第三节协方差与相关系数

第三节协方差与相关系数第一页，共十七页，编辑于2023年，星期一注：一.协方差1.定义1.量称为随机变量X与Y的协方差，记为：即：协方差中当X=Y时即为方差的定义，即：故方差是协方差的特例。2.协方差的简单性质是常数第二页，共十七页，编辑于2023年，星期一显然，若X与Y相互独立则：Cov(X,Y)=03.计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得：证明：注：4.随机变量和的方差与协方差的关系第三页，共十七页，编辑于2023年，星期一

若X1,X2,…,Xn两两独立，上式化为：协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响.为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了相关系数的概念。.问题：例如：第四页，共十七页，编辑于2023年，星期一称为随机变量二.相关系数1.定义2.量(无量纲)X,Y的相关系数，记为：即：2.相关系数的简单性质存在常数使得：X和Y以概率1线性相关第五页，共十七页，编辑于2023年，星期一由方差的性质和协方差的定义知，对任意实数令，则上式为：证明：有：由于方差D(Y)是正的，故必有：所以证得：第六页，共十七页，编辑于2023年，星期一由方差与协方差协关系有：因此有：证明：存在常数使得：与是标准化随机变量，故其均值为0，方差为1第七页，共十七页，编辑于2023年，星期一由方差的性质，可知:整理得：当时有:为常数其中：第八页，共十七页，编辑于2023年，星期一同理，当时也可推出此结论。因此得证。又所以：第九页，共十七页，编辑于2023年，星期一于是得：所以：即：注：X和Y独立时，

但其逆不真.由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)=0，故但并不一定能推出X和Y独立。第十页，共十七页，编辑于2023年，星期一例1.设在上服从均匀分布，即：验证：与是不相关的，但不是相互独立的。证明：由已知，X,Y的边缘概率密度为:与第十一页，共十七页，编辑于2023年，星期一又因为：显然，所以：与是不独立的所以：从而有：于是得：故得：是不相关的。奇函数在对称区间上的积分为0第十二页，共十七页，编辑于2023年，星期一当时，称X与Y不相关。一般：故有：若X与Y相互独立，则X与Y不相关；但反之不真。但对下述情形，独立与不相关等价若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y相互独立X与Y不相关1.2.注:相关系数刻划了X和Y间“线性相关”的程度.若考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y，以均方误差来衡量以a+bX近似表示Y的好坏程度。第十三页，共十七页，编辑于2023年，星期一则：e

值越小表示a+bX

与Y的近似程度越好.

现用微积分中求极值的方法，求出使e

达到最小时的a，b

：e=E{[Y-(a+bX)]2}

=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)令：第十四页，共十七页，编辑于2023年，星期一解得：这样求出的最佳逼近为：L(X)=a0+b0X这一逼近的剩余是：则Y与X有严格线性关系;可见：则Y与X无线性关系;的值越接近于1，Y与X的线性相关程度越高;若若若则当：的值越接近于0，

Y与X的线性相关程度越弱.第十五页，共十七页，编辑于2023年，星期一例2.设(X,Y)服从二维正态分布，它的概率密度为：求：X与Y的相关系数解:由已知，X,Y的边缘概率密度为:其数学期望与方差分别为：第十六页，共十七页，编辑于2023年，星期一而：于是：结论：其积分过程见教材P132~P