高三数学第一轮复习(新人教A)13.3导数的综合问题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精13。3导数的综合问题●知识梳理1.若函数f(x)有导数，它的极值可在方程（x）=0的根处来考查,求函数y=f（x）的极值方法如下：（1）求导数（x）；(2）求方程(x）=0的根；（3）2。设y=f（x）是一多项式函数，比较函数在闭区间［a，b］内所有的极值,以及f（a）和f（b），最大者为最大值,最小者为最小值。●点击双基1.函数f(x)=x3－3x+1在闭区间［－3，0］上的最大值、最小值分别是A.1，－1 B。1，－17C。3,－17 D.9，－19答案：C2.函数f（x）=x3－3bx+3b在（0，1）内有极小值，则A.0<b〈1 B.b〈1C。b〉0 D。b〈解析:（x）=3x2－3b,当b>0，0<<1时,适合题意。答案：A3最小值是A。－37 B.－29C。－5 D。以上都不对解析：（x）=6x（x－2)，f（x）在（－2,0）上为增函数，在（0，2)上为减函数的，x=0时,f（x）=m最大。∴m=3，f(－2）=－37，f（2)=－5.答案:A4。已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=－1处有极大值，在x=3处有极小值,则a+b=________.解析：y′=3x2+2ax+b，－1、3是3x2+2ax+b=0的两根，∴a=－3,b=－9。答案：－125.设函数f（x）=x3－－2x+5.若对任意x∈［－1，2］，都有f（x）〉m，则实数m的取值范围是________.解析：（x）=3x2－x－2=0，x=1，－，f(－1)=5，f（－）=5,f（1）=3，f(2）=7.∴m<3。答案:m∈（－∞，）●典例剖析【例1】已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值。（1）讨论f(1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（2)过点A（0，16）作曲线y=f(x）的切线，求此切线方程.剖析：（1）分析x=±1处的极值情况，关键是分析x=±1左右(x）的符号.（2）要分清点A(0，16）是否在曲线上.解:（1)(x)=3ax2+2bx－3，依题意，(1）=（－1）=0，即解得a=1,b=0。∴f（x）=x3－3x，（x）=3x2－3=3(x+1)（x－1）。令（x)=0，得x=－1，x=1。若x∈（－∞，－1)∪（1，+∞），则（x）＞0，故f（x）在（－∞，－1）上是增函数,f(x)在(1，+∞）上是增函数。若x∈(－1,1），则（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数。所以f(－1）=2是极大值,f（1）=－2是极小值.（2）曲线y=x3－3x，点A（0，16）不在曲线上,设切点M（x0，y0），则y0=x03－3x。∵（x0）=3x02－3，∴切线方程为y－y0=3(x02－1）（x－x0).代入A(0，16）得16－x03+3x0=3（x02－1）（0－x0）.解得x0=－2,∴M（－2，－2），切线方程为9x－y+16=0。评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.【例2】已知函数f（x）=ax3+cx+d(a≠0）是R上的奇函数,当x=1时，f（x）取得极值－2.（1)求f（x)的单调区间和极大值;(2）证明：对任意x1、x2∈（－1，1），不等式｜f（x1)－f（x2）｜＜4恒成立。剖析：∵x∈R且f（x）是奇函数，∴f(0)=0。又x=1是极值点,∴（1)=0，由此可得函数的解析式.(1）解：由奇函数定义,应有f（－x）=－f（x）,x∈R，－ax3－cx+d=－ax3－cx－d,∴d=0.因此f（x)=ax3+cx，（x）=3ax2+c。由题意知解得a=1，c=－3.∴f（x)=x3－3x，（x）=3x3－3=3（x－1）（x+1），（－1)=（1）=0.当x∈（－∞,－1）时，（x)＞0，故f（x）在单调区间(－∞，－1）上是增函数,当x∈(－1，1）时，（x）＜0，故f（x）在单调区间（－1，1）上是减函数，当x∈（1，+∞）时，（x）＞0,故f(x）在单调区间（1,+∞)上是增函数.∴（－∞，－1)和(1,+∞)为增区间;（－1,1）为减区间，x=－1时，f（－1）=2为极大值，x=－1时，f（1)=－2为极小值.（2）f（－1）=2，f（1）=－2.∵f（x）在（－1，1）上是减函数，∴对任意x1、x2∈（－1,1）,有－2<f（x1)<2,－2<f（x2）<2,－4<f(x1)－f(x2)〈4，即｜f（x1）－f(x2）|〈4.评述：由奇函数定义可知当x=0时，则有f（0）=0，即函数过原点.对于本题的第(2）问,用数形结合法较为直观.【例3】设函数f（x）=x3+mx2+nx+p在(－∞,0］上是增函数，在［0，2］上是减函数，x=2是方程f(x）=0的一个根。（1）求n的值；（2)求证：f（1）≥2。剖析:由题知x=0是极值点,那么另一个极值点在哪儿呢?是x=2吗?不一定.会在x=2的哪一侧呢?解：（1）（x）=3x2+2mx+n.∵f（x）在(－∞，0］上是增函数,在［0，2］上是减函数，∴当x=0时,f（x)取到极大值.∴（0）=0.∴n=0.(2）∵f（2）=0，∴p=－4（m+2），（x）=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0，x2=－,∵函数f(x)在［0，2］上是减函数，∴x2=－≥2。∴m≤－3.∴f（1)=m+p+1=m－4（m+2)+1=－7－3m≥评述:此题学生往往错误地认为x=2是另一个极值点。再证f（1）≥2时，首先将f(1）化成关于m的式子，知道m的范围，便可证之.【例4】对于函数y=f(x)（x∈D）若同时满足下列两个条件，则称f（x)为D上的闭函数。①f（x）在D上为单调函数；②存在闭区间[a，b］D，使f（x）在［a,b］上的值域也是［a，b］.（1）求闭函数y=－x3符合上述条件的区间[a，b］；（2）若f（x）=x3－3x2－9x+4，判断f（x)是否为闭函数.剖析：这是个知识迁移题，这类问题一般是考查学生的类比猜想能力、探索问题的能力。解：(1）∵y=－x3,∴y′=－3x2≤0.∴函数y=－x3为减函数.故即∴所求闭区间为［－1，1］.（2)（x）=3x2－6x－9.由（x)≥0，得x≥3或x≤－1.由（x）≤0,得－1≤x≤3。∴f（x）在定义域内不是单调函数。故f（x）不是闭函数。评述：这类问题是近年高考命题的一个亮点，很能考查学生的分析问题、探索问题的潜在的能力.●闯关训练夯实基础1.函数y=x4－8x2+2在［－1,3］上的最大值为A.11 B。2C.12 D.10解析:y′=4x3－16x=4x（x2－4）。由y′=0及x∈[－1,3］知x=0或x=2.根据单调性知f(x）max=f(3)=11.答案：A2。函数f（x)=x3+ax2+bx+c，其中a、b、c为实数，当a2－3b〈0时，f(x)是A。增函数 B.减函数C.常数 D.既不是增函数也不是减函数解析：（x）=3x2+2ax+b，Δ=4a2－12b〈0，∴(x）〉0,f（x）是增函数.答案：A3.y=3x－x3的极大值是________，极小值是________.解析：f（x)在（－∞，－1)和(1,+∞）上递减,在（－1，1）上递增，f(－1）=－2为极小值,f（1)=2为极大值。答案：2－24.如果函数y=f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断:①函数y=f（x）在区间（－3，－）内单调递增；②函数y=f（x）在区间（－，3）内单调递减；③函数y=f（x)在区间（4,5）内单调递增；④当x=2时，函数y=f（x）有极小值；⑤当x=－时，函数y=f(x）有极大值.则上述判断中正确的是________.答案：③5。如图所示，曲线段OMB是函数f(x）=x2（0〈x<6)的图象，BA⊥x轴于A，曲线段OMB上一点M（t，f（t)）处的切线PQ交x轴于P，交线段AB于Q,（1）试用t表示切线PQ的方程；（2）试用t表示△QAP的面积g（t）,若函数g（t）在［m，n］上单调递减，试求出m的最小值。解：(1)（x)=2x，∴k=2t，切线PQ的方程为y－t2=2t(x－t），即2tx－y－t2=0。（2)由（1）可求得P（，0)，Q(6,12t－t2），∴g(t）=S△QAP=（6－t）（12t－t2）=t3－6t2+36t（0〈t〈6），g′（t）=t2－12t+36.令g′（t）<0，得4〈t〈12。考虑到0〈t〈6，∴4〈t<6，即g（t)的单调减区间为（4，6）.∴m的最小值为4.6。直线y=a与函数f（x）=x3－3x的图象有三个互不相同的公共点，求a的取值范围.解：先求函数f（x）的单调区间，由（x）=3x2－3=0，得x=±1。当x〈－1或x>1时,（x）>0；当－1〈x<1时，（x)〈0.∴在（－∞,－1）和（1，+∞）上，f(x）=x3－3x是增函数；在(－1，1）上，f（x）=x3－3x是减函数，由此可以作出f（x)=x3－3x的草图(如图）。由图可知，当且仅当－2<a<2时，直线y=a与函数f（x）=x3－3x的图象有三个互不相同的公共点.培养能力7。已知函数f（x）=4x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=－12x.（1)求函数f(x)的解析式;（2）求函数f（x）在［－3，1]上的最值.解：（1)（x）=12x2+2ax+b，（1）=12+2a+b=－12. ①又x=1,y=－12在f（x）的图象上，∴4+a+b+5=－12。 ②由①②得a=－3，b=－18,∴f(x）=4x3－3x2－18x+5.(2)，f(1）=－13.∴f（x）的最大值为16，最小值为－76.8。已知实数a〉0,函数f（x）=ax（x－2)2(x∈R)有极大值32。（1）求实数a的值；（2)求函数f（x）的单调区间。解：（1)∵f（x）=ax（x－2）2=ax3－4ax2+4ax，∴（x）=3ax2－8ax+4a。由（x）=0，得3ax2－8ax+4a=0.∵a≠0，∴3x2－8x+4=0。解得x=2或x=.∵a>0，∴x〈或x〉2时，（x）〉0；<x〈2时，(x）<0.∴当x=时，f（x）有极大值32，即a－a+a=32,∴a=27。（2）f（x）在（－∞，）和（2，+∞）上是增函数,在（，2)上是减函数。9.已知f（x）=ax5－bx3+c(a〉0）在x=±1处有极值，且极大值为4,极小值为0，试确定a、b、c的值。解：已知f（x）=ax5－bx3+c，所以（x）=5ax4－3bx2=x2（5ax2－3b).根据题意（x）=0应有根x=±1，故5a=3b所以（x)=5ax2（x2－1）.因a>0时，列表：x（－∞,－1)－1（－1，1）1（1，+∞）（x）+0－0+f（x）极大值极小值①②由上表可见①②①+②得c=2，①－②得b=a+2。又5a=3b，所以a=3,b=5,c探究创新10。有点难度哟!用总长14.8m的钢条作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.解:设容器底面短边长为xm,则另一边长为（x+0.5）m，高为=3.2－2x（m).由3。2－2x〉0和x〉0得0〈x<1。6.设容器的容积为ym3，则有y=x（x+0.5）（3。2－2x）（0〈x〈1。6）,整理，得y=－2x3+2。2x2+1.6x.∴y′=－6x2+4。4x+1.6.令y′=0，有－6x2+4。4x+1。6=0,即15x2－11x－4=0.解得x1=1或x2=－(不合题意，舍去).从而在定义域（0，1。6）内只有在x=1处使得y′=0。因此，当x=1时，y取得最大值且ymax=－2+2。2+1.6=1。8,这时，高为3.2－2×1=1。2.●思悟小结1.2.函数f（x）在极值点不一定可导，如函数y=|x|在x=0处.3。注意极值与最值的关系，理解若只有一个极值则必为最值。4。体会数形结合、函数、方程思想在本章的运用。●教师下载中心教学点睛1.导数的基本应用如下表:2。应用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在区间内只有一个点使（x）=0，此时函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值.拓展题例【例1】函数y=2x3+3x2－12x+14在［－3，4］上的最大值为________，最小值为________.解析:y′=6x2+6x－12=0.x=1，－