湖北省新高考协作体高三上学期起点考试数学试题（解析版）

高三数学试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】，解得或，所以.所以，AB选项错误.反之不成立，故C选项正确，D选项错误.故选：C2.已知点是角终边上一点，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出点P到原点的距离，再根据正弦函数的定义求解.【详解】依题意点P的坐标为，，；故选：D.3.火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同的火车，则不同的停放方法有（）A.种B.种C.种D.种【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，直接利用排列列式作答.【详解】火车站有5股岔道，每股岔道只能停放一列火车，现要停放3列不同的火车，它是排列问题，所以不同的停放方法有种.故选：B4.（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确选项.【详解】.故选：B5.要得到的图象，只需要将的图象（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】A【解析】【分析】先将函数化为，然后由正弦函数的图像平移可得答案.【详解】又所以将的图像向左平移个单位长度，可得的图像故选：A6.定义在上的函数满足，且当时，.若对，都有，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解.【详解】因为当时，，所以，又因为函数满足，所以函数的部分图像如下，由图可知，若对，都有，则.故A，C，D错误.故选：B.7.如图，某城市的街区由12个全等的矩形组成（实线表示马路），CD段马路由于正在维修，暂时不通，则从A到B的最短路径有（）A.23条B.24条C.25条D.26条【答案】D【解析】【分析】先假设是实线，计算出所有的最短路径的条数，然后减去经过的最短路径的条数，从而求得正确答案.【详解】先假设是实线，则从到，向上次，向右次，最短路径有条，其中经过的，即先从到，然后到，最后到的最短路径有条，所以，当不通时，最短路径有条.故选：D8.当时，恒成立，则整数的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意转化为在上恒成立，设，求得，令，求得，单调在上仅有一个实数根，设为，根据，得到，将代入得到，即可求解.【详解】因为当时，恒成立，可得在上恒成立，不妨设，可得，令，可得，所以在上单调递增，因为，所以在上仅有一个实数根，设为，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，因为，所以，且，将代入可得，因为在上单调递增，所以，所以，因为为整数，所以.故选：C.二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确有（）A.已知集合，，全集，若，则实数的集合为B.命题，成立的充要条件是C.设，则“”的充要条件是“都不为”D.已知，，，则的最小值为【答案】CD【解析】【分析】解方程求得集合，当时，可知，由此可得，知A错误；利用一元二次不等式能成立的求法可求得范围，由其与的推出关系可知B错误；根据可知C正确；由，利用基本不等式可求得最小值，知D正确.【详解】对于A，集合；当时，，，满足，但，A错误；对于B，若，，则，当时，，；由，，是，成立的充分不必要条件，B错误；对于C，由题意知：，且，“”的充要条件是“都不为”，C正确；对于D，（当且仅当，即，时取等号），的最小值为，D正确.故选：CD.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的定义域为B.当函数的图象关于点成中心对称时，C.当时，在上单调递减D.设定义域为函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为（，2，…，2022），则的值为0【答案】ACD【解析】【分析】对A：由即可判断；对B：由，可得的图象关于点成中心对称，从而即可判断；对C：，且，即可判断；对D：由函数和图象关于对称，则与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，从而即可求解判断.【详解】解：对A：要使函数有意义，则，即，∴的定义域为，所以选项A正确；对B：∵，∴的图象关于点成中心对称，∴当函数的图象关于点成中心对称时，，所以选项B不正确；对C：由选项B知，当时，，∴在单调递减，所以选项C正确；对D：∵，，∴的图象关于对称，又函数的图象关于对称，∴与图象的交点成对出现，且每一对均关于对称，，所以选项D正确.故选：ACD.11.已知，，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据条件概率公式及相互独立事件、对立事件的概率公式计算可得；【详解】解：，因为，所以，因此，，又，所以.故选：AD.12.已知方程，其中.下列条件中使得该三次方程有且仅有一个实根的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】分别对所给的值逐个分析；选项中添项去项，分组分解因式，可得有两根，不符合题意;A,C,D中构造函数，求出函数的单调性和极值，分析函数的零点问题，由极值的正负判断函数的零点个数，进而判断出正确的命题.【详解】对于选项A.方程为:,令,,所以在R上单调递增,且，,所以函数仅有一个零点,所以方程仅有一个实根,所以A正确.对于选项B.方程:,可得,即,即,即，可得方程有两个根1，-2,不符合题意,所以B不正确;对于选项C.方程为:,令,则；当时，，单调递增；所以函数只有一个零点，即方程仅有一个实根,所以C正确;对于选项D.方程为:，令,，时，时，故为极大值，，时,为极小值,且,当时,,所以函数仅有一个零点,即方程仅有一个实根,所以D正确;故选:ACD.三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如果函数是奇函数，则的值为______.【答案】【解析】【分析】根据奇函数的定义，将代入，求出的表达式，再根据确定的取值.【详解】函数是奇函数，，即，或恒成立，解得：，又，.故答案为：.14.抽样表明，某地区新生儿体重近似服从正态分布.假设随机抽取个新生儿体检，记表示抽取的个新生儿体重在以外的个数.若的数学期望，则的最大值是___________.（）【答案】16【解析】【分析】根据正太分布的原则进行计算.【详解】根据正太分布的原则可知：，得：，因为为正整数，故的最大值为16.故答案为：1615.函数的最大值为，最小值为，则______.【答案】6【解析】【分析】求解可得的对称中心，再根据取得最大与最小值的点关于对称中心对称求解即可.【详解】由题意，，故关于对称.故取得最大与最小值的点关于对称，所以.故答案为：616.已知、为实数，，若对恒成立，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】求出函数的导函数，判断可得，即可求得函数的单调区间，从而求出函数的最小值，依题意可得，即可得到，从而得到，再令，，利用导数说明函数的单调性，从而求出函数的最小值，即可求出的取值范围.【详解】解：因为，所以，若，则恒成立，所以在上单调递增，且当时，不符合题意，所以，令，解得，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，则，则，令，，则，所以当时，当时，即在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即的最小值为.故答案为：【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的展开式中的系数是-35，（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）1（2）【解析】【详解】试题分析：（1）本题主要考查二项式定理，首先根据通项公式写出，令，从而求出的值为1，于是问题转化为的展开式，采用赋值法，首先令，求出的值，再令，可以求出的值，这样得出的值；（2）两次赋值，分别令，，两个式子相减得到的值.试题解析：∵，∴，∴.（1）令时，，①令时，.∴（2）令时，.②①-②得.18.已知函数.（1）求的最小正周期;（2）若，求出的单调递减区间.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用二倍角和辅助角公式化简函数为的形式,再利用周期公式求函数的最小正周期,(2)根据,令，则可求出的范围,从而得出的单调递减区间.【小问1详解】.的最小正周期为.【小问2详解】令，则，又函数在上单调递减，即时，的单调递减，当时，的单调减区间为.19.袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不放回的摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求:（1）的值;（2）随机变量的概率分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，ξ的数学期望为2.5【解析】【分析】(1)先求从袋中不放回的摸球两次的所有取法，再求出事件所包含的取法数，利用古典概型概率公式求，(2)由条件确定随机变量的所有取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求其期望.【小问1详解】由已知可得从袋中不放回的摸球两次的所有取法有种，事件表示第一次取红球第二次取黄球或第一次取黄球第二次取红球，故事件包含种取法，所以【小问2详解】随机变量可取的值为得随机变量的概率分布列为:234P随机变量的数学期望为：20.已知函数为偶函数.（1）求实数的值;（2）解关于的不等式;（3）设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；（3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.【小问1详解】函数的定义或为，函数为偶函数.，即，，；【小问2详解】，当时，，单调递增，在上单调递增，又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；，，解得或，所以所求不等式的解集为；【小问3详解】函数与图象有个公共点，，即，，设，则，即，又在上单调递增，所以方程有两个不等的正根；，解得，即的取值范围为.21.为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；（ii）以（i）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.试验后统计数据显示，当时，取最大值，求参加人体接种试验的人数及.参考公式：(其中为样本容量)参考数据：0.500.400.250.150.1000.0500.0250.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024【答案】（1）列联表答案见解析，认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；（2）（i）；（ii）当接种人数为n=99时，；当n=100时，.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图算出每个区间段的小白鼠数量，然后根据指标值完成列联表，并根据参考公式进行运算，然后进行数据比对，最终得到答案；（2）（i）根据古典概型公式，结合对立事件概率求法即可得到答案；（ii）根据最大，结合二项定理概率求法列出不等式组解出X，最后求出期望.【详解】（1）由频率分布直方图，知200只小白鼠按指标值分布为：在内有（只）；在内有（只）；在内有（只）；在内有（只）；在内有（只）.由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只抗体指标值合计小于60不小于60有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中数据，得.根据的独立性检验，推断不成立，即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.（2）（i）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射