2020版高考数学大一轮复习21函数及其表示课件理新人教A版

第二章函数及其应用第一节函数及其表示(全国卷5年10考)【知识梳理】1.函数与映射的概念函数映射两集合A,BA,B是两个_________A,B是两个_________非空数集非空集合函数映射对应关系f:A→B如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的_____一个数x,在集合B中都有_________的数f(x)与之对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的_____一个元素x,在集合B中都有_________的元素y与之对应任意唯一确定任意唯一确定函数映射名称称_______为从集合A到集合B的一个函数称对应_______为从集合A到集合B的一个映射记法y=f(x),x∈A对应f:A→Bf:A→Bf:A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的_______;与x的值相对应的y值叫做_______,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的_____.定义域函数值值域(2)函数的三要素:_______、_________和_____.(3)函数的表示法表示函数的常用方法有_______、_______和_______.定义域对应关系值域解析法图象法列表法3.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因_________不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____,其值域等于各段函数的值域的_____,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.对应关系并集并集【常用结论】1.函数与映射的相关结论(1)相等函数如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数相等.(2)映射的个数若集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从集合A到集合B的映射共有nm个.(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.2.简单函数定义域的类型(1)f(x)为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数集合.(2)f(x)为偶次根式型函数时,定义域为使被开方式非负的实数的集合.(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.(4)若f(x)=x0,则定义域为{x|x≠0}.(5)正切函数y=tanx的定义域为【基础自测】题组一:走出误区1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于函数f:A→B,其值域就是集合B. (

)(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等. (

)(3)若A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从A到B的映射. (

)(4)分段函数是由两个或几个函数组成的.(

)提示:(1)×.由函数定义知,值域为集合B的子集.故错误.(2)×.当两个函数的定义域和对应关系相同时才是相等函数,定义域与值域相同但对应关系不一定相同.故错误.(3)×.对于A中元素0,在B中无元素对应,故不能形成映射.(4)×.由分段函数概念知,分段函数为一个函数,故错误.2.设函数f(x)=若f(a)+f(-1)=2,则a=________.

【解析】若a≥0,则+1=2,得a=1;若a<0,则+1=2,得a=-1.故a=±1.

答案:±13.已知f=x2+5x,则f(x)=________.

【解析】令t=,则x=(t≠0),即f(t)=所以f(x)=(x≠0).

答案:(x≠0)题组二:走进教材1.(必修1P23T2改编)下列四个图形中,不是以x为自变量的函数的图象是 (

)【解析】选C.由函数定义知,定义域内的每一个x,都有唯一函数值与之对应,A,B,D选项中的图象都符合;C项中对于大于零的x而言,有两个不同的值与之对应,不符合.2.(必修1P18例2改编)下列哪个函数与y=x相等(

)A.y= B.y=C.y= D.y=()3【解析】选D.y=x的定义域为{x|x∈R},而y=的定义域为{x|x∈R且x≠0},y=的定义域为{x|x∈R,且x>0},排除A,B;y==|x|的定义域为{x|x∈R},对应关系与y=x的对应关系不同,排除C;而y=()3=x的定义域与对应关系与y=x均相同.3.(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是 (

)(源于必修1P18例2)A.y=x B.y=lgx C.y=2x D.y=【解析】选D.y=10lgx=x,其定义域与值域均为(0,+∞).函数y=x的定义域和值域都是R;函数y=lgx的定义域为(0,+∞),值域为R;函数y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞);函数y=的定义域与值域均为(0,+∞).考点一函数的定义域【题组练透】1.(2018·潍坊模拟)函数f(x)=+ln(2x-x2)的定义域为 (

)

A.(2,+∞) B.(1,2)C.(0,2) D.[1,2]【解析】选B.要使函数有意义,则解得1<x<2.所以函数f(x)=+ln(2x-x2)的定义域为(1,2).2.(2018·唐山模拟)已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f+f(x-1)的定义域为 (

)A.(-2,0) B.(-2,2)C.(0,2) D.

【解析】选C.由题意得所以所以0<x<2,所以函数g(x)=f+f(x-1)的定义域为(0,2).3.(2019·济南模拟)函数f(x)=的定义域为________.

【解析】要使函数f(x)有意义,则(log2x)2-1>0,即log2x>1或log2x<-1,解得x>2或0<x<,故所求函数的定义域是∪(2,+∞).答案:∪(2,+∞)4.已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-,],则函数y=f(x)的定义域为________.

【解析】因为y=f(x2-1)的定义域为[-,],所以x∈[-,],x2-1∈[-1,2],所以y=f(x)的定义域为[-1,2].答案:[-1,2]【规律方法】函数定义域问题的类型及求解策略(1)已知函数解析式,构造使解析式有意义的不等式组求解.(2)实际问题:由实际意义及使解析式有意义所构成的不等式组求解.(3)对于抽象函数定义域的求法①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出.②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.考点二函数的解析式【典例】(1)已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)=________.

(2)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f-1,则f(x)=________. (3)已知f(+1)=x+2,求f(x)的解析式. 【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2,得c=2,f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=x-1,即2ax+a+b=x-1,所以所以f(x)=x2-x+2.答案:x2-x+2(2)在f(x)=2f-1中,将x换成,则换成x,得f=2f(x)·-1,由解得f(x)=答案:

(3)设t=+1,则x=(t-1)2(t≥1);代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.故f(x)=x2-1(x≥1).【答题模板微课】本例(3)的模板化过程:建模板:“设t=+1,则x=(t-1)2(t≥1)” …………设元“f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1” ……………………换元“f(x)=x2-1(x≥1)”…………替换套模板:如果f,则当x≠0且x≠1时,f(x)=(

)【解析】选B.令=t,得x=(t≠0且t≠1),所以f(t)=(t≠0且t≠1),所以f(x)=(x≠0且x≠1).【一题多解微课】解决本例(3)还可以采用以下方法配凑法:因为x+2=()2+2+1-1=(+1)2-1,所以f(+1)=(+1)2-1(+1≥1),即f(x)=x2-1(x≥1).【规律方法】函数解析式的求法(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)消去法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).【对点训练】1.函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=2x,则f(x)=________.

【解析】由题意知解得f(x)=2x.

答案:2x2.已知f=lgx,则f(x)=________.

【解析】令t=+1,则x=(t>1).将上式代入f=lgx,得f(t)=lg,即所求函数的解析式为f(x)=lg(x>1).

答案:lg(x>1)考点三分段函数及其应用【明考点·知考法】

分段函数作为考查函数的最佳载体,一直是高考命题的热点,试题常以选择题、填空题形式出现,考查求值、解方程(零点)、解不等式、函数图象及性质问题,题目一般不难,解题中涉及分类与整合的思想方法.命题角度1分段函数的求值问题【典例】(1)已知函数f(x)=则f的值为 (

)A. B.- C.1 D.-1(2)已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=________. 【解析】(1)选B.(2)当a≤1时,f(a)=2a-2=-3无解;当a>1时,由f(a)=-log2(a+1)=-3,得a+1=8,解得a=7.所以f(6-a)=f(-1)=2-1-2=-.答案:-

【状元笔记】求分段函数的函数值的思路(1)确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集,(2)代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.命题角度2分段函数与方程、不等式的交汇问题【典例】(1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=则满足f(x+1)<f(2x)的x的取值范围是(

)A.(-∞,-1] B.(0,+∞)C.(-1,0) D.(-∞,0)(2)已知实数a≠0,函数f(x)=若f(1-a)=f(1+a),则a的值为________. 【解析】(1)选D.取x=-,则化为f<f(-1),成立,排除A,B;取x=-1,则化为f(0)<f(-2),成立,排除C.(2)当a>0时,1-a<1,1+a>1,由f(1-a)=f(1+a),可得2(1-a)+a=-(1+a)-2a,解得a=-,不合题意.当a<0时,1-a>1,1+a<1,由f(1-a)=f(1+a),可得-(1-a)-2a=2(1+a)+a,解得a=-,符合题意.答案:-

【状元笔记】分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果整合起来.【对点练·找规律】1.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=(

)

A.3 B.6 C.9 D.12【解析】选C.因为-2<1,log212>1,所以f(-2)=1+log2[2-(-2)]=3;f(log212)=所以f(-2)+f(log212)=9.2.已知函数f(x)=则使f(x)=2的x的集合是 (

)【解析】选A.由题意可知,f(x)=2,即或解得x=或4.3.设函数f(x)=则不等式f(6-x2)>f(x)的解集为________.

【解析】易知函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,又f(1)=1,所以当x>1时,f(x)>1.当x<1时,由6-x2>1,得-<x<,则-<x<1;当x≥1时,由6-x2>x,得-3<x<2,则1≤x<2.综上,不等式的解集为(-,2).答案:(-,2)思想方法系列2——分段函数中的分类与整合思想【思想诠释】分类与整合就是在所给变量不能进行统一研究时,要分类研究,再整合得到的结论.分段函数体现了数学的分类与整合思想,求解分段函数问题时应注意以下三点:(1)明确分段函数的分段区间.(2)依据自变量的取值范围,选好讨论的切入点,并建立等量或不等量关系.(3)在通过上述方法求得结