2023年高考数学一轮复习试题：第十四单元计数原理、概率、随机变量及其分布列

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§14.1计数原理1.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从M,N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横、纵坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是().A.12B.8C.6D.42.已知两条异面直线a,b上分别有5个点,8个点,则这13个点可以确定不同平面的个数为().A.40 B.16 C.13 D.103.5名应届毕业生报考3所高校,每人报且仅报1所院校,则不同的报名方法的种数是().A.35 B.53 C.A32 D4.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则首位为2的“六合数”共有().A.18个 B.15个 C.12个 D.9个5.现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里,每个盒子至少放1个球,各盒子中球的个数互不相同,则不同放法的种数是().A.28 B.24 C.18 D.166.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为().A.3 B.4 C.6 D.87.将“福”“禄”“寿”填入如图所示的4×4小方格内,每格内只填入一个汉字,且任意的两个汉字既不同行也不同列,则不同的填写方法有().A.288种 B.144种 C.576种 D.96种8.如图,某电子器件由3个电阻串联而成,形成回路,其中有6个焊接点A,B,C,D,E,F,若焊接点脱落,则整个电路就会不通.现发现电路不通,那么焊接点脱落的可能情况共有种.

9.如图所示的是我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图,现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方案共有().A.120种 B.260种 C.340种 D.420种10.一个三位数,个位、十位、百位上的数字依次为x、y、z,当且仅当y>x且y>z时,称这样的数为“凸数”(如341),则从集合{1,2,3,4,5}中取出三个不相同的数组成的“凸数”个数为.

11.如图,使电路接通,开关不同的开闭方式有().A.11种B.12种C.20种D.21种

§14.2排列与组合1.(2022·东北模拟)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为().A.8 B.24 C.48 D.1202.(2022·福建二模)现有一圆桌,周边有标号为1,2,3,4的四个座位,甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题,每人只能坐一个座位,甲先选座位,且甲、乙不能相邻,则所有选座方法有().A.6种 B.8种 C.12种 D.16种3.(2022·泸州诊断)金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节,“……洪七公道:肉只五种,但猪羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有几般变化,我可算不出了”.现有五种不同的肉,任何两种(含两种)以上的肉混合后的滋味都不一样,则混合后可以组成的所有不同滋味的种数为().A.20 B.24 C.25 D.264.(2022·千校联盟押题)某人民医院召开抗疫总结表彰大会,有7名先进个人受到表彰,其中有一对夫妻.现要选3人上台报告事迹,要求夫妻两人中至少有1人报告,若夫妻同时被选,则两人的报告顺序需要相邻,这样不同的报告方案共有().A.80种 B.120种 C.130种 D.140种5.精准扶贫点用2400元的资金为贫困户购买良种羊羔,共有肉用山羊、毛用绵羊、产奶山羊三种羊羔,价格均为每只300元,若要求每种羊羔至少买1只,则所有可能的购买方案总数为().A.12 B.14 C.21 D.186.(2022·湖南模拟)某公司销售六种不同型号的新能源电动汽车A,B,C,D,E,F,为了让顾客选出自己心仪的电动汽车,把它们按顺序排成一排,A必须安排在前两个位置,B,C不相邻,则不同的排法有().A.144种 B.156种 C.160种 D.178种7.(2022·武汉高中检测)某学校组织一、二、三三个年级的学生到博物馆参观,该博物馆设有青铜器、瓷器、书画三个场馆.若该学校将参观时间分为三个时间段,每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同,并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复,则不同的安排方法有种.

8.(2022·重庆考前模拟)2020年初,我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”,举国上下一心,克服困难积极复工、复产、复学.复学后,通过心理问卷调查,发现某校高三年级有6位学生心理问题凸显,需要心理老师干预.已知该校高三年级有3位心理老师,每位心理老师至少安排1位学生,至多安排3位学生,问共有种心理辅导安排方法.

9.(2022·重庆模拟)如图,∠MON的边OM上有四点A1,A2,A3,A4,ON上有三点B1,B2,B3,则以O,A1,A2,A3,A4,B1,B2,B3为顶点的三角形个数为.

10.(2022·山西模拟)如图所示的几何体是由一个三棱锥P-ABC与三棱柱ABC-A1B1C1组合而成的,现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的涂色方案共有种.

§14.3二项式定理1.(2022·山东枣庄模拟)在2x+1x6的展开式中,含x4A.160 B.192 C.184 D.1862.已知x-2xn的展开式中第3项是常数项,则n=A.6 B.5 C.4 D.33.(2022·广东二模)已知(1+3x)2+(1+2x)3+(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a1+a2+a3+a4=().A.49 B.56 C.59 D.644.(2022·陕西模拟)若(2-x)10的展开式中二项式系数的和为A,所有项的系数和为B,一次项系数为C,则A+B+C=().A.4095 B.4097C.-4095 D.-40975.若1x+x2n(n∈N*)的展开式中第5项与第6项的二项式系数相等,则n=().A.11 B.10 C.9 D.86.(2022·湖南高三最后一卷)x+1x-24的展开式中有理项的项数为().A.3 B.4 C.5 D.67.已知(2-x)2021=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a2021(x+1)2021,则a0+a1+a2+…+a2021=A.24042 B.1 C.22021 D.08.(2022·山东模拟)已知1-x2n的展开式中所有项的系数和等于1256,A.72 B.358 C.7 D9.已知多项式(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an=57,则正整数n的值为.

10.(2022·江西贵溪开学考)1-90C101+902C102-903C103+…+901011.(2022·天津模拟)已知m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=().A.5 B.6 C.7 D.812.(2022·长春模拟)在x+1x2-14A.12 B.11 C.-11 D.-1213.(2022·山东模拟)已知(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2的值为().A.39 B.310 C.311 D.312

§14.4随机事件及其概率1.抛掷一枚质地均匀的骰子,记事件A为“出现的点数是1或2”,事件B为“出现的点数是2或3或4”,则事件“出现的点数是2”可以记为().A.A∪B B.A∩BC.A⊆B D.A=B2.如果事件A,B互斥,那么().A.A∪B是必然事件 B.A∪B是必然事件C.A与B一定互斥 D.A与B一定不互斥3.书架上有两套我国四大名著,现从中取出两本.设事件M表示“两本都是《红楼梦》”;事件N表示“一本是《西游记》,一本是《水浒传》”;事件P表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”.下列结论正确的是().A.M与P是互斥事件B.M与N是互斥事件C.N与P是对立事件D.M,N,P两两互斥4.(2022·贵州毕节实验中学月考)一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下表:组别(0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]频数1213241516137则样本数据落在(10,40]上的频率为().A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.645.(2022·天津模拟)我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表:年降水量(mm)[100,150)[150,200)[200,250)[250,300]概率0.210.160.130.12则年降水量(单位:mm)在[200,300]的概率是.

6.(2022·山西朔州期末)若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,则实数a的取值范围是().A.(1,2) B.5C.54,437.(2022·上海质检)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一个成员,他至少参加了2个小组的概率是,他参加了的小组不超过2个的概率是.

8.(2022·北京月考)某工厂生产了一批节能灯泡,这批产品按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批产品中随机抽取一件产品检测,已知抽到一等品或二等品的概率为0.86,抽到二等品或三等品的概率为0.35,则抽到二等品的概率为.

9.小红上学要经过三个十字路口,每个路口遇到红、绿灯的可能性都相等.事件A表示“第二个路口是红灯”,事件B表示“第三个路口是红灯”,事件C表示“至少遇到两个绿灯”,则A∩B包含的样本点有个,事件A∩B与C的关系是.

§14.5古典概型与几何概型1.一枚质地均匀的硬币连掷2次,恰好出现1次正面的概率是().A.12 B.14 C.34 2.(2022·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次,得到的点数依次记为a和b,则方程ax2+bx+1=0有实数解的概率是().A.736 B.12 C.1936 3.(2022·北京模拟)设平面向量a=(m,1),b=(2,n),其中m,n∈{1,2,3,4},记“a⊥(a-b)”为事件A,则事件A发生的概率为().A.18 B.14 C.13 4.(2022·云南曲靖二模)若在区间[0,1]上随机取一个数x,则事件“cosπx2≤12”发生的概率为(A.23 B.2π C.12 5.(2022·辽宁葫芦岛二模)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,据书中记载,中国古代诸侯的等级从低到高分为五级:男、子、伯、侯、公.现有每个级别的诸侯各一人,共5人,要把80个橘子分完且每人都要分到橘子,级别每高一级就多分m个(m为正整数),若按这种方法分橘子,“子”恰好分得13个橘子的概率是().A.18 B.17 C.16 6.小张下班后可以乘坐1,10这两条路线的公交车回家,每路车都是间隔10分钟一趟,1路车到站后,过4分钟10路车到站.不计停车时间,则小张坐1路车回家的概率是().A.12 B.13 C.25 7.(2021年全国乙卷)在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数,则两数之和大于74的概率为()A.79 B.2332 C.932 8.(2022·郑州质量检测)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是.

9.(2022·内蒙古赤峰质检)在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,在直角边BC上任取一点M,则∠CAM<30°的概率是.

10.(2022·浙江模拟)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其中a,b∈{1,2,3,4},且a,b取到其中每个数都是等可能的,则直线l:y=x与双曲线A.14 B.C.12 D.11.(2022·陕西检测)魏晋时期的数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图),通过计算得知正方体的体积与“牟合方盖”的体积之比应为3∶2.若在该“牟合方盖”内任取一点,此点取自正方体内切球内的概率为().A.12 B.C.23 D.12.将一枚质地均匀的正方体骰子投掷两次,得到的点数依次记为a和b,则lna-lnb≥0的概率是.

13.(2022·河北保定模拟)已知P是△ABC所在平面内一点,且PB+PC+2PA=0,现将一粒黄豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是().A.14 B.13 C.12 14.(2022·吉林通化六模)从数学内部看,推动几何学发展的矛盾有很多,比如“直与曲的矛盾”,随着几何学的发展,人们逐渐探究曲与直的相互转化,比如“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等积的问题.如图,在等腰Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,以AC为直径作半圆,再以AB为直径作半圆AMB,那么可以探究月牙形的面积(图中黑色阴影部分)与△AOB的面积(图中灰色阴影部分)之间的关系,在这种关系下,若向整个几何图形中随机投掷一点,则该点落在图中阴影部分的概率为().A.4π+1 BC.32π+1 15.(2022·山西太原二模)在区间0,π上随机取一个数x,则事件“sinx+cosx≥22”16.窗是中式园林设计的重要部分,常常运用象征、隐喻、借景等手法,将民族文化与哲理融入其中,营造出广阔的审美意境.从窗的外形看,常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.如图,在平面直角坐标系xOy中,O为正八边形P1P2…P8的中心,P1P8⊥x轴,现用如下方法等可能地确定点M:点M满足2OM+OPi+OPj=0(其中1≤i≤8,1≤j≤8且i,j∈N*,i≠j),则点M(异于点O

§14.6离散型随机变量及其分布列、均值与方差1.(2022·湖南长沙模拟)已知袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后,若取得黑球,则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则表示事件“放回5个红球”的是().A.ξ=4 B.ξ=5C.ξ=6 D.ξ≤52.(2022·河南平顶山模拟)若盒中有10只螺丝钉,其中有2只是坏的,现从盒中随机地抽取4只,则“恰好有2只是坏的”的概率为().A.1210 B.145 C.215 3.若口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的期望为().A.13 B.23 C.2 D4.(2022·安徽合肥模拟)若随机变量X的分布列如下表,且E(X)=2,则D(2X-3)=().X02aP1p1A.2 B.3 C.4 D.55.(2022·广东佛山联考)若随机变量X的分布列如下表,其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=().X-101PabcA.14 B.13 C.12 6.(2022·浙江预测卷)已知随机变量X,Y满足Y=2X+1,且随机变量X的分布列如下表所示:X012P11a则随机变量Y的方差D(Y)=().A.59 B.209 C.43 7.(2022·山东泰安期末)设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=ak+1(k=1,2,5),a∈R,E(ξ),D(ξ)分别为随机变量ξ的数学期望与方差,则下列结论错误的是(A.P(0<ξ<3.5)=56B.E(3ξ+1)=7C.D(ξ)=2 D.D(3ξ+1)=68.(2022·河北石家庄模拟)如图所示的是一个正方体,现将其六面分别涂上红、蓝、黄、白、绿、紫6种颜色,放干后,再切割为125个同样大小的正方体,然后放在足够大的容器内均匀搅拌,若从中随机取出一个小正方体,记它涂有颜色的面数为X,则X的均值为().A.126125 B.75 C.168125 9.(2022·湖北襄阳模拟)如图,已知A,B两点由5条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为ξ,则P(ξ≥8)=.

10.(2022·开学摸底)某中学高一年级和高二年级进行篮球比赛,赛制为三局两胜制,若比赛没有平局,且高二队每局获胜的概率都是p12<p<1,记比赛的最终局数为X,则A.P(X=2)=p2 B.P(X=3)=p(1-p)C.E(X)<52 D.D(X)>11.(2022·湖南邵东模拟)已知某款游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐,若出现一次音乐获得1分,若出现两次音乐获得2分,若出现三次音乐获得5分,若没有出现音乐则扣15分(即获得-15分).设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘此游戏,求至少有一盘出现音乐的概率.

12.(2022·陕西长安模拟)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天的需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式.(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量n14151617181920频数10201616151320以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.

§14.7n次独立重复试验、二项分布与正态分布1.(2022·黑龙江大庆模拟)已知随机变量X服从二项分布B(n,p).若E(X)=2,D(X)=43,则p=()A.34 B.23 C.13 2.(2022·黑龙江大庆模拟)根据历年的气象数据,某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25,刮四级以上大风的概率为0.4,既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2,则在发生中度雾霾的情况下,刮四级以上大风的概率为().A.0.8 B.0.625 C.0.5 D.0.13.(2022·哈尔滨模拟)为加强体育锻炼,让运动成为习惯,某学校进行了一次体能测试(满分为100分),从高三年级抽取1000名学生的测试结果,已知测试结果ξ服从正态分布N(70,σ2).若ξ的取值在(50,70)内的概率为0.4,则ξ的取值在90分以上的概率为().A.0.05 B.0.1 C.0.2 D.0.44.若随机变量X~B3,13,则下列说法错误的是(A.E(X)=1 B.D(X)=2C.E(2X)=2 D.D(2X)=45.(2022·内蒙古呼和浩特二模)设X~N(1,1),且其概率密度曲线如图所示,现从正方形ABCD中随机取100000个点,则取自阴影部分的点的个数的估计值是().(注:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827)A.75385 B.60375C.70275 D.658656.(2022·江苏南京模拟)为庆祝建党100周年,讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程,增进全体党员干部职工对党史知识的了解,某单位组织开展党史知识竞赛活动,以支部为单位参加比赛.已知某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题),不放回地依次随机抽取2道题作答,设事件A为“第1次抽到选择题”,事件B为“第2次抽到选择题”,则下列结论中错误的是().A.P(A)=35 B.P(AB)=C.P(BA)=12 D.P(BA-)7.(2022·北京模拟)已知假设某射手每次射击命中率相同,且每次射击之间相互没有影响.若在两次射击中至多命中一次的概率是1625,则该射手每次射击的命中率为()A.925 B.25 C.35 8.(2022·黑龙江三模)已知某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.9,超过2年的概率为0.63,若一个这种元件使用1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概率为.

9.(2022·福建莆田月考)模拟某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,对该流水线上的产品进行简单随机抽样,获得数据如下表所示:分组区间(单位:克)(490,495](495,500](500,505](505,510](510,515]产品件数34751已知包装质量在(495,510](单位:克)的产品为一等品,其余为二等品.(1)估计从该流水线任取一件产品为一等品的概率;(2)从上述抽取的样本产品中任取2件,设X为一等品的产品数量,求X的分布列;(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为一等品的产品数量,求Y的分布列,并比较期望E(X)与期望E(Y)的大小.(结论不要求证明)

10.(2022·安徽安庆三模)某学校高三年级开学之初增加晚自习,晚饭在校食堂就餐人数增多.为了缓解就餐压力,学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅,分别记作餐厅甲和餐厅乙,经过一周左右统计调研分析:前一天选择餐厅甲就餐,第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%、选择餐厅乙就餐的概率为75%;前一天选择餐厅乙就餐,第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%、选择餐厅甲就餐的概率也为50%,如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是23,选择餐厅乙就餐的概率是13,记某同学第n天选择甲餐厅就餐的概率为P(1)记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为X,求X的分布列,并求E(X).(2)请写出Pn+1与Pn(n∈N*)的递推关系.(3)求数列{Pn}的通项公式并帮助学校解决以下问题:为提高学生的服务意识和团队合作精神,学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务,根据上述数据,如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙服务的志愿者人数?请说明理由.

单元检测十四一、选择题1.(2022·河南联考)2021年中国人民银行计划发行个一贵金属纪念币品种,以满足广大收藏爱好者的需要,其中牛年生肖币是收藏者的首选.为了测算如图所示的直径为4的圆形生肖币中牛形图案的面积,同学们进行如下实验,即向该圆形生肖币内随机投掷100个点,若恰有75个点落在牛形图案上,据此可估算牛形图案的面积是().A.3π2 B.3π C.6π D2.(2022·浙江宁波返校考)已知甲、乙两人进行五局比赛,甲每局获胜的概率是35,且各局的胜负相互独立,已知甲胜一局的奖金为10元,设甲所获得的资金总额为X元,则甲所获得奖金总额的方差D(X)=()A.120 B.240 C.360 D.4803.(2022·江苏苏州开学调研)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),若P(ξ≤1)=0.84,则P(-1<ξ≤0)为().A.0.34 B.0.68 C.0.15 D.0.074.(2022·江苏苏州三模)已知(x+1)6=a0+a1(x-1)+…+a6(x-1)6,则a3=().A.15 B.20 C.60 D.1605.(2022·江西赣江月考)我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果,功不可没,“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液,“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种,事件A表示选出的两种中至少有“一药”,事件B表示选出的两种中至少有“一方”,则P(BA)=().A.15 B.310 C.35 6.(2022·江西南昌模拟)黄金分割是指将整体一分为二,较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,其比值为5-12(约等于0.618),这个比例被公认为是最能引起美感的比例,因此被称为黄金分割.如图,某同学在Rt△ABD(∠D约等于63°)内用尺规作图,将AD进行黄金分割,则在Rt△ABD内任取一点,该点取自扇形ACE内的概率约为().(注