2005年全国高中数学联赛试题及详细解析

a、b、c、x、y、zcybzaazcxb;bxayf(xyz)

1

y1

z11{1{

[nf(n[

（其中[xx的最大整数，{xx

f(k)的值k2005年高中数赛解6括号内6x33636x33636

k有解的实数k的最大值是 66

A、B、C、D满足|AB|3,|BC|7,|CD|11,|DA|9ACBD 【解析】注意到3211211307292,由于ABBCCDDA0, 2(ABBCCD)2AB2BC2CD22(ABBCBCCDCDAB)AB2ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A1B1C1。则1AAcosABBcosB1

2的值为 【答案】

2sin(BA)2sin(ABCBC2cos(BC

AAcosA2cos(BC)cosAcosABCcosACBcos(C)cos( sinCsinB,同理BBcosBsinAsinCCCcosCsinAsinB,AAcosABB cosBCCcosC2(sinAsinBsinC),原式2(sinAsinBsinC)2.选 sinAsinBsin y 2 2 cos2cos

C．焦点在y轴上的椭 D．焦点在y轴上的双曲222 2

22

,0323

323

,cos(

323202

,

22

33

22

30,333

22

22

3)

2

22 2

2 2

2 3

2 30,

2 33,3

2 3

2

2 30,()式32 322即2

3.yC07xf(x)1xx2x3x19x20ygy)0a0a1y

y2

y19

y20yx4

a20

5216f(x)

(x)211x1

x21x

(y4)21.xy4gyy

ya0a1a2a20g(1)

521.6设、满足02xRcos(xcos(xcos(x)0,则 43f(x)cos(xcos(xcos(x),xRf(x)0f(0f(0,f(0即cos(cos(1cos(cos()1,cos()cos()1.cos()cos()cos()1.02,,,{24, .2.4 2126

，且满足ACB45ADBC

AC3,则CD 33

1 2 ADBCAC2

又23ADBC2

AC

3ADBC223等号当且仅当ADBCAC1时成立，这时AB1,AD3ADBC223若正方形ABCD的一条边在直线y2x17上，另外两个顶点在抛物线yx2上.则该正方形面 【解析】设正方形的边AB在直线y2x17C(x1,y1D(x2y2)，则CDl的方程y2xb,lx22xb

1

b1令正方形边长为aa21

)2(

)2

)220(b1).|17b511在y2x17上任取一点（6，,5，它到直线y2xb的距离为|17b511①、②联立解得

63.a280a21280.a2

数列

}

n1

,n7a7a 45a2nn（1）nNan为正整数；(2)nNanan11（1）

5且

}

7an

45a236nn

a29 nna2nn

9 ①-②得(an1an1)(an1an17an) an1an,an1an17an0an17an 由③式及a01a15nNan2

S19x1x2,xk|1x1||x1x2|||xk

x1

xk

且仅当1x1x2

S最小2816子集共有C0C1C2C326S 626P62

1 段AC上，满足AE;点 段BC上，满足BF

，且

x1, x1时，EF3y1

1

3)x31

4 4

4

y

1

1,x23

12y1(3x1)2x 解二：由解一知，ABy2x1B(0,1D2

令CDtCA1

CB1

则t

1

SCAB2SCAD2SCBD 1CECFSCEF

1(1

1)t1t2

3 00

CA

2

0ABC的重心.P(x,y0

01 1

11x2 x x 0,(x

),y 00xy

(3x1)2

y1(3x1)2x ABDlE、F。∵∠BIl1 =（

a、b、c、x、y、zcybzaazcxb;bxayf(xyz)

1

y1

z1

f(cosA、cosB、cosC

cos21cos

cos2

cos2

令ucotAvcotBwcotC则uvwRuvvwwu且u21uv)(uwv21uv)(vww21uw)(vcos21cos

uu21(u21u21(u21u2(u21u22u2u23u23uu23

u2

u

2

(u

u

cos21cos

(u(uv)(u

(u

u

cos21cos

2

u

vfu

12

u3u

v3v

u3u

)u

1[(u2

uvv2(v2vww2u2uww21(uvvwuw1.（取等号当且仅当uvwabc,xyz1),[f(x,y,2

12

1{1{[nf(n[

（其中[xx的最大整数，{xx

f(k)的值kji1234561******2***3**4*56* n则fa

jn

n

j

k

f

k

akT(2k1T(2kk1,2,,15易得akk123456789356678698887 f(k)(16

783k k 题目：设正数abcxyz满足

cybza；azcx

bxaycf(x,y,z)

1

y1

z1

Cauchyf(xyz

1

1

z21(xyz)2u

3xy 3

uu＞0f(x)x1xza、b、cb2c2ax

y

c2a2-

z

a2b2-a2b2c2

b2c2-a2

c2a2-b2到此，似乎胜利的曙光就在眼前，立刻想到在区间49f(xx1 2 120

（f(xyz1

cos21cos

cos21cos

cos21cos2

引理：在△ABC中，求证：tan

Atan2Btan2C28sinAsinBsin 设i,jkj与k成角为π-A,k与i成角为π-

ij成角为π-C(i

j2

2

C2

0tan2Atan2Btan2 2tanAtanBcosC2tanBtanCcosA2tanCtanAcos 2tanAtanB(12sin2C)2tanBtanC(12sin2A) 2tanCtanA(12sin2B ABABBCC2222A22B

4sinAsinBsinC

Bcos

2

cos2

Acos

24

AsinBsinCsinAsinBsin

Bcos 2

AsinBsinC 注意到，在△ABCtanAtanBtanBtanCtanCtanA1.

xcosA,ycosBzcosC从而fx

cos2A

cos2B

cos2C

cos22

cos22

cos222 2

2 2

2 2sin41

sin41

sin41

cos22

cos22

os22sin2Acos2Asin42Acos2 sin2Bcos2Bsin42Bcos2 2 cos22

cos22sin2Ccos2C4sin2Ccos2 2cos2231(tan2Atan2Btan2C)2(sin2Asin2Bsin2C 31(tan2Atan2Btan2C)2(12sinAsinBsinC 31(28sinAsinBsinC)2(12

2

f(xyz)

1

y1

z1

的最小值为2显然，在ABC600f(x,yz12

cos2

cos2 sin2Csin2

cos2 ②H