系，则称

为非系统码。

由以上定义可以看到，我们刚才讨论的(7,4)码是系统码。只有系统码才有关系Q=P\

系统码和非系统码都有性质:G，T=O

§9.5循环码

循环码是一类特殊的线性分组码，它的特点是具有循环性，即任何许用码字的循环

移位仍然是一个许用码字。循环码具有特殊的代数性质，这些性质有助于按照要求的纠

错能力系统地构造这类码,并且简化译码算法。循环码还有易于实现的特点，很容易用带

反馈的移位寄存器实现其硬件。因此,循环码在计算机系统和通信中得到广泛的应用。

一、循环码的结构

为了用代数理论的方法研究循环码的特性，经常将循环码表示成码多项式的形式：

定义：码字C=(C„.1,C„.2,....CO)的码多项式如下：

C(X)=C„.|Xn'l+C„.2X/，'2+....+C]X+Co(0-3)

其中，x,c,eGF(2)

码字C=…Co)的循环移位i计为C(cn.j.I,Cn，i，2