2023年高考数学一轮复习（学生版）：11-2 用空间向量解决立体几何问题

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系QQ805889734加入百度网盘群3500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸联系QQ805889734加入百度网盘群3500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸§11.2用空间向量解决立体几何问题(对应答案分册第36~39页)1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量:l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则称AB为直线l的方向向量,与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量,显然一条直线的方向向量可以有无数个.(2)平面的法向量①定义:与平面垂直的向量,称为平面的法向量.一个平面的法向量有无数多个,任意两个都是共线向量.②确定:设a,b是平面α内两个不共线向量,n为平面α的法向量,则求法向量的方程组为n2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔n1=λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2=0直线l的方向向量为n,平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m=0l⊥αn∥m⇔n=λm平面α,β的法向量分别为n,mα∥βn∥m⇔n=λmα⊥βn⊥m⇔n·m=03.空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法(a,b分别为l1,l2的方向向量)a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围(0,π)0求法cosβ=acosθ=|cosβ|=|(2)直线和平面所成角的求法如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sinφ=|cosθ|=|e(3)二面角的求法如图①,AB,CD是二面角α-l-β两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角θ的大小为<AB,CD>.如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角θ的大小满足cosθ=cos<n1,n2>或-cos<n1,n2>.4.空间距离点A在平面α内,点B在平面α外,向量n为平面α的法向量,则点B到平面α的距离d=|AB关注三种角的易错点(1)异面直线所成的角与其方向向量的夹角:当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是该异面直线的夹角;否则向量夹角的补角是该异面直线所成的角.(2)直线与平面所成的角:在上述求法中要注意的是sinφ=|n·e||n||(3)二面角与法向量的夹角:利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面α,β的法向量n1,n2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等,还是互补.【概念辨析】1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角.()(2)已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则a∥c,a⊥b.()(3)已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cos<m,n>=-12,则直线l与平面α所成的角为120°.()【对接教材】2.如图所示,在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,则EF·BD=;EF·DC=.

3.如果PA,PB,PC是从点P出发的三条射线,每两条射线的夹角均为60°,那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值为.

【易错自纠】4.若直线l的方向向量与平面α的法向量夹角的大小为120°,则直线l与平面α所成角的大小为().A.120° B.60°C.30° D.以上均错5.已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量是.

利用空间向量证明平行、垂直问题【考向变换】考向1利用空间向量证明平行问题(一题多解)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.

点拨利用空间向量证明平行的方法(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.(2)线面平行:①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行;③可在平面α内取基向量{e1,e2},证明存在实数λ1,λ2,使直线l的方向向量a=λ1e1+λ2e2,然后说明l不在平面α内即可.(3)面面平行:①证明两平面的法向量为共线向量;②转化为线面平行、线线平行问题.【追踪训练1】已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=90°,2AB=2AD=CD,侧面PAD是正三角形且垂直于底面ABCD,E是PC的中点.试问在PB上是否存在一点F,使AF∥平面BDE?

考向2利用空间向量证明垂直问题在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,E,F分别为棱AD,PB的中点,且PD=AD.求证:平面CEF⊥平面PBC.

点拨利用空间向量证明垂直的方法(1)线线垂直:证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线,或将线面垂直的判定定理用向量表示.(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直,或将面面垂直的判定定理用向量表示.【追踪训练2】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=22AD,设E,F分别为PC,BD的中点(1)求证:EF∥平面PAD.(2)求证:PA⊥平面PDC.

利用空间向量求空间角【考向变换】考向1求异面直线所成的角如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∠BAC=90°,E是BC的中点,AC=AB=AA1=2,求异面直线AE与A1C所成的角的大小.

点拨用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系.(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量.(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别:当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是此异面直线所成的角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成的角.【追踪训练3】如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是棱PB的中点,已知PA=BC=2,AB=4,CB⊥AB,则异面直线PC,AD所成角的余弦值为().A.-3010 B.-C.305 D.考向2求直线与平面所成的角如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=60°,侧面PAB⊥底面ABCD,∠BAP=90°,AB=AC=PA=2.(1)求证:平面PBD⊥平面PAC.(2)若M为PD的中点,求直线MC与平面PBC所成角的正弦值.

点拨向量法求线面角的两大途径(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线与平面所成的角.【追踪训练4】如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC,A1在平面ABC的射影为线段AC的中点D,侧面AA1C1C是菱形,平面B1BD与棱A1C1交于点E.(1)判断四边形BB1ED的形状并证明;(2)求CB1与平面ABB1A1所成角的正弦的最大值.

考向3求平面与平面所成的角如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明:O1O⊥底面ABCD.(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.

点拨向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤(1)建立适当的坐标系,写出相应点的坐标;(2)求出两个半平面的法向量n1,n2;(3)设二面角的平面角为θ,则|cosθ|=|cos<n1,n2>|;(4)根据图形判断θ为钝角还是锐角,从而求出θ(或其三角函数值).【追踪训练5】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:PA⊥BD.(2)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.

利用法向量求点到平面的距离【典例迁移】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,动点P在棱A1B1上.当A1P=34A1B1时,点C到平面D1DP的距离为【变式设问】已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,E,F分别为BB1,CD的中点,则点F到平面A1D1E的距离为.

点拨用向量法求点P到平面α的距离的三个步骤(1)在平面α内取一点A,确定向量PA的坐标表示;(2)确定平面α的法向量n;(3)代入公式d=|PA·【追踪训练6】(2022·湖北模拟)在棱长为1的正四面体ABCD中,M为AD上的一点,且AM=13AD,N为AC的中点,则点A到平面BMN的距离为()A.105 B.C.1010 D.利用空间向量探究点的位置(2022·天津联考)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面ABCD⊥平面ABE,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2BC=2CD=2,AE=BE=3,M为BE的中点.(1)求证:CM∥平面ADE.(2)求二面角E-BD-C的正弦值.(3)在线段AD上是否存在一点N,使直线MD与平面BEN所成角的正弦值为