考点15三角函数的运算（精讲）-【考点通关】备战2023年高考数学一轮复习满分攻略（新高考地区专用）（解析版）

第15讲三角函数的运算知识点1角的概念的推广1．定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角；,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))3．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．注：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．4．相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.【即学即练1】下列与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)【解析】与eq\f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq\f(9π,4)(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．故选C．【即学即练2】【多选】(2022·长沙长郡中学高三模拟)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是()A．α＋β＝540° B．α＋β＝360°C．α＋β＝180° D．α＋β＝90°【解析】假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，由α和β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，又根据终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)180°，k∈Z，所以满足条件的为A、C．故选A、C．知识点2象限角和轴线角1.象限角角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限,就认为这个角是第几象限角．2.轴线角若角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限．易错辨析：锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(×)【即学即练3】(多选)下列命题正确的是()A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}C．第三象限角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(π＋2kπ≤α≤\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°【解析】B项，终边落在y轴上的角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，角度与弧度不能混用，故错误；C项，第三象限角的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(π＋2kπ<α<\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z))))，故错误；D项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，令－720°≤45°＋k·360°≤0°(k∈Z)，解得－eq\f(17,8)≤k≤－eq\f(1,8)(k∈Z)，从而当k＝－2时，β＝－675°；当k＝－1时，β＝－315°，故正确．【即学即练4】终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合是______．(用角度表示)【解析】终边落在第一象限角平分线上所有角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在第三象限角平分线上所有角的集合为B＝{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}，所以终边在第一、三象限角平分线上角的集合为A∪B＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}．答案：{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}【即学即练5】角－2023°是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【解析】∵－2023°＝－6×360°＋137°，∴它是第二象限角．故选B知识点3弧度制的定义和公式1．定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示．2．公式角α的弧度数公式|α|＝eq\f(l,r)(l表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧长公式l＝|α|r扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2注：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量必须一致，不可混用；(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．【即学即练6】已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．【解析】∵α＝30°＝eq\f(π,6)，l＝αr，∴r＝eq\f(2π,\f(π,6))＝12，∴扇形面积S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×2π×12＝12π.【即学即练7】一个扇形的面积是1cm2，它的周长是4cm，则圆心角为________弧度，弧长为________cm.【解析】设扇形的圆心角为α，半径为r.则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S＝\f(1,2)αr2＝1，,αr＋2r＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2，,r＝1，))所以弧长l＝αr＝2，所以扇形的圆心角为2弧度，弧长为2cm.【即学即练8】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()A．2 B.eq\f(2,sin1)C．2sin1 D．sin2【解析】如图，取AB的中点C，连接OC，则OC⊥AB，∠AOC＝∠BOC＝1rad，在△AOC中，sin1＝eq\f(1,r)，∴r＝eq\f(1,sin1)，∴所求弧长为αr＝eq\f(2,sin1).知识点4任意角的三角函数1．定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．2．推广：设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．【即学即练9】已知角θ的终边过点P(－12，m)，cosθ＝－eq\f(12,13)，则m的值为()A．－5 B．5C．±5 D．±8【解析】由三角函数的定义可知cosθ＝eq\f(－12,\r(－122＋m2))＝－eq\f(12,13)，解得m＝±5．【即学即练10】已知α是第二象限角，P(x，eq\r(5))为其终边上一点，且cosα＝eq\f(\r(2),4)x，则x＝________．【解析】依题意，得cosα＝eq\f(x,\r(x2＋5))＝eq\f(\r(2),4)x<0，由此解得x＝－eq\r(3)．答案：－eq\r(3)【即学即练11】若角α的终边经过点P(3m，－4m)(m<0)，则sinα＋cosα＝________.【解析】由题意得r＝|OP|＝eq\r(3m2＋－4m2)＝5|m|＝－5m(O为坐标原点)，则sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－4m,－5m)＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(3m,－5m)＝－eq\f(3,5)，故sinα＋cosα＝eq\f(4,5)－eq\f(3,5)＝eq\f(1,5).知识点5正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．意为：第一象限各三角函数值均为正；第二象限只有正弦值为正，其余均为负；第三象限只有正切值为正，其余均为负；第四象限只有余弦值为正，其余均为负．【即学即练12】若α是第二象限角，则()A．cos(－α)>0 B．taneq\f(α,2)>0C．sin(π＋α)>0 D．cos(π－α)<0【解析】若α是第二象限角，则cos(－α)＝cosα<0，故A错误；eq\f(α,2)为第一、三象限角，则taneq\f(α,2)>0，故B正确；sin(π＋α)＝－sinα<0，故C错误；cos(π－α)＝－cosα>0，故D错误．故选B．【即学即练13】(2022·扬州中学月考)若α＝－5，则()A．sinα>0，cosα>0B．sinα>0，cosα<0C．sinα<0，cosα>0D．sinα<0，cosα<0【解析】因为－2π<α＝－5<－eq\f(3,2)π，所以α＝－5为第一象限的角，所以sinα>0，cosα>0.故选A知识点6同角三角函数的基本关系（1）平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.（平方关系对任意角都成立）（2）商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即eq\f(sinα,cosα)＝tanα（3）公式常见变形：①sin2α=1–cos2α；（）②cos2α=1–sin2α；（）③sinα=±；④cosα=±；⑤sinα=cosαtanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))；（特别注意）⑥cosα=；⑦sin2α==；⑧cos2α==．⑨．⑩注：同角并不拘泥于角的形式，如sin2eq\f(α,2)＋cos2eq\f(α,2)＝1，eq\f(sin3x,cos3x)＝tan3xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))都成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．解题策略：一、同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ化成正切表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sinθ±cosθ)2∓2sinθcosθ＝taneq\f(π,4)表达式中需要利用“1”转化和积转换利用关系式(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ进行变形、转化表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ二、利用同角三角函数基本关系化简、证明的常用方法(1)化切为弦，减少函数名称．(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号．(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．【即学即练14】若sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)<α<π，则tanα＝()A．－2B．2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)【解析】∵eq\f(π,2)<α<π，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(2\r(5),5)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(1,2)．故选D【即学即练15】已知tanα＝2，则eq\f(3sinα－cosα,sinα＋2cosα)＝()A．eq\f(5,4)B．－eq\f(5,4)C．eq\f(5,3) D．－eq\f(5,3)【解析】原式＝eq\f(3tanα－1,tanα＋2)＝eq\f(3×2－1,2＋2)＝eq\f(5,4)．故选A知识点7诱导公式公式一1．设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：2．公式：sin（2kπ+α）=sinα（k∈Z）cos（2kπ+α）=cosα（k∈Z）tan（2kπ+α）=tanα（k∈Z）公式二1．角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．2．公式：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.公式三1．角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．2．公式：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.公式四1．角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．2．公式：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.公式五1．角eq\f(π,2)－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．2．公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.拓展：公式六1.角eq\f(π,2)＋α与角eq\f(π,2)－α的终边关于y轴对称（eq\f(π,2)＋α＝π－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)).）2．公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα.拓展：解题策略：诱导公式的记忆方法：①口诀记忆法：奇变偶不变，符号看象限“奇”“偶”指的是“k·eq\f(π,2)＋αk∈Z”中的k是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化．“符号看象限”指的是在“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·eq\f(π,2)＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．“奇变偶不变，符号看象限”精析：（1）适用范围：（即角中必须出现的整数倍才能使用诱导公式）（2）奇？偶？（使用诱导公式时先判断是否需要变函数名）奇：指k是奇数（也即的系数是奇数）如变：指的是函数名发生改变，偶：指k是偶数（也即的系数是偶数）如，不变：函数名不发生变化（3）三角函数在各个象限的符号口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．（4）各个角所在的象限（无论具体是什么角，都将其视为锐角）——“顺转减，逆转加”例：sin（360°＋120°）＝sin120°，sin（270°＋120°）＝－cos120°（5）确定符号：判断符号时看原函数名，而非变化之后的函数名（6）实例：诱导公式1-6（7）补充：，，，，特殊：②图象记忆法在图中，能够直观地看到各形式的角应处的象限，确定符号很方便，很准确．学生有了这个图，诱导公式计算化简问题的准确率大大地提高了．拓展：简单的诱导公式计算题学生都能够看着图计算正确，但遇到复杂些、综合性强的计算，学生还会败下阵来，如下题：即使是熟记口诀，熟悉图象的学生，也往往顾此失彼、错误不断．究其原因，如何准确看待这些角，以及化简时使用诱导公式的先后顺序，都影响着结果．遇到这类题，可以教学生这样处理:先画一个如下图的直角坐标系，再把特殊的轴线角标记在对应轴线上，并记住在轴上则“名不变，符号看象限”，在轴上则“名称变，符号看象限”．（注意判断象限时+是逆时针方向，是顺时针方向）这样原本要多次用诱导公式化简的，只需用一次即完成，大大缩减中间环节．，，，，于是依靠坐标轴，一步就到位．原式.此法使学生既快又准地得出结果，体验到解题的乐趣．这样对诱导公式进行灵活拓展处理，每一个式子都可以直接用诱导公式口诀化简，大大减轻了计算量，提高了准确率．【即学即练16】已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－θ))＝eq\f(2\r(2),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋θ))＝()A．－eq\f(1,3)B．－eq\f(2\r(2),3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2\r(2),3)【解析】sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－θ))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)＋θ))＝eq\f(2\r(2),3)．故选D．知识点8两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(α－β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)S(α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T(α－β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)；变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)(两式相除、上同下异)．T(α＋β)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)(两式相除、上同下异)．注：①公式的常用变式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；tanα·tanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tan(α＋β))＝eq\f(tanα－tanβ,tan(α－β))－1.②常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，等．【即学即练17】计算：sin108°cos42°－cos72°sin42°＝________．【解析】原式＝sin(180°－72°)cos42°－cos72°sin42°＝sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝eq\f(1,2)．【即学即练18】若tanα，tanβ是方程x2－6x＋7＝0的两个根，则tan(α＋β)＝__________．【解析】由于tanα，tanβ是方程x2－6x＋7＝0的两个根，所以tanα＋tanβ＝6，tanα·tanβ＝7，所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanα·tanβ)＝eq\f(6,－6)＝－1．【即学即练19】已知tan(α＋β)＝eq\f(1,2)，tan(α－β)＝eq\f(1,3)，则tan(π－2α)＝________．【解析】2α＝(α＋β)＋(α－β)，tan(π－2α)＝－tan2α，∴tan2α＝eq\f(tanα＋β＋tanα－β,1－tanα＋βtanα－β)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1，∴tan(π－2α)＝－1．知识点9二倍角公式二倍角是相对的，如：eq\f(α,2)是eq\f(α,4)的2倍，3α是eq\f(3α,2)的2倍.S2αsin2α＝2sin_αcos_α；变形：sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)，C2αcos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；变形：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)T2αtan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)（α≠kπ+且α≠+，k∈Z）②降幂公式：sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α.③升幂公式：1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)；1－cosα＝2sin2eq\f(α,2)；1＋sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))2；1－sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))2.④万能公式：拓展：⑤半角公式：拓展：【即学即练20】【多选】(2022·南京月考)下列各式中，值为eq\f(\r(3),2)的是()A．2sin15°cos15° B．cos215°－sin215°C．1－2sin215° D．eq\f(3tan15°,1－tan215°)【解析】A项，2sin15°cos15°＝sin30°＝eq\f(1,2)；B项，cos215°－sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)；C项，1－2sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)；D项，eq\f(3tan15°,1－tan215°)＝eq\f(\f(3,2)×2tan15°,1－tan215°)＝eq\f(3,2)×tan30°＝eq\f(3,2)×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(\r(3),2)．故选B、C、D．知识点10辅助角公式asinx+bcosx=sin(x+φ)，其中cosφ=,sinφ=．其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点（a，b）决定．【即学即练21】若eq\r(3)sinx＋cosx＝eq\f(2,3)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(7π,6)))＝________．【解析】由eq\r(3)sinx＋cosx＝eq\f(2,3)，得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(2,3)，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝±eq\f(2\r(2),3)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝±eq\f(\r(2),4)，即taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(7π,6)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝±eq\f(\r(2),4)．考点一象限角与终边相同的角解题方略：1、象限角的2种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角2、求eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在象限的步骤(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示；(2)两边同除以n或乘以n；(3)对k进行讨论，得到eq\f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在的象限．注：确定角（n∈N）终边所在象限的方法：已知角终边所在的象限，确定（n∈N）终边所在象限的常用方法有以下两种：一是分类讨论法．利用已知条件写出α的范围（用k表示），由此确定的范围，然后对k进行分类讨论，从而确定所在象限．二是几何法．先把各象限均分为n等份，再从x轴的正方向的上方起，逆时针依次将各区域标上一、二、三、四，一、二、三、四，…则α原来是第几象限角，标号为几的区域即终边所在的区域．3、利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．4、注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角。（一）终边相同的角【例1-1】若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－eq\r(3)x上，则角α的取值集合是()A．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z)))) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))))C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(2π,3)，k∈Z)))) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))))【解析】因为直线y＝－eq\r(3)x的倾斜角是eq\f(2π,3)，tanα＝－eq\r(3)，所以终边落在直线y＝－eq\r(3)x上的角的取值集合为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z))))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z))))．故选D．变式1：若角的终边在直线上，则角的取值集合为（

）A． B．C． D．【解析】，由图知，角的取值集合为:故选：D.【例1-2】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线对称.若，则___________.【解析】因在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线对称，则有，即，而，所以，，.故答案为：（二）象限角【例1-3】给出下列四个命题：①－eq\f(3π,4)是第二象限角；②eq\f(4π,3)是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】①中－eq\f(3π,4)是第三象限角，从而①错．②中eq\f(4π,3)＝π＋eq\f(π,3)，则eq\f(4π,3)是第三象限角，从而②正确．③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．【例1-4】已知α为第三象限角，则eq\f(α,2)是第______象限角，2α是________的角．【解析】∵α是第三象限角，即2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3,2)π，k∈Z，∴kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3,4)π，k∈Z，4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.当k为偶数时，eq\f(α,2)为第二象限角；当k为奇数时，eq\f(α,2)为第四象限角，而2α的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上．【例1-5】(2022·济南月考)集合eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中的角所表示的范围(阴影部分)是()【解析】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)，此时α表示的范围与eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,2)，此时α表示的范围与π＋eq\f(π,4)≤α≤π＋eq\f(π,2)表示的范围一样，故选C．考点二扇形的弧长及面积公式的应用解题方略：有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．（一）弧长的有关计算【例2-1】一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l．已知α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，求扇形的弧长、面积及弧所在弓形的面积．【解析】由已知得α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，∴l＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)∴S扇形＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×102＝eq\f(50π,3)(cm2)．S弓形＝S扇形－S三角形＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)·R2·sineq\f(π,3)＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)×102×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(50π－75\r(3),3)(cm2)．变式1：若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12cm，则弧长l等于()A.eq\f(4\r(3),3)πcm B.eq\f(8\r(3),3)πcmC．4eq\r(3)cm D．8eq\r(3)cm【解析】设扇形的半径为rcm，如图．由sin60°＝eq\f(6,r)，得r＝4eq\r(3)cm，∴l＝|α|·r＝eq\f(2π,3)×4eq\r(3)＝eq\f(8\r(3),3)π(cm)．变式2：(2022·佛山三模)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．3 D．eq\r(3)【解析】如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝eq\f(2π,3)，作OM⊥AB，垂足为M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝eq\f(π,3)，∴AM＝eq\f(\r(3),2)r，AB＝eq\r(3)r，∴l＝eq\r(3)r，由弧长公式得α＝eq\f(l,r)＝eq\f(\r(3)r,r)＝eq\r(3)．扇形面积的有关计算【例2-2】如图所示的时钟显示的时刻为3：30，此时时针与分针的夹角为.若一个扇形的圆心角为a，弧长为10，则该扇形的面积为（

）A． B． C． D．【解析】由图可知，，则该扇形的半径，故面积.故选：D变式1：“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为，墙壁截面为矩形，且，则扇形的面积是__________.【解析】由题意可知，圆的半径为，即，又，所以为正三角形，∴，所以扇形的面积是.故答案为：变式2：九章算术是中国古代的数学名著，其中方田一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分.若弧田所在圆的半径为，圆心角为，则此弧田的面积为__________．【解析】依题意，等腰底边，高，则的面积为，而扇形的面积为，则有阴影部分的面积为，所以此弧田的面积为.故答案为：（三）扇形中的最值问题【例2-3】(2022·襄阳模拟)已知扇形的周长为8cm，则该扇形面积的最大值为________cm2．【解析】设扇形半径为rcm，弧长为lcm，则2r＋l＝8(0<r<4)，S＝eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)r×(8－2r)＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，当r＝2时，扇形面积最大，所以Smax＝4(cm2)．变式1：已知扇形的面积是4cm2，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的弧度数为________．【解析】设此扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则扇形的面积S＝eq\f(1,2)lr＝4，所以l＝eq\f(8,r)，设扇形的周长为L，则L＝2r＋l＝2r＋eq\f(8,r)，r∈(0，＋∞)．方法一由基本不等式得2r＋eq\f(8,r)≥2eq\r(16)＝8，当且仅当2r＝eq\f(8,r)，即r＝2时，等号成立，扇形的周长取得最小值8，此时l＝eq\f(8,r)＝4，故α＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,2)＝2.方法二由L′＝2－eq\f(8,r2)＝eq\f(2r2－8,r2)＝0，得r＝2，所以当r∈(0,2)时，L′<0，L＝2r＋eq\f(8,r)单调递减；当r∈(2，＋∞)时，L′>0，L＝2r＋eq\f(8,r)单调递增，所以当r＝2时，扇形的周长取得最小值．此时l＝eq\f(8,r)＝4，故扇形的圆心角α＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,2)＝2.变式2：如图，圆心角为的扇形的半径为2，点C是弧AB上一点，作这个扇形的内接矩形．(1)求扇形的周长；(2)当点C在什么位置时，矩形的面积最大？并求出面积的最大值．【解析】(1)由题，弧AB长为，故扇形的周长为：；(2)设，则，，所以，所以矩形的面积，，所以当时，取得最大值，即当C在弧AB中点时，矩形的面积最大，最大值为.（四）扇形弧长公式与面积公式的应用【例2-4】已知某扇形的周长是，面积是，则该扇形的圆心角的弧度数为（

）A．1 B．4 C．1或4 D．1或5【解析】设扇形的弧长为，半径为，所以，解得或，所以圆心角的弧度数是或.故选：C变式1：已知圆锥的底面周长为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的高为（

）A．3 B． C．1 D．【解析】由题设，底面半径，母线长，所以圆锥的高.故选：B变式2：某圆锥的侧面展开图是弧长为且圆心角为的扇形，则此圆锥的侧面积为（

）A． B． C． D．【解析】设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，则l即为展开图扇形所在圆半径，于是得，解得，圆锥底面圆周长为展开图扇形弧长，即，解得，所以圆锥的侧面积.故选：C（五）与数学文化有关问题【例2-5】《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂及肩膀近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米．“弓”所在圆的半径约为1米．则掷铁饼者双手之间的距离约为（

）（参考数据：，）A．1.412米 B．1.414米 C．1.732米 D．1.734米【解析】如图所示，弓形所在的弧长为，因为“弓”所在圆的半径约为1米，所以弓形所对的圆心角为，所以两手之间的距离为米.故选：C.变式1：中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.《乐府诗集》中《夏歌二十首》的第五首曰：“叠扇放床上，企想远风来轻袖佛华妆，窈窕登高台.”如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成若一把折扇完全打开时圆心角为，扇面所在大圆的半径为，所在小圆的半径为，那么这把折扇的扇面面积为（

）A． B． C． D．以上都不对【解析】由题意得，大扇形的面积为，小扇形的面积为，所以扇面的面积为.故选：B变式2：中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（

）A． B． C． D．【解析】记扇形的圆心角为，扇形的面积为，扇环形的面积为，圆的面积为，由题意可得，，，，所以，因为剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，所以，则，所以.故选：D.考点三三角函数的定义及其应用解题方略：三角函数的定义中常见的四种题型及解决方法求已知角三角函数值，一般求已知角的终边与单位圆的交点坐标，再利用三角函数的定义求解．已知角α终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．，，.（注：利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值时，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r．）(3)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求角α的三角函数值．先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；（注：(4)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a，b)(a≠0)，则对应角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq\f(b,a).（注：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况（点所在象限不同）进行分析．）利用定义求角的三角函数值【例3-1】已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【解析】因为角的终边过点，由任意三角形的定义知：，.故选：D.变式1：已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（

）A． B． C． D．【解析】由题意，角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，可得，根据三角函数的定义，可得，所以.故选：B.变式2：平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，其终边上一点P绕原点顺时针旋转eq\f(π,6)到达点Q(3,4)的位置，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝()A．－eq\f(3,5) B．eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D．eq\f(4,5)【解析】依题意可知Q(3,4)在角α－eq\f(π,6)的终边上，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(4,\r(32＋42))＝eq\f(4,5)，故选D．（二）由三角函数值求终边上的点或参数【例3-2】(2022·临沂模拟)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，则m的值为()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)【解析】由题意得点P(－8m，－3)，r＝eq\r(64m2＋9)，所以cosα＝eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，解得m＝±eq\f(1,2)，又cosα＝－eq\f(4,5)<0，所以－8m<0，即m>0，所以m＝eq\f(1,2)．故选C变式1：已知角α的终边上一点P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，则cosα＝________，tanα＝________.【解析】由sinα＝eq\f(m,\r(3＋m2))＝eq\f(\r(2)m,4)，解得m＝±eq\r(5)，∴r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，当m＝eq\r(5)时，cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；当m＝－eq\r(5)时，cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3).变式2：已知点是角终边上一点，且，则等于（

）A． B． C． D．【解析】因点是角终边上一点，则有，而，于是得，解得，则，因此，，所以等于.故选：A（三）由单位圆求三角函数值【例3-3】已知角α的终边与单位圆的交点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，则sinα·tanα等于()A．－eq\f(\r(3),3)B．±eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(3,2)D．±eq\f(3,2)【解析】设O为坐标原点，由|OP|2＝eq\f(1,4)＋y2＝1，得y2＝eq\f(3,4)，y＝±eq\f(\r(3),2).方法一当y＝eq\f(\r(3),2)时，sinα＝eq\f(\r(3),2)，tanα＝－eq\r(3)，此时，sinα·tanα＝－eq\f(3,2).当y＝－eq\f(\r(3),2)时，sinα＝－eq\f(\r(3),2)，tanα＝eq\r(3)，此时，sinα·tanα＝－eq\f(3,2).所以sinα·tanα＝－eq\f(3,2).方法二由三角函数定义知，cosα＝－eq\f(1,2)，sinα＝y，所以sinα·tanα＝sinα·eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(sin2α,cosα)＝eq\f(y2,－\f(1,2))＝eq\f(\f(3,4),－\f(1,2))＝－eq\f(3,2).故选C变式1：设，角的终边与圆的交点为，那么（

）A． B． C． D．【解析】画图，角的终边与圆的交点为，设，则，，代入得，解得，∵，∴，∴，又∵在单位圆中，，，∴，，∴，故选：D变式2：已知单位圆上在第一象限内的一点P沿圆周逆时针旋转eq\f(π,3)到点Q，若点Q的横坐标为－eq\f(1,2)，则点P的横坐标为()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)【解析】由单位圆上第一象限一点P沿圆周逆时针旋转eq\f(π,3)到点Q，点Q的横坐标为－eq\f(1,2)，所以cos∠xOQ＝－eq\f(1,2)，即∠xOQ＝eq\f(2π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以∠xOP＝eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，设点P的横坐标为x0，则x0＝cos∠xOP＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋2kπ))＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)．故选B．（四）已知角α的终边在直线上求三角函数值【例3-4】已知α的终边在直线y＝2x上，则sinα＝________.【解析】由题意可知，α终边落在第一或第三象限，且tanα＝2，若在第一象限，可在α终边上任取一点(1,2)，∴sinα＝eq\f(2,\r(12＋22))＝eq\f(2\r(5),5)，若在第三象限，可在α终边上任取一点(－1，－2)，∴sinα＝eq\f(－2,\r(－12＋－22))＝－eq\f(2\r(5),5).变式1：若点在直线上，则的值等于（

）A． B． C． D．【解析】点在直线上，故，，故选：A.变式2：若的终边在射线上,则_____,_____．【解析】在的终边在射线上,任意取一点则,则,故答案为;.考点四三角函数值符号的判定解题方略：三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数值在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sinα在一、二象限为正，cosα在一、四象限为正，tanα在一、三象限为正．学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sinα在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sineq\f(π,2)＝1>0，cosπ＝－1<0．【例4-1】若sinθ·cosθ<0，eq\f(tanθ,sinθ)>0，则角θ是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【解析】由eq\f(tanθ,sinθ)>0，得eq\f(1,cosθ)>0，所以cosθ>0.又sinθ·cosθ<0，所以sinθ<0，所以θ为第四象限角．故选D变式1：若α为第二象限角，则cos2α，coseq\f(α,2)，eq\f(1,sin2α)中，其值必为正的有()A．0个B．1个C．2个 D．3个【解析】由题意知，2kπ＋eq\f(π,2)<α<2kπ＋π(k∈Z)，则4kπ＋π<2α<4kπ＋2π(k∈Z)，所以2α的终边在第三、第四象限或y轴的负半轴上，所以sin2α<0，cos2α可正可负也可为零．因为kπ＋eq\f(π,4)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，所以eq\f(α,2)的终边在第一或第三象限，所以coseq\f(α,2)可正可负．故选A．变式2：已知α为第二象限角，则()A．2sin2α－1<0 B．sinα(1＋cosα)>0C．sinαcosα>0 D．sinαtanα>0【解析】∵α为第二象限角，∴0<sinα<1，－1<cosα<0，tanα<0，∴2sin2α－1＝sin2α＋sin2α－1＝sin2α－cos2α＝－cos2α，又∵－1<－cos2α<1，∴－1<2sin2α－1<1，sinα(1＋cosα)>0，sinαcosα<0，sinαtanα<0．故选B．【例4-2】(2022·淄博模拟)sin2·cos3·tan4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不存在【解析】∵eq\f(π,2)<2<3<π<4<eq\f(3π,2)，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2·cos3·tan4<0．故选A考点五同角三角函数基本关系式的应用解题方略：（一）利用同角三角函数的基本关系求值【例5-1】已知为锐角，，则的值为（

）A． B． C． D．【解析】因为，所以，又为锐角，所以，故选：C变式1：(2022·北京模拟)已知α∈(0，π)，cosα＝－eq\f(3,5)，则tanα＝()A．eq\f(3,4)B．－eq\f(3,4)C．eq\f(4,3) D．－eq\f(4,3)【解析】因为cosα＝－eq\f(3,5)且α∈(0，π)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,3)．故选D．（二）利用同角三角函数基本关系化简求值【例5-2】(2022·济南模拟)若角α的终边在第三象限，则eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))＝()A．3B．－3C．1 D．－1【解析】由角α的终边在第三象限，得sinα<0，cosα<0，故原式＝eq\f(cosα,|cosα|)＋eq\f(2sinα,|sinα|)＝eq\f(cosα,－cosα)＋eq\f(2sinα,－sinα)＝－1－2＝－3，故选B．考点六已知值的求值问题（齐次式）解题方略：弦切互化：已知（1）分式齐1次式=（2）分式齐2次式（3）齐2次整式【例6-1】若，则（

）A． B． C． D．【解析】，故选：A．变式1：若，则的值是（

）A． B． C． D．【解析】因为，所以.故选：A变式2：已知，，则（

）A． B． C． D．【解析】∵，∴，，可得，∵，∴.故选：A.变式3：若，则（

）A． B． C． D．【解析】由可得，解得：，故选：C.考点七sinα±cosα与sinα·cosα之间的关系解题方略：（1）公式变形：（2）利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化；利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的关系可实现和积转化．（3）同角三角函数关系式的方程思想对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，转化公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，若令sinα＋cosα＝t，则sinαcosα＝eq\f(t2－1,2)，sinα－cosα＝±eq\r(2－t2)(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．【例7-1】若sinθ－cosθ＝eq\f(4,3)，且θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝()A．－eq\f(\r(2),3)B．eq\f(\r(2),3)C．－eq\f(4,3) D．eq\f(4,3)【解析】由sinθ－cosθ＝eq\f(4,3)，得1－2sinθcosθ＝eq\f(16,9)，即2sinθcosθ＝－eq\f(7,9)，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(2,9)，又θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，∴sinθ＋cosθ<0，∴sinθ＋cosθ＝－eq\f(\r(2),3)，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sinθ＋cosθ＝－eq\f(\r(2),3)，故选A．变式1：已知，且，给出下列结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的序号是（

）A．①②④ B．②③④C．①②③ D．①③④【解析】∵,，等式两边平方得，解得，故②正确；∵，，∴，,故①正确，③错误；由可知，，且，解得，故④正确，故选：A变式2：若，则（

）A． B． C． D．【解析】因为，所以，所以，所以，，所以，，即，所以，故选：A变式3：(2022·天津模拟)已知sinα＋cosα＝－eq\r(2)，则tanα＋eq\f(1,tanα)＝________．【解析】由已知得1＋2sinαcosα＝2，∴sinαcosα＝eq\f(1,2)，∴tanα＋eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sin2α＋cos2α,sinαcosα)＝eq\f(1,\f(1,2))＝2．考点八诱导公式的应用解题方略：1．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名；(2)用诱导公式，统一角；(3)用因式分解将式子变形，化为最简．3．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα．（一）利用诱导公式化简与求值三角函数式化简的常用方法（1）合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式,②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.（2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.提醒：注意分类讨论思想的应用.【例8-1】已知，则（

）A． B． C． D．【解析】因为，所以．故选：A变式1：(2022·广东联考)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝eq\f(3,5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－x))＝()A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(3,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)【解析】coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)－x))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝－eq\f(3,5)．故选B．变式2：已知α是第二象限角，角β的终边经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosπ＋α，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π－α))))，则β为()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【解析】∵cos(π＋α)＝－cosα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π－α))＝cosα，又α为第二象限角，∴cosα<0，－cosα>0，∴点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosπ＋α，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π－α))))位于第四象限，∵角β的终边经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosπ＋α，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π－α))))，∴β为第四象限角．故选D．变式3：已知是方程的根，且是第三象限的角，求的值【解析】方程的两根分别为与，由于是第三象限的角，则，所以，所以，∴原式．（二）给值(式)求值问题解决条件求值问题的两技巧（1）寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.（2）转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.注：解决该类题型时要具有整体的思想，不要轻易将条件中的角度用正弦、余弦的和、差角公式展开，而应该尽量将角度看成整体，观察这些整体角度间的关系（通常是加、减后得出特殊角）．“+”为异号，“-”为同号（一般用所求角-已知角）【例8-2】已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝－eq\f(1,3)，且0<x<eq\f(π,2)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))的值为___________．【解析】由0<x<eq\f(π,2)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝－eq\f(1,3)知，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(2\r(2),3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(2\r(2),3)．变式1：【多选】已知，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【解析】由，可得，，，．故选：BD变式2：已知，则（

）A． B． C． D．【解析】．故选：A变式3：已知，则（

）A． B． C． D．【解析】故选：D.考点九诱导公式与同角关系式的综合应用解题方略：利用诱导公式与同角三角函数关系解题的策略基本思路(1)分析结构特点，选择恰当的公式；(2)利用公式化成单角三角函数；(3)整理得最简形式化简要求(1)化简过程是恒等变换；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值【例9-1】若，，则的值为（

）A．或 B． C． D．【解析】由可得：，平方得：所以，解得或，又，所以，故，故选：C变式1：已知角θ的终边在第三象限，tan2θ＝－2eq\r(2)，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－eq\r(2)cos2θ＝()A．－eq\f(\r(2),6)B．eq\f(\r(2),6)C．－eq\f(2,3) D．eq\f(2,3)【解析】由tan2θ＝－2eq\r(2)可得tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝－2eq\r(2)，即eq\r(2)tan2θ－tanθ－eq\r(2)＝0，解得tanθ＝eq\r(2)或tanθ＝－eq\f(\r(2),2)．又角θ的终边在第三象限，故tanθ＝eq\r(2)，故sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－eq\r(2)cos2θ＝sin2θ＋sinθcosθ－eq\r(2)cos2θ＝eq\f(sin2θ＋sinθcosθ－\r(2)cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋tanθ－\r(2),tan2θ＋1)＝eq\f(\r(2)2＋\r(2)－\r(2),\r(2)2＋1)＝eq\f(2,3)．故选D变式2：已知－π<x<0，sin(π＋x)－cosx＝－eq\f(1,5)．求eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)的值．【解析】由已知，得sinx＋cosx＝eq\f(1,5)，两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝eq\f(1,25)，整理得2sinxcosx＝－eq\f(24,25)．∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝eq\f(49,25)，由－π<x<0知，sinx<0，又sinxcosx＝－eq\f(12,25)<0，∴cosx>0，∴sinx－cosx<0，故sinx－cosx＝－eq\f(7,5)．eq\f(sin2x＋2sin2x,1－tanx)＝eq\f(2sinxcosx＋sinx,1－\f(sinx,cosx))＝eq\f(2sinxcosxcosx＋sinx,cosx－sinx)＝eq\f(－\f(24,25)×\f(1,5),\f(7,5))＝－eq\f(24,175)．考点十和、差、倍角公式的应用解题方略：1、应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2、和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ；cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ；tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)；(3)倍角公式变形：降幂公式．注：tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．3、三角函数公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．4、三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角三角函数的基本关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．（一）和、差、倍角公式的直接应用【例10-1】已知角为第二象限角，，则的值为（

）A． B．C． D．【解析】因为角为第二象限角，所以，则.故选：D.变式1：已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos（α+）＝（

）A． B．﹣ C． D．﹣【解析】因为sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，所以，，因为，且，所以且，所以，所以.故选：D.和、差、倍角公式的逆用及变形用【例10-2】(2022·T8联考)已知eq\r(3)tan20°＋λcos70°＝3，则λ的值为()A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3eq\r(3) D．4eq\r(3)【解析】由已知，eq\f(\r(3)sin20°,cos20°)＋λsin20°＝3，则eq\r(3)sin20°＋λsin20°cos20°＝3cos20°，从而eq\f(λ,2)sin40°＝3cos20°－eq\r(3)sin20°＝2eq\r(3)sin(60°－20°)＝2eq\r(3)sin40°，所以λ＝4eq\r(3)，故选D．变式1：若eq\r(3)sinx＋cosx＝eq\f(2,3)，则taneq\b\