第二讲线性规划与灵敏度分析

第二讲线性规划与灵敏度分析第一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一本章节内容2.1线性规划灵敏度分析2.2单个目标函数系数变动2.3多个目标函数系数同时变动2.4单个约束右端值变动2.5多个约束右端值同时变动2.6约束条件系数变化2.7增加一个新变量2.8增加一个约束条件2.9影子价格（ShadowPrice）第二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一本章主要内容框架图第三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.1线性规划灵敏度分析在第1章的讨论中，假定以下的线性规划模型中的各个系数cj、bi、aij是确定的常数，并根据这些数据，求得最优解。第四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.1线性规划灵敏度分析其实，系数cj、bi、aij都有可能变化，因此，需要进行进一步的分析，以决定是否需要调整决策。灵敏度分析研究的另一类问题是探讨在原线性规划模型的基础上增加一个变量或者一个约束条件对最优解的影响。第五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.1线性规划灵敏度分析对例1.1进行灵敏度分析最优解为（2，6），Maxz＝3600第六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.1线性规划灵敏度分析问题1：如果门的单位利润由原来的300元提升到500元，最优解是否会改变？对总利润又会产生怎样的影响?问题2：如果门和窗的单位利润都发生变化，最优解会不会发生改变？对总利润又会产生怎样的影响?问题3：如果车间2的可用工时增加1个小时，总利润是否会发生变化？如何改变?最优解是否会发生变化?问题4：如果同时改变多个车间的可用工时，总利润是否会发生变化？如何改变?最优解是否会发生变化?问题5：如果车间2更新生产工艺，生产一扇窗户由原来的2小时下降到1.5小时,最优解是否会发生改变？总利润是否会发生变化？问题6：工厂考虑增加一种新产品，总利润是否会发生变化？问题7：如果工厂新增加用电限制，是否会改变原来的最优方案？第七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.2单个目标函数系数变动下面讨论在假定只有一个系数cj改变，其他系数均保持不变的情况下，目标函数系数变动对最优解的影响。如果当初对门的单位利润估计不准确，如把它改成500元，是否会影响求得的最优解呢？方法1：使用电子表格进行分析（重新运行“规划求解”工具）方法2：运用“敏感性报告”寻找允许变化范围第八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.2单个目标函数系数变动方法1：使用电子表格进行分析（重新运行“规划求解”工具）可以借助电子表格互动地展开灵敏度分析。当模型参数发生改变时，只要改变电子表格模型中相应的参数，再通过重新运行Excel“规划求解”工具，就可以看出改变参数对最优解的影响。需要一个一个地进行尝试，效率略显低下第九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.2单个目标函数系数变动方法2：运用“敏感性报告”寻找允许变化范围生成“敏感性报告”读懂相应的信息第十页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.2单个目标函数系数变动结果：最优解没有发生改变，仍然是（2，6）由于门的单位利润增加了200元，因此总利润增加了（500－300）×2＝400元。第十一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.2单个目标函数系数变动图解法（直观）可以看到，

最优解（2，6）保持不变

第十二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.3多个目标函数系数同时变动假如，以前把门的单位利润（300元）估计低了，现在把门的单位利润定为450元；同时，以前把窗的单位利润（500元）估计高了，现在定为400元。这样的变动，是否会导致最优解发生变化呢？方法1：使用电子表格进行分析（重新运行“规划求解”工具）方法2：运用“敏感性报告”进行分析（百分之百法则）第十三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.3多个目标函数系数同时变动方法1：使用电子表格进行分析（重新运行“规划求解”工具）可以看到，最优解并没有发生变化，总利润由于门和窗的单位利润的改变相应地改变了(450－300)×2＋(400－500)×6＝－300第十四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.3多个目标函数系数同时变动方法2：运用“敏感性报告”进行分析百分之百法则:如果目标函数系数同时变动，计算出每一系数变动量占该系数允许变动量（允许的增量或允许的减量）的百分比，而后，将各个系数的变动百分比相加，如果所得的和不超过100%，则最优解不会改变；如果超过100%，则不能确定最优解是否改变，只能通过重新运行“规划求解”工具来判断了第十五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.3多个目标函数系数同时变动但是变动百分比之和超过100%并不一定表示最优解会改变。例如，门和窗的单位利润都减半变动百分比超过了100%，但从右图看最优解还是（2，6），没有发生改变。这是由于这两个单位利润同比例变动，等利润直线的斜率不变，因此最优解就不变。第十六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.4单个约束右端值变动单个约束右端值变动对目标值的影响如果车间2的可用工时增加1个小时，总利润是否会发生变化？如何改变?最优解是否会发生变化?方法1：使用电子表格进行分析（重新运行“规划求解”工具）方法2：从“敏感性报告”中获得关键信息（影子价格，ShadowPrice）第十七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.4单个约束右端值变动方法1：使用电子表格进行分析（重新运行“规划求解”工具）总利润为3750元，增加了：3750-3600=150元。由于总利润增加了，而目标函数系数不变，所以最优解一定会发生改变，从图中可以看出，最优解由原来的（2，6）变为（1.667，6.5）

第十八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.4单个约束右端值变动方法2：从“敏感性报告”中获得关键信息在给定线性规划模型的最优解和相应的目标函数值的条件下，影子价格（ShadowPrice）是指约束右端值增加（或减少）一个单位，目标值增加（或减少）的数量第二个约束条件（车间2的工时约束）的影子价格是150，说明在允许的范围[6，18]（即[12-6，12+6]）内，再增加（或减少）一个单位的可用工时，总利润将增加（或减少）150

第十九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.4单个约束右端值变动图解法（直观）可以看到，

在这个范围内，每次车间的约束右端值增加（或减少）1，交点的移动就使利润增长（或减少）影子价格的数量（150元）第二十页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.5多个约束右端值同时变动多个约束右端值同时变动对目标值的影响将1个小时的工时从车间3移到车间2，对总利润所产生的影响方法1：使用电子表格进行分析（重新运行“规划求解”工具）方法2：运用“敏感性报告”进行分析（百分之百法则）第二十一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.5多个约束右端值同时变动方法1：使用电子表格进行分析（重新运行“规划求解”工具）总利润增加了3650-3600=50（元），影子价格有效。第二十二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.5多个约束右端值同时变动方法2：运用“敏感性报告”进行分析百分之百法则：如果约束右端值同时变动，计算每一变动占允许变动量（允许的增量或允许的减量）的百分比，如果所有的百分比之和不超过100%，那么，影子价格依然有效，如果所有的百分比之和超过100％，那就无法确定影子价格是否依然有效，只能通过重新运行“规划求解”工具来判断了第二十三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.5多个约束右端值同时变动在影子价格有效范围内，总利润的变化量可以直接通过影子价格来计算。比如将车间3的3个工时转移给车间2，由于所以，总利润的变化量为第二十四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.6约束条件系数变化如果车间2更新生产工艺，生产一扇窗户由原来的2小时下降到1.5小时,最优解是否会发生改变？总利润是否会发生变化？使用电子表格进行分析(重新运行“规划求解”工具)重新运行“规划求解”工具后，最优解发生了改变，变成了（2/3，8），总利润也由3600元增加到了4200元。可见，车间2更新生产工艺后，为工厂增加了利润。第二十五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.7增加一个新变量例2.1如果工厂考虑增加一种新产品：防盗门，其单位利润为400元。生产一个防盗门会占用车间1、车间2、车间3各2、1、1工时,总利润是否会发生变化？使用电子表格进行分析(重新运行“规划求解”工具)最优解(2,5.5,1）,最大利润是3750元。可见新产品为工厂增加了利润第二十六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.8增加一个约束条件比如工厂关心电力供应限制(例2.2假定生产两种新产品每件需要消耗电力分别为20kw、10kw，工厂总供电最多为90kw),最优解是否会发生变化?使用电子表格进行分析(重新运行“规划求解”工具)可见电力约束的确限制了新产品门和窗的产量，最优解变成(1.5,6),总利润也相应的下降为3450元。第二十七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.9影子价格（1）影子价格是根据资源在生产中作出的贡献而做的估价。它是一种边际价格，其值相当于在资源得到最优利用的生产条件下，资源（约束右端值）每增加一个单位时目标函数值的增加量；（2）影子价格的经济意义和应用第二十八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.9影子价格资源的影子价格实际上是一种机会成本。在纯市场经济条件下，当资源的市场价格低于影子价格时，可以买进这种资源，反之，可以卖出。随着资源的买进和卖出，它的影子价格也将随之发生改变，一直到影子价格与市场价格保持同等水平，才处于平衡状态。当资源的影子价格为0时，表明该种资源未得到充分利用。当资源的影子价格不为0时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。可以利用影子价格计算产品的隐含成本（单位资源消耗量×相应的影子价格后求和）。当产品产值大于隐含成本时，表明生产该产品有利，可计划安排生产；否则用这些资源生产别的产品更为有利。第二十九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.9影子价格一般来说，对线性规划问题的求解就是确定资源的最优分配方案，所以对资源的估计直接涉及到资源的最有效利用。如在大公司内部，可借助资源的影子价格确定一些内部结算价格，以便控制有限资源的使用和考核企业经营的好坏。又如在社会上可对一些最紧缺的资源，借助影子价格规定使用这种资源一个单位必须上交的利润额，以使一些经济效益低的企业自觉地节约使用紧缺资源，使有限资源发挥更大的经济效益。第三十页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.9影子价格例2.3某文教用品厂利用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。该厂现有工人100人，每天白坯纸的供应量为30000千克。如果单独生产各种产品时，每个工人每天可生产原稿纸30捆、或日记本30打，或练习本30箱。已知原材料消耗为：每捆原稿纸用白坯纸10/3千克、每打日记本用白坯纸40/3千克，每箱练习本用白坯纸80/3千克。已知生产各种产品的盈利为：每捆原稿纸1元、每打日记本2元，每箱练习本3元。试讨论在现有生产条件下使该厂盈利最大的方案。如白坯纸供应量不变，而工人数量不足时，可从市场上招收临时工，临时工费用为每人每天15元，问该厂是否招临时工及招收多少人为宜。第三十一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.9影子价格设该厂每天生产原稿纸x1捆、日记本x2打、练习本x3箱第三十二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.9影子价格Excel求解结果为：生产原稿纸1000捆，日记本2000打，练习本不生产，此时的总利润最大，为5000元第三十三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.9影子价格生成“敏感性报告”工人约束的影子价格为20元，与临时工每人每天费用15元相比，影子价格要大，所以每招一名临时工，能为工厂多盈利20-15=5（元），招收的人数在允许的增量200人范围内当工人数量不足时，可从市场上招收临时工，最多招收200人为宜第三十四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.9影子价格（补充）补充某外贸公司准备购进两种产品A1和A2。购进产品A1每件需要10元，占用5m3的空间，待每件A1卖出后，可获纯利润3元；购进产品A2每件需要15元，占用3m3的空间，待每件A2卖出后，可获纯利润4元。公司现有资金1400元，有430m3的仓库空间存放产品。试讨论在现有条件下使该公司盈利最大的方案。现在公司有另外一笔资金585元，准备用于投资。这笔资金可以用来购买产品A1、A2，也可以用来增加仓库的容量（假设增加1m3的仓库空间需要0.8元）。问应如何进行投资使公司获得更多的利润。第三十五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.9影子价格（补充）－续设公司购进A1产品x1件、A2产品x2件第三十六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.9影子价格（补充）－续Excel求解结果为：最优方案是购进A1产品50件、A2产品60件，此时的总利润最大，为390元。第三十七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一2.9影子价格（补充）－续生成“敏感性报告”资金约束的影子价格约为0.24元，而空间约束的影子价格约为0.11元（每1元资金投资空间的收益约为0.14元，0.11/0.8）。由于资金约束的影子价格大，所以这笔资金可以直接用来购买产品，585元在允许的增量750元范围内，可以增加利润为：585×0.244=143元。购买方案为（11，125）第三十八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一上机实验二线性规划灵敏度分析（一）实验目的：掌握使用Excel软件进行灵敏度分析的操作方法。（二）内容和要求：用Excel软件完成习题2.4、案例2（三）操作步骤：（1）建立电子表格模型；（2）使用Excel规划求解工具求解问题并生成“敏感性报告”；（3）结果分析：哪些问题可以直接利用“敏感性报告”中的信息求解，哪些问题需要重新运行“规划求解”工具，并对结果提出你的看法；（4）在Excel或Word文档中写实验报告，包括线性规划模型、电子表格模型、敏感性报告内容和结果分析等。第三十九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一案例2经理会议建议的分析案例2

某公司生产三种产品A1、A2、A3，它们在B1、B2两种设备上加工，并耗用C1、C2两种原材料，已知生产单位产品耗用的工时和原材料以及设备和原材料的最多可使用量如表C-7所示。表C-7生产三种产品的有关数据资源产品A1产品A2产品A3每天最多可使用量设备B1（min）121430设备B2（min）302460原料C1（kg）140420原料C2（kg）111300每件利润（元）302050第四十页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一第3章线性规划的建模与应用LinearProgrammingFormulationandApplications第四十一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一本章内容要点线性规划问题的四种主要类型线性规划的建模与应用第四十二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一本章节内容3.1资源分配问题3.2成本收益平衡问题3.3网络配送问题3.4混合问题3.5线性规划模型的应用第四十三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一本章主要内容框架图第四十四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.1资源分配问题资源分配问题是将有限的资源分配到各种活动（决策）中去的线性规划问题。这一类问题的共性是在线性规划模型中每一个函数约束均为资源约束,并且每一种资源都可以表现为如下的形式：使用的资源数量可用的资源数量对任何资源分配问题，有三种数据必须收集：（1）每种资源的可供量；（2）每一种活动所需要的各种资源的数量,对于每一种资源与活动的组合,单位活动所消耗的资源量必须首先估计出来；（3）每一种活动对总的绩效测度（如总利润）的单位贡献（如单位利润）。第四十五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.1资源分配问题例3.1

某公司是商务房地产开发项目的主要投资商。目前，该公司有机会在三个建设项目中投资： 项目1：建造高层办公楼； 项目2：建造宾馆； 项目3：建造购物中心。每个项目都要求投资者在四个不同的时期投资：在当前预付定金，以及一年、二年、三年后分别追加投资。表3-1显示了四个时期每个项目所需资金（百万元）。投资者可以按一定的比例进行投资和获得相应比例的收益。年份办公楼项目宾馆项目购物中心项目0（现在）408090160805029080203107060净现值457050公司目前有2500万元资金可供投资，预计一年后，又可获得2000万元，两年后获得另外的2000万元，三年后还有1500万元以供投资。那么，该公司要在每个项目中投资多少比例，才能使其投资组合获得最大的总净现值？第四十六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.1资源分配问题解：这是一个资源分配问题。(1)决策变量设：x1，x2，x3分别为在办公楼项目、宾馆项目、购物中心项目中的投资比例(2)目标函数本问题的目标是总净现值最大第四十七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.1资源分配问题(3)约束条件本题的约束条件是公司在各期可获得的资金限制（资源约束）。但要注意的是：前一期尚未使用的资金，可以在下一期使用（为了简化问题，不考虑资金可获得的利息）。因此，每一时点的资金限制就表现为累计的资金。表3-2显示了累计的资金数据。年份办公楼项目宾馆项目购物中心项目可用资金0（现在）40809025110016014045219024016065320031022080净现值457050第四十八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.1资源分配问题数学模型（线性规划模型）第四十九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.1资源分配问题电子表格模型第五十页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一补充：例3.1的解法2例3.1还可用另外一种解法，引入剩余变量si。数学模型为：第五十一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一补充：例3.1的解法2例3.1还可用另外一种解法，引入剩余变量si。电子表格模型为：注意：在“规划求解”中，决策变量不连续时，用;隔开第五十二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.2成本收益平衡问题成本收益平衡问题与资源分配问题的形式完全不同，这种差异主要是因为两种问题的管理目标不同而造成的。在资源分配问题中，各种资源是受限制的因素（包括财务资源），问题的目标是最有效地利用各种资源，使获利最大。而对于成本收益平衡问题，管理层采取更为主动的姿态，他们指明哪些收益必须实现（不管如何使用资源），并且要以最低的成本实现所指明的收益。这样，通过指明每种收益的最低可接受水平，以及实现这些收益的最小成本，管理层期望获得成本和收益之间的适度平衡。因此，成本收益平衡问题是一类线性规划问题，这类问题中，通过选择各种活动水平的组合，从而以最小的成本来实现最低可接受的各种收益水平。第五十三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.2成本收益平衡问题成本收益平衡问题的共性是，所有的函数约束均为收益约束，并具有如下的形式：

完成的水平最低可接受的水平如果将收益的含义扩大，所有以“”表示的函数约束均为收益约束。在多数情况下，最低可接受的水平是作为一项政策由管理层制定的，但有时这一数据也可能是由其他条件决定。成本收益平衡问题需要的三种数据：（1）每种收益的最低可接受水平（管理决策）；（2）每一种活动对每一种收益的贡献（单位活动的贡献）；（3）每种活动的单位成本。第五十四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.2成本收益平衡问题排班问题是成本收益平衡问题研究的最重要的应用领域之一。在这一领域中，管理层意识到在向顾客提供令人满意的服务水平的同时必须进行成本控制，因此，必须寻找成本和收益之间的平衡。于是，研究如何规划每个轮班人员才能以最小的成本提供令人满意的服务。例3.2

某航空公司正准备增加其中心机场的往来航班，因此需要雇佣更多的服务人员。不同时段有最少需要服务人员数，有5种排班方式，每8小时为一班。第五十五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.2成本收益平衡问题例3.2（续）5种排班方式排班1：6AM～2PM，即早上6点上班；排班2：8AM～4PM，即早上8点上班；排班3：中午～8PM，即中午12点上班；排班4：4PM～午夜，即下午4点上班；排班5：10PM～6M，即晚上10点上班。时段排班1排班2排班3排班4排班5最少需要人数6AM～8AM√488AM～10AM√√7910AM～中午√√65中午～2PM√√√872PM～4PM√√644PM～6PM√√736PM～8PM√√828PM～10PM√4310PM～午夜√√52午夜～6PM√15每人每天工资(元)170160175180195第五十六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.2成本收益平衡问题解:这是一个纯成本收益平衡问题。（1）决策变量本问题的决策是不同排班的人数。设：xi为排班i的人数(i＝1,2,,5)（2）目标函数本问题的目标是人员总费用（工资）最少，即（3）约束条件①每个时段的在岗人数必须不少于最低可接受水平（最少需要人数）②非负第五十七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.2成本收益平衡问题数学模型（线性规划模型）第五十八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.2成本收益平衡问题电子表格模型第五十九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.3网络配送问题通过配送网络能以最小的成本完成货物的配送，所以称之为网络配送问题。网络配送问题将在第4章和第5章中重点介绍。与确定资源和收益一样，在网络配送问题中，必须确定需求以及相应地确定需求的约束条件。确定需求约束的形式如下：提供的数量＝需求的数量第六十页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.3网络配送问题例3.3

某公司网络配送问题。某公司在两个工厂生产某种产品。现在收到三个顾客的下个月定单要购买这种产品。这些产品会被单独运送，表3-4显示了从每个工厂到每个顾客的运送一个产品的成本。该表同样表明了每个顾客的订货量和每个工厂的生产量。现在公司的物流经理要决定从每个工厂运送多少个产品到每个顾客那里才能使总成本最小？

单位运输成本（元/个）产量（个）顾客1顾客2顾客3工厂170090080012工厂280090070015订货量(个)108927(产销平衡)第六十一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.3网络配送问题解:由于“总产量（27）＝总订货量（27）”，所以本问题是一个平衡运输问题。（1）决策变量本问题的决策为从每个工厂运送多少个产品到每个顾客那里。设：xi-j为从工厂i运输到顾客j的产品数量（i＝F1,F2;j=C1,C2,C3)（2）目标函数本问题的目标是使得公司总运输成本最低.（3）约束条件①从工厂运送出去的产品数量等于其产量②顾客收到的产品数量等于其订货量③非负第六十二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.3网络配送问题数学模型（线性规划模型）第六十三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.3网络配送问题电子表格模型第六十四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.4混合问题前面讨论了线性规划问题的三种类型：资源分配问题、成本收益平衡问题以及网络配送问题。如表3-5所总结的，每一类问题都是以一类约束条件为特色的。实际上，纯资源分配问题的共性是它所有的函数约束均为资源约束（≤）而成本收益平衡问题的共性是它所有的函数约束均为收益约束（）网络配送问题中，主要的函数约束为一特定类型的确定需求约束（＝）第六十五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.4混合问题但许多线性规划问题并不能直接归入三类中的某一类，一些问题勉强可以归入一类，因其主要的函数约束与表3-5的相应函数约束大致相同。另一些问题却没有一类占主导地位的函数约束，不能归入前三类中的某一类。因此，混合问题是第四类线性规划问题，这一类型将包括所有未归入前述三类中的线性规划问题。一些混合问题仅包含两类函数约束，而更多的是包含三类函数约束。第六十六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.4混合问题表3-5各类函数约束类型形式*解释主要用于资源约束LHSRHS对于特定的资源使用的数量

可获得的数量资源分配问题混合问题收益约束LHSRHS对于特定的收益到达的水平

最低可接受水平成本收益平衡问题混合问题确定需求约束LHS=RHS对于一些数量提供的数量=需求的数量网络配送问题混合问题*LHS=左式（一个SUMPRODUCT函数）

RHS=右式（一般为常数）第六十七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.4混合问题配料问题。这类问题的一般提法是：由多种原料制成含有m种成分的产品，已知产品中所含各种成分的比例要求、各种原料的单位价格以及各原料所含成分的数量。考虑的问题是：应如何配料，可使产品的总成本最低。例3.4配料问题。某公司计划要用Ａ、Ｂ、C三种原料混合调制出三种不同规格的产品甲、乙、丙，产品的规格要求和单价、原料的供应量和单价等数据如表3-6所示。问：该公司应如何安排生产，可使总利润最大？第六十八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.4混合问题表3-6混合配料数据表ABC产品单价（元/千克）甲50%35%不限90乙40%45%不限85丙30%50%20%65原料供应量（千克）200150100原料单价（元/千克）603530第六十九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.4混合问题解：（1）决策变量

本问题的难点在于给出的数据是非确定数值，而且各产品与原料的关系较为复杂。为了方便，设xij表示原料i（i=A，B，C）用于产品j（j=1为甲，j=2为乙，j=3为丙）的数量。（2）目标函数 本问题的目标是使总利润最大总利润＝产品收入－原料支出第七十页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.4混合问题（3）约束条件本题的约束条件：原料供应量限制3个、规格要求7个和决策变量非负。在例3.4中，有9个决策变量和10个函数约束条件，包括5个资源约束、2个收益约束和3个确定需求约束。第七十一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.4混合问题电子表格模型第七十二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用前面按照函数约束的分类，介绍了四种线性规划问题：资源分配问题（,资源约束）成本收益平衡问题（，收益约束）网络配送问题（=，确定需求约束）混合问题（包含两种或三种类型的约束函数）本节按照应用方面介绍线性规划在生产计划问题、资金管理问题、市场调查问题和混合配料问题等方面的应用第七十三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤：设立决策变量；用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求最大（Max）还是最小（Min）；明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表示；根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性。第七十四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用生产计划问题是企业生产过程中常常遇到的问题，其中最简单的一种形式可以描述如下（资源分配问题）：

用若干种原材料（资源）生产某几种产品，原材料（或某种资源）供应量有一定的限制，要求制定一个产品生产计划，使其在给定的资源限制条件下能得到最大收益。第七十五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用例3.5

某工厂生产甲、乙、丙三种产品，都要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，也可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。有关情况的数据如表3-9所示。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸件由本公司铸造和由外包协作各应多少件？第七十六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用表3-9自行生产或外包的有关数据产品甲产品乙产品丙工时限制单件铸造工时（小时）51078000单件机加工工时（小时）64812000单件装配工时（小时）32210000自产铸件成本（元/件）354外协铸件成本（元/件）56－机加工成本（元/件）213装配成本（元/件）322产品售价（元/件）231816第七十七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用解：（1）决策变量此问题的难度是由于产品甲和乙的铸件既可以外包协作，也可以自行生产，从而使问题复杂化。如果只设甲、乙、丙产品的产量分别为x1、x2、x3，则由于产品甲和乙的铸件来源不同造成单位利润不同，因此目标函数中x1和x2的系数不是常数，目标函数成为非线性函数，但是如果把它们区分开来，另设两个变量（采用第7章的可分离规划技术），则可以较容易地建立问题的线性规划模型。设x1、x2、x3分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数；

x4、x5分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。第七十八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用（2）目标函数本问题的目标是使得公司获得的总利润最大。为了建立目标函数，首先计算各决策变量的单位利润：单位利润＝售价-成本（铸造、机加工、装配）（3）约束条件（3个资源约束、非负约束）①铸造工时限制②机加工工时限制③装配工时限制④非负第七十九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用数学模型（线性规划模型）第八十页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用电子表格模型第八十一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用例3.6

某工厂生产A、B两种产品，均需经过两道工序，每生产1吨A产品需要经第一道工序加工2小时，第二道工序加工3小时；每生产1吨B产品需经过第一道工序加工3小时，第二道工序加工4小时。可供利用的第一道工序工时为15小时，第二道工序工时为25小时。生产产品B的同时可产出副产品C，每生产1吨产品B，可同时得到2吨产品C而不需要外加任何费用。副产品C一部分可以盈利，但剩下的只能报废，报废需要有一定的费用。各项费用的情况为：出售产品A每吨能盈利400元；出售产品B每吨能盈利800元；每销售1吨副产品C能盈利300元；当剩余的产品C报废时，每吨损失费为200元。经市场预测，在计划期内产品C的最大销量为5吨。问：如何安排A、B两种产品的产量可使工厂总的盈利为最大？第八十二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用解：（1）决策变量本问题的难度是由于副产品C的出现而使问题复杂化了。如果只设A、B、C产品的产量分别为x1、x2、x3

，则由于产品C的单位利润不同（赢利300元或损失200元），因此目标函数中x3的系数不是常数，目标函数成为非线性函数，但是如果把产品C的销售量和报废量区分开来，设作两个变量（采用第7章的可分离规划技术），则可以容易地建立线性规划模型。设A、B产品的产量分别为x1、x2；C产品的销售量和报废量分别为x3、x4。第八十三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用（2）目标函数本问题的目标是使工厂的总盈利最大，即

（3）约束条件（3个资源约束、1个确定需求约束、非负约束） ①第一道工序 ②第二道工序 ③产品B与产品C ④产品C的最大销量 ⑤非负

第八十四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用线性规划模型（数学模型）第八十五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用电子表格模型第八十六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用例3.7

某公司根据订单进行生产。已知半年内对某产品的需求量、单位生产费用和单位存储费用,还已知公司每月的生产能力为100，每月仓库容量为50。问：如何确定产品未来半年内每月最佳生产量和存储量，以使总费用最少。月份123456需求量504050455530单位生产费用825775850850775825单位存储费用403035204040第八十七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用解：（生产与库存问题，更多请参见第9章，动态规划）(1)决策变量本问题的决策为产品未来半年内每月的最佳生产量和库存量。设每月生产量为xi(i=1,2,,6)，每月月末库存量为si(i=1,2,,6)。(2)目标函数本问题的目标是总费用最小

总费用＝生产总费用+存储总费用第八十八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用(3)约束条件①对于每个月上月库存量＋本月生产量－市场需求＝本月月末库存量

②公司每月的生产能力为100③每月仓库容量为50④非负第八十九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用数学模型（线性规划模型）第九十页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用例3.7的电子表格模型第九十一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用资金管理问题线性规划在资金管理方面的应用主要包括投资组合优化、连续投资、财务计划、资本预算等。本小节将介绍线性规划在投资组合优化与连续投资方面的应用。更多的例子请见第9章。投资组合优化问题研究如何选择投资对象，例如，如何选择不同的债券或股票，在满足某些要求的前提下，使得利润最大或风险最小。因此，其决策变量是对各种可能的投资对象的投资组合，其目标函数通常是期望回报最大化或风险最小化，而约束条件则可包括总投资额、公司政策、法律法规等。例3.8是期望回报额最大化，采用线性规划模型。当考虑投资风险（成本）与收益之间的平衡时，更多的是采用非线性规划模型，具体见第7章。第九十二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用例3.8

投资组合优化问题。某公司董事会决定将20万现金进行债券投资。经咨询，现有五种债券是较好的投资对象，它们是：黄河汽车，长江汽车，华南电器，西南电器，缜山纸业。它们的投资回报率如表3-12所示。为减少风险，董事会要求，对汽车业的投资不得超过12万，对电器业的投资不得超过8万，其中对长江汽车的投资不得超过对汽车业投资的65%，对纸业的投资不得低于对汽车业投资的20%。该公司应如何投资，才能在满足董事会要求的前提下使得总回报额最大？债券名称黄河汽车长江汽车华南电器西南电器缜山纸业回报率6.5%9.2%4.5%5.5%4.2%第九十三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用解：（1）决策变量本问题的决策变量是对五种投资对象的投资额。设：该公司对五种债券的投资额分别为x1，x2，x3，x4，x5（万元）。（2）目标函数本问题的目标是使得公司总回报额最大第九十四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用（3）约束条件总投资额为20万现金汽车业的投资不得超过12万电器业的投资不得超过8万对长江汽车的投资不得超过对汽车业投资的65%对纸业的投资不得低于对汽车业投资的20%非负第九十五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用数学模型（线性规划模型）第九十六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用例3.8的电子表格模型第九十七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用例3.9

连续投资问题。某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：项目A：从第一年到第四年每年年初都可以投资，并于次年年末收回本利115%；项目B：第三年年初可以投资，到第五年年末能收回本利125%，但规定最大投资额不超过4万元；项目C：第二年初可以投资，到第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不超过3万元；项目D：五年内每年初都可以购买公债，于当年末归还，并加利息6%。该部门现有资金10万元，问应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有的资金的本利总额最大？第九十八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用解：（1）决策变量本题是一个连续投资问题，由于需要考虑每年年初对不同项目的投资额，为了便于理解，建立双下标决策变量。设xij为第i年初给项目j的投资额（万元）根据给定条件，将决策变量列于表3-13中（P82）（2）约束条件

每年投资额＝可投资额（P82－83）最大投资额、非负第九十九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用（3）目标函数该问题要求在第五年末拥有的资金的本利总额最大目标也可以是投资的总回报额最大但不是用Excel求解即可明白第一百页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用数学模型（线性规划模型）第一百零一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用例3.9的电子表格模型第一百零二页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用例3.9的灵敏度分析

从影子价格（“阴影价格”列）可知：第一年初增加或减少投资1万元，将导致第五年末拥有资金的本利增加或减少1.40万元，目前第一年投资额为10万元；第二年初增加或减少投资1万元，将导致第五年末拥有资金的本利增加或减少1.32万元，目前第二年的投资金额来自第一年投资于项目D而收回的106％的本利3万元（从“终值”列得知）；同样可知第三年初、第四年初、第五年初增加或减少投资1万元，将导致第五年末拥有资金的本利分别增加或减少1.22万元、1.15万元、1.06万元。第一百零三页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用例3.10

某市场调查公司受某厂的委托，调查消费者对某种新产品的了解和反应情况。该厂对市场调查公司提出了以下要求：（1）共对500个家庭进行调查；（2）在被调查家庭中，至少有200个是没有孩子的家庭，同时至少有200个是有孩子的家庭；（3）至少对300个被调查家庭采用问卷式书面调查，其余家庭可采用口头调查；（4）在有孩子的被调查家庭中，至少有50％的家庭采用问卷式书面调查；（5）在没有孩子的被调查家庭中，至少有60％的家庭采用问卷式书面调查。

第一百零四页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用对不同家庭采用不同调查方式的费用如表3-16所示。问：市场调查公司应如何进行调查，使得在满足厂方要求的条件下，使得总调查费用最少？表3-16市场调查费用表家庭类型调查费用（元）问卷式书面调查口头调查有孩子的家庭5030没有孩子的家庭4025第一百零五页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用解：（1）决策变量根据题意，本问题的决策变量如下：

x1：对有孩子的家庭采用问卷式书面调查的数目，

x2：对有孩子的家庭采用口头调查的数目，

x3：对没有孩子的家庭采用问卷式书面调查的数目，

x4：对没有孩子的家庭采用口头调查的数目。（2）目标函数本问题的目标是使得总调查费用最小第一百零六页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用（3）约束条件共对500个家庭进行调查； 至少有200个是没有孩子的家庭； 至少有200个是有孩子的家庭； 至少有300个采用问卷式书面调查； 有孩子的家庭中，至少50％采用问卷式书面调查；没有孩子的家庭中，至少60％采用问卷式书面调查；非负。第一百零七页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用数学模型（线性规划模型）第一百零八页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用例3.10的电子表格模型第一百零九页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用例3.11

某公司经营一个回收中心，专门从事四种固体废弃物的回收，并将回收物处理、混合成为可销售的三种产品。根据混合时各种材料的比例（规格），可将产品分成三种不同等级:A、B和C，它们的混合成本和售价也不同，具体如表3-19所示。回收中心可以从一些渠道定期收集到所需的固体废弃物，表3-20给出了中心每周可以收集到每种材料的数量以及处理成本。该公司是一家专门从事与环保有关的公司，公司的收益将全部用于环保事业，而公司每周可获得3万元的捐款，专门用于固体废弃物的处理。公司决定在表3-19和表3-20所列的约束之内，有效地将各种材料混合到各等级的产品中去，以实现每周的总利润最大（总收入减总成本）。第一百一十页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用表3-19公司产品的有关数据产品等级规格说明混合成本（元/每公斤）售价（元/每公斤）A材料1:不超过总量的30%材料2:不少于总量的40%材料3:不超过总量的50%材料4:总量的20%38.5B材料1:不超过总量的50%材料2:不少于总量的10%材料4:总量的10%2.57C材料1:不超过总量的70%25.5第一百一十一页，共一百一十七页，编辑于2023年，星期一3.5线性规划模型的应用表3-20公司固体废弃物的有关数据材料每周可获得的数量（公斤）处理成本（元/每公斤）附加约束1300031、对于每种材料，每周必须至少收集并处理一半以上数量2