高二数学北师大版选修23讲义第1部分第三章2独立性检验

§2性检验1．2×2列联表设A，B为两个变量，每个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝eq\o(A,\s\up6(－))1；变量B：B1，B2＝eq\o(B,\s\up6(－))1，用下表表示抽样数据并将此表称为2×2列联表．2．χ2的计算公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).3．性推断的方法(1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；(2)当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；(3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；(4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．(1)性检验是一种假设检验，在对总体的估量中，通过抽取样本，构造适宜的统计量，对假设的正确性进行推断．(2)使用χ2统计量作2×2列联表的性检验时，一般要求表中的4个数据都大于5，数据越大，越能说明结果的普遍性．2×2列联表[例1]在调查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，试作出性别与色盲的列联表．[思路点拨]在2×2列联表中，共有两类变量，每一类变量都有两个不同的取值，然后出相应的数据，列表即可．[精解详析]依据题目所给的数据作出如下的列联表：[一点通]分清类别是作列联表的关键步骤，对所给数据要明确属于哪一类．1．下面是一个2×2列联表：那么表中a，b处的值分别为()A.32,40 B．42,50C．74,82 D．64,72解析：选Aa＝53－21＝32，b＝a＋8＝40.2．某学校对高三同学作一项调查后发觉：在平常的模拟考试中，性格内向的426名同学中有332名在考前心情紧急，性非常向的594名同学中在考前心情紧急的有213人．试作出2×2列联表．解：列联表如下：性检验的应用[例2]为调查某地区老年人是否需要志愿者供应关心，用简洁随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)估量该地区老年人中，需要志愿者供应关心的老年人的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者供应关心与性别有关？[思路点拨]解答此题先分析列联表数，后计算χ2，再与临界值比拟，推断两个变量是否相互．[精解详析](1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者供应关心，因此在该地区老年人中，需要关心的老年人的比例的估量值为eq\f(70,500)×100%＝14%.(2)χ2＝eq\f(500×40×270－30×1602,200×300×70×430)≈67.由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者供应关心与性别有关．[一点通]这类问题的解决方法为先确定a，b，c，d，n的值并求出χ2的值，再与临界值相比拟，作出推断，解题时留意正确运用公式，代入数据精确?????计算．3．在一个2×2列联表中，通过数据计算χ2＝8.325，那么这两个变量间有关系的可能性为________．答案：99%4．某高校?统计初步?课程的老师随机调查了选该课的同学的一些状况，详细数据如下表：非统计专业统计专业男1310女720那么χ2≈________，有________的把握判定主修统计专业与性别有关．解析：χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,20×30×23×27)≈4.844>3.841，故有95%的把握认为主修统计专业与性别有关．答案：4.84495%5．某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为讨论工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采纳分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)〞和“25周岁以下〞分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如下图的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数缺乏60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组〞工人的概率．(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手〞，请你依据条件完成2×2列联表，并推断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关〞？解：(1)由得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数缺乏60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)．从中随机抽取2名工人，记至少抽到一名25周岁以下组工人的大事为A，故P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(7,10)，故所求概率为eq\f(7,10).(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组〞中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组〞中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：生产能手非生产能手合计25周岁以上组15456025周岁以下组152540合计3070100所以得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×15×25－15×452,60×40×30×70)＝eq\f(25,14)≈1.79.由于1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关〞．性检验的根本步骤：1．列出2×2列联表．2．求出χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋ca＋bb＋dc＋d).3．推断是否有关联，得出大事有关的可能性大小．1．通过随机询问110名性别不同的高校生是否爱好某项运动，得到下表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)算得，χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(χ2≥k)k参照附表，得到的正确结论是()A．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关〞B．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关〞C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关〞D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关〞解析：选C由于χ2＝7.8>6.635，所以有99%以上的把握认为有关．2．下面是2×2列联表：那么表中a，b处的值分别为()A．94,96 B．52,50C．52,54 D．54,52解析：选Ca＝73－21＝52，b＝100－46＝54.3．高二其次学期期中考试，对甲、乙两个班级同学的数学考试成果依据优秀和不优秀统计人数后，得到2×2列联表，那么随机变量χ2的值为()解析：选A随机变量χ2＝eq\f(90×11×37－34×82,19×71×45×45)≈0.600.4．某人讨论中同学的性别与成果、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中同学，得到统计数据如表1至表4，那么与性别有关联的可能性最大的变量是()A．成果 B．视力C．智商 D．阅读量解析：选D由于χeq\o\al(2,1)＝eq\f(52×6×22－14×102,16×36×32×20)＝eq\f(52×82,16×36×32×20)，χeq\o\al(2,2)＝eq\f(52×4×20－16×122,16×36×32×20)＝eq\f(52×1122,16×36×32×20)，χeq\o\al(2,3)＝eq\f(52×8×24－12×82,16×36×32×20)＝eq\f(52×962,16×36×32×20)，χeq\o\al(2,4)＝eq\f(52×14×30－6×22,16×36×32×20)＝eq\f(52×4082,16×36×32×20)，那么有χeq\o\al(2,4)>χeq\o\al(2,2)>χeq\o\al(2,3)>χeq\o\al(2,1)，所以阅读量与性别关联的可能性最大．5．在性检验中，统计量χ2χ2>3.841时，有95%的把握说明两个大事有关，当χ2>6.635时，有99%的把握说明两个大事有关，当χ2≤3.841时，认为两个大事无关．在一项打鼾与患心脏病关系的调查中，共调查了2000人，经计算得χ2＝20.87，依据这一数据分析，以下关于打鼾与患心脏病之间关系的说法，正确的选项是________．(填序号)①有95%的把握认为两者有关；②约有95%的打鼾者患心脏病；③有99%的把握认为两者有关；④约有99%的打鼾者患心脏病．解析：χ2＝20.87>6.635，有99%的把握说明两个大事有关，但只是估量，不能确定什么．答案：③6．为探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照耀小白鼠，在照耀后14天内的结果如下表所示：在讨论小白鼠的死亡与剂量是否有关时，依据以上数据求得χ2＝________.解析：χ2＝eq\f(5014×19－6×112,20×30×25×25)≈5.333.答案：7．为讨论同学的数学成果与对学习数学的爱好是否有关，对某班级同学作调查，得到如下数据：推断同学的数学成果好坏与对学习数学的爱好是否有关？解：由公式求得χ2＝eq\f(189×64×73－22×302,86×103×94×95)≈38.459.∵38.459>6.635，∴有99%的把握认为数学成果的好坏与对学习数学的爱好有关．8．某班n名同学的数学测试成果(单位：分，总分值100分)的频率分布直方图如下图，其中a，b，c成等差数列，且成果在[90,100]内的有6人．(1)求n的值；(2)规定60分以下为不及格，假设不及格的人中女生有4人，而及格的人中，男生比女生少4人，借助性检验分析是否有90%的把握认为“本次测试的及格状况与性别有关〞？解：(1)依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100.035＋0.025＋c＋2b＋a＝1，,2b＝a＋c，))解得b＝0.01.由于成果在[90,100]内的有6人，所以n＝eq\f(6,×10)＝60.(2)由于2b＝a＋c，而b＝0.01，可得a＋c＝0