2023年高考数学大招22定比点差法

大招22定比点差法

大招总结

针对于传统的点差法，定比点差在处理三点共线相交弦，定点问题，比例问题，调和点列问

题均具有优势，但是定比点差无法应用于抛物线，并且它采用的参数丸在解析几何问题中并不

通用.所以作为技巧，我们首先明确使用条件.

在讲定比点差时我们先引出定比分点若AP=APB，则称点P为点A,B的4定比分

点.若4>0,点P在线段AB上，此时称点P为内分点;若4<0,点尸在线段AB的延长线上，

此时称点P为外分点.不管是内分点还是外分点，满足AP=APB，设A（X，M），川孙为）,则

点P的坐标为「臣号，岑华1

11+21+Z）

定比点差的基本步骤：

22

若点A&,y）,B优，%）在有心二次曲线三土a:1上,且直线48恒过点

X,+Ax.

V1+4.

首先设AM则由定比分点坐标公式可得<

V=X+4%'

“1+4

X]_AX2

二

XN1-A

设AN=-/IN&则由定比分点坐标公式可得<

yN1-2

4±4=i-®

当几H±1时，将A&,y）,8（w，%）代人曲线，有，ab

22'

与士q=1.②

ah

②M得到与±萃=k（3）;

ab~

(%+4天)(千一/七)+(x+%%)(乂一4%)

③和①作差整理可得=1,将前式代人整理得

«2(1+2)(1-2)/72(1+2)(1-/1)

XMXN

一b2~

典型例题

第一部分,单动弦问题:

例1.（2020全国一卷理）已知A、B分别为椭圆E:j+V=i（fl＞。的

a~

左、右顶点,G为椭圆的上顶点,AGGB=8,P为直线尤=6上的动点,PA

与E的另一交点为CP8与E的另一交点为O.

⑴求椭圆E的方程：

⑵证明直线S过定点.

解(1)设A(-a,0),B(a,0),G(0,l),AGG6=(a,l)(a,T)=a2_i=8

故/=9椭圆方程£土+丁=1

9

（2）设尸（6,，）,A（—3,0）,3（3,0）次小=（,kpB=；故3%=L,由椭圆对称性可知:若CD

过定点，则定点坐标必在x轴上，并设定点为T（m,0），设C（玉,%）、与,必）

设CT=ATD

由定比分点公式初/①，。=卷..②

j+y；=1…③

将C,。两点代入椭圆方程可得＜2由④一③合并整理可得

笋+分必=%..④

(X+AX)(X-A%)(凶+4%)(乂一勿2),

---1-----2----1-----2-1-------------------=1⑤，将①②代入到⑤中，整理可得:对「

9(1-4)(1+2)(1-4)(1+1)

/„mx,-mAx,=9-929+m2+(ni1-912

加7^2=9—94和(1)组成方程组即:,得到x=I刁

1

阳+AX2—m+Am2m

m2-9+(m2+9)4

⑥(6)；Z=

⑦;y=-Ay2-⑧

2mA

加2—9+(加2+9)43

k.1V1乂-3___1

由资c二1二」1一，将⑥⑦⑧代入:彳二-42mx_________

9+机2+(m2-9)丸

kBD3%+3%3

2m

2m2+3m-9=0

整理得:2/篦2+3加一9+（2m2—9加+9）2=0，令，

2〃/-9m+9=0

3（3

取公共解得加=一.故恒过定点坐标了二,0

2（2

22

例2.已知椭圆c：?+5=1,过点P（4,1）的动直线/交椭圆。于A,3两点,在线段AB上

取点。满足|*|。即=|A。|P凡证明:点。在某条定直线上.

\AP\\AQ\

解设谒=窗=九即42=4形,4。=一；1。5,设

人（％,另）,8（电,%）,。（苍力

①

1+2

由于AP=/LP3,〈

]/+1必

②

1+4

又工+%=1,424+工£=/12,

4242

两式相减代弋…）+（，+”「'-

x,-Xx.y.-/y21

(D(2)式代入(3)式,工厂+2(]_发=1…④

⑤

X-

1-2

又由于AQ=-4。及＜

y二MF⑥

1-A

⑤后式代入4式,x+：y=1,即点Q在定直线2x+y-2=0上.

例3.已知椭圆C：0+奈=1（。＞人＞0）的离心率e=~，右焦点为F，点A（0,1）在椭圆

。上.

⑴求椭圆。的方程；

（2）过点F的直线交椭圆C于M,N两点,交直线x=2于点P,设PM=AMF,PN=/JNF,

求证：九+〃为定值.

£=也

a2(2

a=_22

解：(1)由题得《力=1，解得《“一，则椭圆的方程为工+y2=i.

2122b;=12"

a=b+c

守

⑵设A/a，X),N(w，%),P(2,yo)，

'2+A-1

由于PM=/LMR4l1+A2,,

〔x-1+4

则匕)+['[=]，即号攵

-+%-(1+4)…①，

同理可得(2+〃)~+巾=(1+〃)2②

乙

①一②得,(2+乃2—(2+4)2

-=(l+2)2-(l+//)2,BP

2

(力-〃)(4+「+〃)_(.

〃)(2+4+〃),4+〃=

例4.设椭圆C：土+y2=1的右焦点为尸过尸的直线/与。交于A,3两点，点"的坐标为

2

(2,0).

(1)当/与X轴垂直时,求直线AM的方程；

(2)设。为坐标原点，证明:ZOMA=NOMB.

解(1)由已知得尸(1,0),/的方程为x=l.由已知可得点A的坐标为

或—当'.所以AM的方程为y=血或

I2JI2J2

V2rr

y=-x-yj2-

⑵当/与X轴重合时,ZOMA=NOMB=0.当/与X轴垂直时,

NOMA=,当直线AB斜率存在且不为0时，设A(x,,y),3(々,%)点3关于x轴

对称的点B'(x2,-y2)根据几何性质得:令ON为N4V3的角平分线,与x轴交点为巴，

下面通过证明N与M重合来证明ZOMA=NOMB，根据角平分线定理有：

AF2AN_AN

F2B~NB~NB

设AN=ANB'由定比分点坐标公式得:xN%=AzM=0

同理由AF2=一4居8,由定比分点坐标公式得:年=[]竽=1；%=[1？=0

"2

寸+>;=1①

"A2x2

g+方公=力…②

①-②得:空智士3+(X+")(yT%)=i-%

1x}+AX2X1-2x0y}-Ay2l=>^^=lnN（2,0）

21+21-21-2

即N与加重合，所以ZOMA=NOMB.综上,NOMA=NOMB.

例5.已知椭圆C：二+当=1（。＞。＞0）的两个焦点为耳，F2，焦距为

6rb，

20，直线/：丁=%-1与椭圆。相交于48两点，/'[*-；）为弦

A3的中点.

⑴求椭圆的标准方程.

⑵若直线/:y="+根与椭圆。相交于不同的两点M,N,点、

。（0,加）若OM+AON=302（0为坐标原点），求m的取值范围.

解（2）当加=0时，点。和点。重合，点M和点N关于原点对称，易知2=—1,显然成立；

10

当加H0时,OM+4ON=3OQ等价于OQ=§。的+1ON,因为M,N,Q三点共线，所以

2=2，则30。=+2ON,2（。。-0N）=0M—,故MQ=2QN设

”（百,y）,N（马，必），。为"N的三等分点,Q的坐标为（0,m），由定比分点坐标公式得

玉+2X2。，啥

二m,

1+2

即玉+2/=0・①,X+2%=3加・②

又因为点/和点N在椭圆上，有a+货=]募+4£=4

两式相减得区2半二2+（y+2%）（y-2%）=-33

将⑴⑵式代入⑶可得%—2%=-'•④

m

由（2乂4）式可得2y=--+3/»（5）

m

又ye[-1,1],则—"L+3/ne[―2,2],解得阳€-1,--u—,1,

mL3」[_3一

当加=±1时，代入④和⑤式，可得y=1,〉2=1油M0=2QN可得％=0,工2=°，

有点M、点N和点。三点重合,与题意不符.

综上所述,m的取值范围为（一1,一；u1,lp{0}.

22

例6.过点M（1,0）的直线/交椭圆后亍+三=1于A、B两点，若AM=/IM8,求2的取值

范围.

两式相减得（—+J\,石一4々）+（?士］华出2.）=0_4）0+可

将①②代入得4-相=4（1-；I）.③

Xi+=1+4

对比①③得:J解得2%=5-3乙

玉-AX2=4（1-4）,

由一2张厮2得—4殁$—3/14,解得;物比3,所以4的取值范围为1,3.

第二部分，多动弦问题

22

例7.已知椭圆。：亍+:=1,6,玛为其左右焦点，P为椭圆。上一动点，直线夕月交椭

圆于点A,直线PF2椭圆交于点B设PR=AF1A,PF2=求证:％+〃为定值.

解设A6,y）,3（马,力）,「（与’为），

玉）+Ax

-1=---]--…-①

1+2

由于尸产1=%耳A,«

0=丁。+孙②

1+Z

又子+*］，等+孥”,

两式相减得（*。+2内）（"。一双|）+—1）（国一办）=1_g…③

43

（1）（2）式代入（3）式,整理得小—2玉=44—4,

Xr.+AX,=-%—1

由J「.解得2%=34—5.④，

x0-XXj=44-4

\=^±Mh.⑤

1+〃

由于Pg=〃F,3,《

0=%上您一…⑥

I1+〃

929222

又&+迎+2,

4343

两式相减得（与+"2）（3〃々）+（%+〃%）（%-〃％）=12⑦,

43

⑸⑹式代入⑺式,整理得/—=4-4〃,

X+UX="+1

由n0-二,，解得2%=5-3〃⑧

%-jux2=4-4〃

（4）一（8）得0=（34_5）_（5_3必）,即;1+〃=弓.

例8.已知椭圆E:三+二=1,斜率为1的直线/与椭圆交于A,5两点点M（4,0），直线

43

AM与椭圆E交于点C,直线BM与椭圆E交于点。，求证:直线恒过定点.

解设

MA=AMC,MB=piMD,A（x1,y1）,B（x2,y2）,C（x3,y3）,

由于K4=/lMC,（x1-4,yl）="七-4,必），则

=4（2—1）-..®

4%二X.一②

又％h右;,储¥_.2

-------1--------A1

43

两式相减得yi+XQ,储…③

乎f=%T）,解得

①②式代入③式,整理得/lx,+玉=1+%,由

AX-^+Xj=1+A_53

~2~2A

53

x------u

222

同理可得＜

53

*45一7…

4）’4一"3〃（您+〃［）一％（仇+加）

设/⑺：y=kx+m,k

AB|（九-4）

',（53）1J,f53、15

一万2M〃・%）+加仅

翔一〃）|（丸一〃）

5353_

贝（］—%+/%=一二，机=—5々一万,即3）•y=履一］攵一^,过定点

22

丫22j

例9.已知椭圆c：彳+方=1（。〉人〉0）过点A/（2,0）,离心率0=万,48是椭圆。上两

3

点,且直线OA,0B的斜率之积为-二,0为坐标原点.

4

⑴求椭圆。的方程；

⑵若射线。4上的点P满足|PC\=3|。4|,且必与椭圆交于点。，求兽的

值.

c1

a2

a2=4-X2v2

解（1）由题得＜。=2，解得《,，则棺圆的方程为二+二=1.

b2=343

/=/+C2

⑵设4（3,,）,5（孙必），。（人，%）尸（3石，3乂）设豆户=480,

3Z-1

则（3不一为,3%—%）=几（七一马，%一左）贝卜

3A-1

%=X1%+<A%

22（3A-11

由于土+为=1，则［广工、

43

4

（3Y华+号）=1（*）易知

整理得4

22）

尹土吟+9=1

,,3生1=4即以+9=1

又koA-koB=--

中2443

<3Y(1—丸丫

代入(*)式得，士+」=1,解得4=5,则|B舄P|=几=5.

1^71^7忸Q|

例10.在平面直角坐标系xOy中,设椭圆E:0+与=1（。>b>0）,其中b=苧a,过E内

一点P（l,l）的两条直线分别与椭圆交于点AC和民。，且满足

AP=ZPC,BP=〃PD,其中A为正常数，当点C恰为椭圆右顶点时，对应

的2=3.

7

⑴求椭圆E的离心率；

（2）求“与。的值；

⑶当2变化时,心8是否为定值?若是，请求出此定值;若不是，请说明理由.

]_

解⑴e=

2

门2-5〃12、（12-5a>144

⑵由题知C（a,0）油AP=4PC可得A（--—，亍），则49a2+4中二

a

',4

L解得a=2,则。=正。=百，即椭圆E的方程为三+汇=1.

243

（3）设4（%,%）8（9,%）,。（毛,%）。（%%）,

1玉+2X3

A=rAP；PC1+4日口J%+"七=1+'①

由于，，即〈,，，G

I_X+%%[x+4%=l+丸…②

.1+2

又三+江=1,豆+汇2£=几2,

4343

两式相减得区应二包+—（%』）=1_储…③

43

昵式代入③式,^^+^^=1-九王一（1+”玉）+/一（1+"X）=1—3

4343

整理得空也&+生业4=IT…④，

43

同理可得2々-（+/）+2%-（+九）=]_丸5

43

⑷一⑸得生户1+组*^=0，即7-r=一:即勤=•

43%一々44

自我检测

1.（2018浙江）已知点P（O,1）,椭圆?+丁=m（m>1）上两点AB满足AP=2PB，则当

m=时，点B横坐标的绝对值最大.

221

2.已知植圆.+%=13>b>0）,点P（a,b）为植圆外一点，斜率为--的直线与椭圆交于

AB两点，过点P作直线PAP8分别交椭圆于C,D两点,当直线CD的斜率是-工时，此椭

2

圆的离心率为.

3.已知椭圆3+?=1，过定点P（°，3）的直线与椭圆交于两点45（可重合）,求p8的取

值范围.

22

4.已知椭圆C：0+斗=IS＞。＞0）的上下两个焦点分别为£、F2，过点£与y轴垂直的

直线交椭圆于M,N两点，二MNF,的面积为G，椭圆C的离心率为昱.

2

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵已知。为坐标原点直线=+机与y轴交于点P与椭圆C

交于A,B两个不同的点，若存在实数几,使得OA+AOB=4OP，求m

的取值范围.

5.已知植圆二+斗=1（。>b>0），过椭圆的左焦点F且斜率为

优b

G的直线/与椭圆交于A、3两点（A点在3点的上方），若有

A尸=268,求椭圆的离心率•

6.已知椭圆「：三+'=1（a>/,>0）的离心率为|，半焦距为c（c>0），且a—c=1.经过椭

圆的左焦点E,斜率为匕（K。0）的直线与椭圆交于A、8两点,0为坐标原点.

（1）求椭圆「的标准方程；

（2）当占=1时，求S.M的值;

（3）设R（l,0）,延长分别与椭圆交于C,。两点直线的斜率为网,

求证:y1■为定值.

k2

3.设分别为具有公共焦点内与八的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共

点，且满足p/p居-=0,则4e：+e22的最小值为（）

A3C4

B.9

2-

D.5

3

4.（2021-江西南昌市-（理））已知耳£是椭圆和双曲线的公共焦点"是它们的一个公共点，且

〃，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（）

NRPF、

A.工B,夜C-1

2T

D-72

5.（2021-江苏徐州市-高二月考）已知点尸尸分别是椭圆「和双曲线「的公共焦点，。p

分别是G和C,的离心率，点尸为G和G的一个公共点，且2）若ew（2J7）'则

'2''Z^2=T2

〃的取值范围是（）

人也乌B.（也还）,渣也）。,也24

6.（2021-甘肃省民乐县第一中学高二期中（理））已知与F是椭圆和双曲线的公共焦点,p是

它们的一个公共点，且万记椭圆和双曲线的离心率分别为。。，则1的最大值为

2

^FXPF2=~'']

32ete2

（）

A.3B-73C-2X/3

2T亍

D.1

7.（2021-江西高三其他模拟（文））已知椭圆「与双曲线「的焦点相同，离心率分别为。。，且

满足e=&，£,落是它们的公共焦点P是椭圆和双曲线在第一象限的交点若

NF[PF=120°,则双曲线。的离心率为（）

AV2B-6C.2

D，3厂

8.（2021-贵州黔东南苗族侗族自治州凯里一中高三开学考试（理））已知椭圆与双曲线有公共焦

点尸F,，F为左焦点，£为右焦点,P点为它们在第一象限的一个交点，且乃，设

1，212ZF1PF2=—

。。分别为椭圆双曲线离心率，则11的最大值为（）

-----1------

%气

A丘B.2>/2C-3V264a

9.（2021-江苏省前黄高级中学高二期末）月,尸,是椭圆酊和双曲线°,的公共焦点,外/分别为

曲线GC的离心率，P为曲线GC的一个公共点着且02€[6,2]'

则ee-

10.（2021•天津静海区-高二期中）已知椭圆G与双曲线0,有公共焦点耳,EN为G与C,的

-个交点,椭圆孰的离心率为ej双曲线°,的离心率为e,，若q=2马，则

=•

11.（2021-江苏省天一中学高三一模）设P为有公共焦点FF的椭圆G与双曲线c,的一个交

点，且WPF,,椭圆。的离心率为q，双曲线C,的离心率为e，若q=3e,，则

61=•

12.（2021-江苏省如阜中学高二月考（文））设P为有公共焦点耳月的椭圆弓与双曲线c,的一

个交点，且pF、±2居椭圆G的离心率为q，双曲线c,的离心率为e,，则9e：+e22的最小值

为.

13.（2019-湖北（理））已知加尼是椭圆和双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，且

万,椭圆、双曲线的离心率分别为e°,则>+2。2的最小值是________.

/F、PF――192十”2

14.（2021-浙江嘉兴市-高二月考（理））设椭圆r22和双曲丫2的公共焦点为

—+^-=112.

62

F^，P是两曲线的一个公共点，则cosHPF?的值等于（）

A-]_。J

439

D3

5

15.（2021-江苏泰州市-泰州中学高二开学考试）已知椭圆r2、/（a>b>0）与双曲

—+2L=i

a2b1

线C2：f2有相同的焦点尸F点P是两曲线的一个公共点，且

工一与=1（加>0,〃>0）“2

mn

/£P£=60。,右椭圆离心率g■，则双曲线C的离心率G)

e,"T

A也B.2C逅

D-3

16.（2021-江苏省镇江第一中学高二期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它

们的一个公共点，且“产,=三,记椭圆和双曲线的离心率分别为q,e,,则'+走的

3Ge2

最大值为（)

2V22百

A.----B.----C.2百

33

D,272

17.（2021-全国高三专题练习（理））若椭圆2（a>b>0）与双曲线29

%xy

—+=1=1

a/一5

（%>0,名>0）有相同的焦点厂F，点尸是两条曲线的一个交点，乃，椭圆的离

''2NFFB=Q

心率为，，双曲线的离心率为0,__2贝IJ>+"2=

18.（2021-江西南昌市-南昌二中高二月考（文））椭圆与双曲线共焦点4F2,它们的交点「对

两公共焦点4鸟的张角为/白桃=2。,椭圆与双曲线的离心率分别为q、e?,则

（）

C,4+鼻=1D.鼻+号=1

cos26sin20sin20cos20

19.（2021-陕西汉中市-高三月考（理））椭圆与双曲线共焦点F1,F2,它们的交点P

对两公共焦点尸1，尸2张的角为乙尸建尸2=泉椭圆与双曲线的离心率分别为ei,e2,则

0

A-卷+点=1B-专+专=1

C.等+4度=1D.4西+等=1

1.大招22定比点差法

针对于传统的点差法，定比点差在处理三点共线，相交弦，定点问题，比例问题，调和点列

问题均具有优势，但是定比点差无法应用于抛物线，并且它采用的参数A在解析几何问题

中并不通用.所以作为技巧，我们首先明确使用条件.

在讲定比点差时我们先引出定比分点，若加=4而，则称点P为点A.B的A定比分

点.若；I>。，点P在线段AB上，此时称点P为内分点；若；I<0,点P在线段AB

的延长线上，此时称点P为外分点.不管是内分点还是外分点，满足AP=XPB,设

4（孙为）产（%2，乃），则点P的坐标为P（笆等，丐答）

定比点差的基本步骤：

若点AO21"％为）在有心二次曲线祭士毯=1上，且直线AB恒过点

M（XM，yM），N（%N，yN）|瑞|=翳I

(X_M+-2

1+A

XI-AX2

XN=

设前=-ANB,则由定比分点坐标公式可得l-A

丫1一拉2‘

YN=1-A

[4±S=i-(i)

当丘士1时，将4(4为),8(孙必)代人曲线，有代\,(2)XA2得到

I*—…⑵

矍±整=於…⑶;

(3)和(1)作差整理可得：/：：：景二片土专窗瞿；；"=1，将前式代人整理得笔士

VMVN

b2

2.»典型例题

第一部分，单动弦问题：

(例1.(2020全国一卷理)已知4B分别为椭圆E:《+y2=i(a>i)的左、

右顶点，G为椭圆的上顶点，AGGB=8,P为直线x=6上的动点，24与E的另一交

点为C,PB与E的另一交点为D.

⑴求椭圆E的方程：

⑵证明直线CD过定点.

(1)设A(-a,0),B(a,0),G(0,l),ZG-GB=(a,1)-(a,-l)=a2-1=8

故a2=9,椭圆方程E：y+y2=1.

(2)设。(6,。,力(一3,0),8(3,0),%=g,kpB=:故3kpA=kpB，由椭圆对称性可知：若

CD过定点，则定点坐标必在x轴上，并设定点为T(m,0),设C(x1,％)、Z)(x2,y2)

设百1=ATD

由定比分点公式机=&簪…(1),0=△警…⑵

1+A1+A

d

2

+y=

91…⑶

2

将C,D两点代入椭圆方程可得2依

A.「

=A2-(4)(4)—(3)合并整理可得

黑;产)+仇;:幻:二:如=1…(5),将(1)(2)代入到⑸中，整理可得：mX1-

mAx2=9-9A和(1)组成方程组即得到/=吟手也…

141十人42一""IAlliNTH

(6)；X2=U；⑺;乃=-Xy2...(8)

7n2_9+(m2+9)4

由#=2=M.岁，将⑹⑺(8)代入导2m7l3

9+m2+(m2-9杭।3

KBDJ=1+J丫2J

2m

整理得：2m2+3m-9+(2m2-9m+9)A=0,令［2m^+3m-9=0

(2mz—9m4-9=0

取公共解得m=l，故恒过定点坐标T(|,0)

例2.已知椭圆C:=+[=l,过点P(4,l)的动直线I交椭圆C于A,B两点，在线段

AB上取点Q满足|4P||QB|=|4Q||PB|,证明：点Q在某条定直线上.

[解设黑=黑=儿即AP=APB.AQ=-XQB,设4aL，月),83必)，Q(3)，

(4=-+强…

由于而=4函］4捻

k1+A

(%1+&2)(%1-尢Q)+(必+2>2)(%-4y2)

两式相减得=1-A2-(3),

42

⑴(2)式代入⑶式，转+会=1…⑷

(x=h^l...(5)

又由于而=~AQB,\y1：^，⑸⑹式代入⑷式，x+1y=l,即点Q在定直线

甘…⑹

2%+y-2=0上.

(例3.已知椭圆C:g+g=l(a>h>0)的离心率e=y,右焦点为F,点4(0,1)在椭

圆C上.

⑴求椭圆C的方程；

⑵过点F的直线交椭圆C于M,N两点，交直线x=2于点P,设PM=AMF,PN=

I^NF,求证：A+为定值.

仔=涯2_2

(解Q)由题得£，解得《2：I则椭圆的方程为f+y2=i.

ta2=b2+c2

(2)设M(xlfyj,N(x2ty2\P(2,y0).

_2+九1

(XL烹。"

仔+入：2

则好+(含)=1，即F+据=(I+4)2-(1),

同理可得号2+据=(1+炉-(2).

(1)-⑵得，好*券®=(1+勾2-(1+4)2,即(^±^±1=(A-4)(2+4+初4

+〃=0.

(ffH9i4.设椭圆C：y+y2=l的右焦点为F过F的直线，与C交于4B两点，点

M的坐标为(2,0).

(1)当I与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设。为坐标原点，证明：乙。M4=乙0MB.

解(1)由已知得F(1,O)J的方程为x=l,由已知可得点A的坐标为(1,乎)或

所以AM的方程为y=-yx+鱼或y=yx

-V2.

(2)当/与％轴重合时，AOMA=AOMB=0。.当/与光轴垂直时，

LOMA=乙OMB,当直线AB斜率存在且不为0时，设43,％),8(%2，乃)，点B关于

x轴对称的点BXx2,-y2)根据几何性质得：令ON为AANB的角平分线，AB与x

轴交点为F2,下面通过证明N与M重合来证明AOMA=AOMB,

根据角平分线定理有:等=隽=缁

/Vo/VD

设丽=XNB'由定比分点坐标公式得：XN=X詈;=△券=0

1+A1+A

同理由AF=一苏/，由定比分点坐标公式得：知Z=千华=1；、N=哈1=0

2“1—41-A

住+光=1…⑴

⑴-⑵得：因二屋宇士辿.+(%+4y2)汕-垓)=1-方

1岁+M秃=於,“(2)

1X+AX

整理得:12多一双2+Q.丫1-垃=1=盯2%N=1=N(2,0)

21+A1-A1-A—2

即N与M重合，所以A0MA=A0MB,综上，A0MA="MB.

（例5.已知椭圆cW+、=l（a>b>0）的两个焦点为焦距为2V2,直线l-.y

%-1与椭圆C相交于A.B两点，为弦AB的中点.

（1）求椭圆的标准方程.

⑵若直线l-.y=kx+m与椭圆C相交于不同的两点M,N,点Q（O,m）,若加+

AON=3而（。为坐标原点），求m的取值范围.

解⑵当m=0时，点。和点Q重合，点”和点N关于原点对称，易知A=-1,

显然成立；

当m^O时，0M+MN=30Q等