河南省豫南重点高中2021-2022学年高二上学期精英对抗赛理科数学试题Word版含答案

豫南重点高中2021-2022学年高二上学期精英对抗赛理科数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上；2.答选择题时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效；3.答主观题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效；4.考试结束后，将答题卡交回。一、选择题（本题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（）A．若，则B．若，，则C．若，则D．若，则2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为QUOTE.若，，QUOTE，则角（）A．B．C．或D．或3．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（）A．B．C．D．584．已知△ABC中，角QUOTE所对的边分别为QUOTE，若△ABC的面积为，，则的值为（）A．B．C．QUOTED．5．在△ABC中，，，边上的中线的长度为，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．6．一弹球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)（）A．300米B．299米C．199米D．166米7．在△ABC中，，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形8．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.如图所示的图形，在AB上取一点，使得，，过点作交圆周于D，连接OD.作交OD于.则下列不等式可以表示的是A．B．C．D．9．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋的值为（）A．B．C．D．10．已知，，且，则QUOTE的最小值为（）A．B．C．4D．611．已知数列的前n项和为，且，若，则数列的最大值为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项12.数列满足，，QUOTE.设，记表示不超过的最大整数．设，若不等式，对恒成立，则实数的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题13．现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是________．（用数字作答）14．已知，的取值如下表所示：23452.25.56.5若与线性相关，且回归直线方程为，则表格中实数的值为____________.15．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．16．裴波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多•裴波那契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是_______三、解答题（本题共6小题，共计70分，其中第17小题10分，其余每小题12分。解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知直线的方程为.（1）求过点且与直线平行的直线的程；（2）求直线与的交点，并求这个点到直线的距离.18.在中，内角的对边分别是，已知，.（1）若，求角的大小；（2）若，求边及面积.19.已知等差数列中，，，且，，成等比数列（1）求的通项公式；（2）已知，前n项和为，若，求n的最大值.20.如图所示，在直三棱柱中，，，，．（1）证明：平面；（2）若是棱的中点，在棱上是否存在一点，使∥平面？证明你的结论．已知坐标平面上两个定点，，动点满足：．（1）求点轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记(1)中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程．22．已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左、右顶点构成等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．理科参考答案1．A【分析】利用基本不等式可推出A正确；利用不等式的性质可推出B不正确；作差后，可知当时，C不正确；当时，D不正确.【详解】对于A，因为，所以，，所以，故A正确；对于B，若，则，又，所以，故B不正确；对于C，因为，，所以当时，，此时，故C不正确；对于D，当时，不成立，故D不正确.故选：A2．D【分析】由正弦定理即可求解．【详解】在中，由正弦定理可得，所以，因为，所以，因为，所以或，故选：D.3．A【分析】由已知得和，可求出，利用等差数列的通项公式得到.【详解】设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，因为，，依次成等比数列，，所以有，即，整理得，因为，所以，，因此，故选：A.4．D【分析】利用三角形的面积公式整理得出，利用二倍角的正弦和余弦公式化简得出，结合角的取值范围可求得结果.【详解】在中，因为，则，，则，则，所以，，可得，，故.故选：D.5．B【分析】根据题设条件结合余弦定理可求得，从而可得，结合三角形面积公式，即可求解.【详解】∵，，边上的中线的长度为∴根据余弦定理可得，即，解得∴∴的面积为故选：B6．A【分析】根据题意，得到小球经过的里程，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，可得小球10次着地共经过的路程为：米故选：A.7．C【分析】根据，利用正弦定理转化为：，整理为再转化为角判断.【详解】因为，所以由正弦定理得：，所以，即，所以或，所以或，所以是等腰或直角三角形.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．A【分析】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CD>DE即可得到答案.【详解】连接DB，因为AB是圆O的直径，所以，所以在中，中线，由射影定理可得，所以.在中，由射影定理可得，即，由得，故选A.【点睛】本题考查圆的性质、射影定理的应用，考查推理能力，属于中档题.9．C【分析】根据等差数列的性质及等差数列前n项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案．【详解】由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，∴＋＝＝＝＝＝＝故选：C．10．C【分析】由基本不等式得出关于的不等式，解之可得．【详解】因为，所以，当且仅当时取等号．，解得或（舍去），所以，即的最小值.4．此时．故选：C．11．D【分析】由先求出，从而得出，由讨论出其单调性，从而得出答案.【详解】当时，；由，当时，，两式相减，可得，解得，当时，也符合该式，故．所以由，解得；又，所以，所以，当时，，故，因此最大项为，故选：D．12．C【详解】由题意得：，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，又，，…，，，，；，，，，，，，，对恒成立，，则实数的最大值为.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数与导数、数列的综合应用问题，解题关键是能够采用构造法、累加法求得数列的通项公式，进而确定求和方法为裂项相消法，从而求得的形式.13．336【分析】根据排列定义及公式即可求解．【详解】从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为，故共有336种不同的选派方案．故答案为：33614．3.8【分析】利用线性回归分析方程经过样本中心点，直接带入即可求解.【详解】因为，，所以，解得.故答案为：3.8.15．15【分析】根据超几何分布概率公式列出不等式，进而解出n.【详解】用X表示中奖票数，P(X≥1)＝，所以，解得n≥15.故答案为：15.16．【分析】列举出数列{an}的前40项及其中能被3整除的数，代入公式，即可求得概率．【详解】解：在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，∴数列{an}的前40项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368，75025，121393，196418，317811，514229，832040，1346269，2178309，3524578，5702887，9227465，14930352，24157817，39088169，63245986，10334155，其中能被3整除的有10个，分别为：3，21，144，987，6765，46368，317811，1346269，2178309，14930352．∴从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是P＝．故答案为：三、解答题：17.解：(1)设与直线平行的直线方程为,把代入，得，解得,∴所求直线方程为.…5分(2)解方程组得…7分∴直线与的交点为,…8分点到直线的距离.………10分18.解：（1）由正弦定理，得解得.…2分又∵，则，…4分.…6分（备注：若B没有去掉，扣2分）（2）由余弦定理，得整理得又∵，∴.…10分由==.…12分（备注：正确写出余弦定理给2分；先用正弦定理求出，得出直角三形）19.解：（1），，成等比数列，，又，，，，又，解得：，…3分；…5分（2）由（1）可得：，……………7分，……10分，整理可得：，解得：，，的最大值为.…12分20.证明：（1）∵，∴．∵三棱柱为直三棱柱，∴．∵，∴平面．∵平面，∴，∵BC∥B1C1，∥则．在中，，，∴．∵，∴四边形为正方形．∴．∵，∴平面．…6分（2）当点为棱的中点时，平面．证明如下：如图，取中点，连、、，∵、、分别为、、的中点，∴EF∥AB1∵平面，平面，∴EF∥平面，同理可证FD∥平面．∵，∴平面∥平面．∵平面，∴DE∥平面．…12分21．解：(1)由得，化简得：，点M的轨迹以为圆心，以为半径的圆。…5分（没有说明轨迹扣1分）（2）当直线的斜率不存在时，直线符合题意；当直线的斜率存在时，设的方