高中数学人教B版必修二学案第一单元114投影与直观图

1．投影与直观图学习目标1.了解中心投影、平行投影的概念，会画几何体的投影.2.理解直观图的斜二测画法规那么，会画常见几何体的直观图．学问点一平行投影思索太阳光线可以把一个矩形的窗框投射到地板上，影子是平行四边形，在影子中，框边的长度以及框边之间的夹角有所转变，你能观看出没有发生变化的是什么吗？梳理平行投影的定义及性质(1)定义：图形F，直线l与平面α相交．过F上任意一点M作直线MM′________于l，交平面α于点M′，那么点M′叫做点M在平面α内关于直线l的________________(或象)．假如图形F上的全部点在平面α内关于直线l的平行投影构成图形F′，那么F′叫做图形F在α内关于直线l的________________．(2)平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：①直线或线段的平行投影仍是________或________．②平行直线的平行投影是________或________的直线．③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段________且________．④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形________．⑤在同始终线或平行直线上，两条线段平行投影的比________这两条线段的比．学问点二直观图与斜二测画法思索1边长为2cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？思索2正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如下图，在此图形中各个面都画成正方形了吗？梳理直观图与斜二测画法(1)直观图用来表示空间图形的________________．(2)斜二测画法的规那么①在模型所在的空间中取水平平面，作相互垂直的Ox，Oy轴，再作Oz轴，使∠xOz＝________，且∠yOz＝________.②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝________，∠x′O′z′＝________，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．③图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于________、________或________的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与图形中相应线段和原坐标轴的位置关系________．④图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中____________，平行于y轴的线段，长度为________．⑤画图完成后，擦去作为帮助线的____________，就得到了空间图形的直观图．学问点三中心投影思索不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同？灯泡照耀物体形成的投影是平行投影吗？梳理中心投影的概念一个________把一个图形照耀到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．类型一平行投影与中心投影例1(1)①平行投影的投影线相互平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确说法的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)如下图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是A′A，C′C的中点，那么以下推断正确的选项是________．(填序号)①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．反思与感悟常见图形的平行投影图形图形的平行投影点是一个点线段是线段或一个点线段的中点仍是这条线段投影的中点直线是直线或一个点平行直线是平行直线、一条直线或是两个点跟踪训练1(1)△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，那么经过中心投影后所得的△A′B′C′与△ABC的关系是()A．全等 B．相像C．不相像 D．以上都不对(2)以下命题中，不正确的选项是()①正方形的平行投影肯定是菱形；②平行四边形的平行投影可能是矩形；③锐角三角形的平行投影肯定不是直角或钝角三角形．A．①② B．①③C．②③ D．①②③类型二直观图的画法例2画出如图水平放置的直角梯形的直观图．引申探究假设将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？反思与感悟(1)此题利用直角梯形相互垂直的两边建系，使画直观图特别简便．(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．跟踪训练2(1)用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图．(2)画一个正四棱锥的直观图(尺寸自定)．类型三直观图的复原与计算eq\x(命题角度1由直观图复原平面图形)例3如下图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其复原成平面图形．反思与感悟由直观图复原平面图形的关键(1)平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．跟踪训练3如下图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，那么原图形是________．eq\x(命题角度2原图形与直观图的面积的计算)例4如下图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．假设A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq\f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的外形，并求出原图形的面积．反思与感悟(1)由原图形求直观图的面积，关键是把握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．(2)假设一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，那么S′＝eq\f(\r(2),4)S.跟踪训练4如下图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，假设O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2eq\r(2)1．当图形中的直线或线段不平行于投射线时，关于平行投影的性质，以下说法中不正确的选项是()A．直线或线段的平行投影仍是直线或线段B．平行直线的平行投影仍是平行的直线C．与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等D．在同始终线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比2．一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，那么此正方形的面积为()A．16 B．64C．16或64 D．无法确定3．利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的选项是图中的()4.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，A′C′＝6，B′C′＝4，那么AB边的实际长度是________．5．画出水平放置的四边形OBCD(如下图)的直观图．1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采纳直角坐标系．建立恰当的坐标系是快速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜〞、“二测〞两点：(1)一斜：平面图形中相互垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半〞．3．中心投影的投射线相交于一点，中心投影后，图形与原图形相比虽然相差较大，但直观性强，看起来与人的视觉效果全都．假设一个平面图形所在的平面与投射面平行，那么中心投影后得到的图形与原图形相像．

答案精析问题导学学问点一思索框边的平行性没有转变，平行直线段或同一条直线上的两条线段的比也没有转变．梳理(1)平行平行投影平行投影(2)①直线线段②平行重合③平行等长④全等⑤等于学问点二思索1A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，A′D′＝eq\f(1,2)AD.思索2没有都画成正方形．梳理(1)平面图形(2)①90°90°②45°(或135°)90°③x′轴y′轴z′轴相同④保持长度不变原来的eq\f(1,2)⑤坐标轴学问点三思索灯泡发出的光线是由一点向外分散放射的；手电筒发出的光是一束平行光线．不是．梳理点光源题型探究例1D[由平行投影和中心投影的定义知，平行投影的投影线相互平行，中心投影的投影线相交于一点，故①正确；空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最终相交于一点，故②正确；几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式，故③正确．应选D.](2)①③解析①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是B，C，D，A，所以投影是正方形，即①正确；②设正方体的棱长为2，那么AE＝1，取D′D的中点G，连接AG，那么四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，知四边形AGD′E是平行四边形，但AE＝1，D′E＝eq\r(5)，所以四边形AGD′E不是菱形，即②不正确；对于③，由②可知两个投影四边形是对边分别相等的平行四边形，从而③正确．跟踪训练1(1)B[依据题意画出图形如图．由图易得eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(OB,OB′)＝eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(OC,OC′)＝eq\f(AC,A′C′)，那么△ABC∽△A′B′C′.](2)B[正方形的平行投影可以是矩形或平行四边形或菱形，故①错；平行四边形的平行投影可以是矩形、菱形、正方形，故②正确；锐角三角形的平行投影可以是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形或线段，故③错．应选B.]例2解(1)在的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(1)(2)所示．(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝eq\f(1,2)OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图(2)．(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)．引申探究解画法：(1)如下图，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，以E′为中点画出C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．跟踪训练2(1)解①如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．②画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′轴上截取O′A′＝eq\f(1,2)OA，连接A′B′，A′C′，那么三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．(2)解①画轴．如图(1)，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°.②画底面．以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.③画顶点．在Oz轴上截取OS，使OS等于正四棱锥的高．④画棱．连接SA，SB，SC，SD，擦去帮助线(坐标轴)，得到正四棱锥S－ABCD的直观图，如图(2)所示．例3解①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；③连接AB，BC，得△ABC.那么△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如下图．跟踪训练3菱形解析如下图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(4\r(2)2＋22)＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．例4解如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC，即得到了原图形．由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2，所以面积为S＝eq\f(2＋3,2)×2＝5.跟踪训练4C[直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为eq\f(1,2)，又直观图与原平面图形面积比为eq\r(2)∶4，所以原