双曲线的简单几何性质【知识精讲+能力提升】 高二数学 精讲课件（圆锥曲线篇人教A版2019选择性必修第一册）

3.2.2双曲线的简单几何性质ConicSection第三章圆锥曲线的方程焦点在x轴的双曲线x2项系数为正.焦点在y轴的椭圆y2项系数为正.标准方程相同点焦点位置的判断不同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系c2-a2=b2平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹xF1F2yOM(x,y)xyOM(x,y)F1F2上节回顾CINOC曲线的简单几何性类比对椭圆几何性质的研究，你认为应该研究双曲线的哪些几何性质?如何研究这些性质?xF1F2yOM(x,y)F1F2OxyA1A2B1B2••目录CONTENTS1234探究双曲线的几何性质双曲线的几何性质的应用课堂练习课后小结与预习壹第一部分探究双曲线的几何性质与利用椭圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质，包括双曲线的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.

下面，我们用椭圆方程来研究双曲线的几何性质.1.范围1.范围F1F2Oxyx=-ax=a••类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是x≤-a，或x≥a,纵坐标的范围是y∈R(图3.2-7).图3.2-7对称性由图可知,椭圆是轴对称图形,也是中心对称图形.F1F2Oxy••A1(x,y)A2(x,-y)A3(-x,y)A4(-x,-y)F1F2Oxy••A1(x,y)A3(-x,y)A2(x,-y)A4(-x,-y)类比研究椭圆

对称性的方法，容易得到，双曲线

关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做观曲线的中心。但我们也把这两点画在y轴上(图3.2-8).顶点F1F2O26y••A1•说明它与x轴有两个交点,坐标分别为B1(0,-b),B2(0,-b)A1(－a,0),A2(a,0).说明它与y轴没有交点,线段A1A2,B1B2分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别等于2a,2b.a和b分别叫做椭圆的实半轴长和虚半轴长.A2•B1•B2•图3.2-82a2b类比椭圆求顶点的方法，双曲线有多少个顶点?它们叫做双曲线的顶点.渐近线探究利用信息技术画出双曲线和两条直线(图3.2-9).在双曲线的右支上取一点M,测量点M的横坐标xM以及它到直线的距离d,沿曲线向右上方拖动点M，观察xM与d的大小关系，你发现了什么?渐近线可以发现，点M的横坐标xM越来越大，d越来越小，但是d始终不等于0.实际上，经过两点A1,A2作y轴的平行线，经过两点B1，B2作x轴的平行线

，四条直线围成一个矩形(图3.2-8)，矩形的两条对角线所在直线的方程是.可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永远不相交.一般地，双曲线

的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线。实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.在双曲线方程中，如果a=b,那么方程变为x2-y2=a2，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a.这时，四条直线围成正方形，渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.离心率与椭圆类似，双曲线的焦距与长轴长的比

称为椭圆的离心率，因为c>a>0，所以双曲线的离心率

椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征?用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗?它与用离心率刻画“张口”大小有什么联系和区别?离心率

例3求双曲线9y2–16x2=144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐近线方程.解：把双曲线的方程9y2–16x2=144化为标准方程练习

1.求下列双曲线的实轴与虚轴的长,顶点和焦点的坐标,离心率,渐近线方程.解：练习

1.求下列双曲线的实轴与虚轴的长,顶点和焦点的坐标,离心率,渐近线方程.解：练习解：解：练习解：练习解：贰第二部分双曲线的几何性质的应用第二部分例4.双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图3.2-10).它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).A′AOxyB′BC′C图3.2-10解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3.2-10所示的直角坐标系Ozy,使小圆的直径AA'在x轴上，圆心与原点重合.第二部分A′AOxyB′BC′C直角坐标系Oxy,使小圆的直径AA'在x轴上，圆心与原点重合.这时,上、下口的直径BB’

,CC'都平行于x轴，且|CC′|=13×2

,

ǀBB′ǀ=25×2.设双曲线的方程为，点C的坐标为(13,y),则点B的坐标为(25,y-55).因为直径AA′是实轴，所以a=12.又B,C两点都在双曲线上,所以第二部分

例5解：设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合将上式两边平方，并化简，得7x2-9y2=63,所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为

的双曲线(图3.2-11).FOxyldMH•图3.2-11第二部分

例6解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0)因为直线AB的倾斜角是30º，且经过右焦点F2,所以直线AB的方程为F2OxyABF1•图3.2-12•••叁第三部分课堂练习OPAQxAByOP(x,y)双曲线的第二定义：FOxyldMH•肆第四部分课后小结与预习焦点位置x轴y轴方程图形范围对称性顶点离心率xF1F2yOM(x,y)xyOM(x,y)F1F2焦点位置x轴y轴方程第二定义准线方程通径面积公式弦长公式与一定点的距离和到一定