弹性力学试题及答案

一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。4、 物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是12。5、 弹性力学的根本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。7、一点处的应力分量6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。7、一点处的应力分量o=100，o=50，xyt=1^.'50，那么主应力o=150，xy 1o=0，o=0，a=3516'。2—18、一点处的应力分量b=200，o=0，xyt=—400，那么主应力o=512，xy57o=-312，a=-37°57o=-312，a=-37°21 9、 一点处的应力分量，o=—2000，xo=1052，o=-2052，a=-82°121=1000，o32。t=—400，那么主应力xy10、 在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。11、 表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。12、 边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、 按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、 有限单元法首先将连续体变换成为离散化构造，然后再用构造力学位移法进展求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两局部。15、 每个单元的位移一般总是包含着两局部：一局部是由本单元的形

变引起的，另一局部是由于其他单元发生了形变而连带引起的。16、 每个单元的应变一般总是包含着两局部：一局部是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不一样的，即所谓变量应变；另一局部是与位置坐标无关的，是各点一样的，即所谓常量应变。17、 为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。18、 为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有一样的位移时,也能在整个公共边界上具有一样的19、 在有限单元法中，单元的形函数在i结点1；在其他结点0及工丄。20、 为了提高有限单兀法分析的精度，一般可以米用两种方法：一是将单元的尺寸减小,以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。二、判断题〔请在正确命题后的括号内打“丁〃，在错误命题后的括号内打“X〃〕1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。〔丁〕

5、 如果某一问题中，=T=0，只存在平面应力分量。，a,T,zzxzyxyxy且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应力问题。3〕6、 如果某一问题中，£===0，只存在平面应变分量£，£，y，zzxzyxyxy且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应变问题。3〕9、 当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。〔丁〕10、 当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。〔丁〕14、 在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。〔丁〕15、 在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。3〕三、分析计算题1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑1〕1〕b=Ax+By，b=Cx+Dy，t=Ex+Fy；2〕2〕b=A(x2+y2)，b=B(x2+y2)，t=Cxy；x y xy其中，A，B，C，D，E，F为常数。解：应力分量存在的必要条件是必须满足以下条件：〔1〕在区域内的平衡微分方程；〔2〕在区域内的相容方程（王+工］C+blo;〔3〕在边、0x2dy2丿xy界上的应力边界条件；〔4〕对于多连体的位移单值条件。

〔1〕此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须，。此外还应满足应力边界条件。〔2〕为了满足相容方程，其系数必须满足0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、应力分量a=-Qxy2+Cx3，x1a=—Cxy2，t=-Cy2、应力分量a=-Qxy2+Cx3，x1为常数。试利用平衡微分方程求系数C，C，C。123解：将所给应力分量代入平衡微分方程-Qy2+3Cx2-3Cy2-Cx2=01 2 3-3Cxy-2Cxy=023np即3C-np即3C-1C1GG2-（Q+3C）y2=03C22=0由x，y的任意性，得由此解得，，，3、应力分量c=-q,a=-q,T=0，判断该应力分量是否满足平衡微分x y xy方程和相容方程。解：将应力分量a=-q，a=-q，t=0，代入平衡微分方程x y xy

可知，应力分量 q， q，0一般不满足平衡微分方程，只有xyxy体力忽略不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程：—（ ）丄（ ）21）厶y2xyx2yx xy将应力分量 q， q， 0代入上式，可知满足相容方程。x y xy按应力求解平面应变问题的相容方程：将应力分量qx)丄(-将应力分量qx)丄(-y x2 y12xyXy0代入上式，可知满足相容方程。xy4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑以下平面问题的应变分量是否可能存在。1〕Axy,xBy3,yCDy2；xy2〕Ay2,Bx2y, Cxy；xyxy3〕0,xy0,xyCxy；其中，A,B,C,D为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即将以上应变分量代入上面的形变协调方程,可知：〔1〕相容。〔2〕2A2ByC〔1分〕；这组应力分量假设存在,那么须满足：0〔3〕0；这组应力分量假设存在,那么须满足：0,那么0,0xy

Y=0〔1分〕xy5、证明应力函数皆by2能满足相容方程，并考察在如下图的矩形板和坐标系中能解决什么问题〔体力不计，b丸〕n-1n-12xJJ2221「y解：将应力函数皆by2代入相容方程dxdx4 dx2dy2dy4可知，所给应力函数9=by2能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，，l上边，，l=0，m=—1，，，下边，m下边，m=1，，；左边，，l=—左边，，l=—1， m=0，，；右边，x=，2右边，x=，2l=1，m=0，，。可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均

布面力2b。因此，应力函数p=by2能解决矩形板在x方向受均布拉力〔b〉0〕和均布压力〔b〈0〕的问题。6、证明应力函数皆axy能满足相容方程，并考察在如下图的矩形板和坐标系中能解决什么问题〔体力不计，a丸〕。i2x2.2IL•解：将应力函数p=axy代入相容方程dx4 dx4 dx2dy2可知，所给应力函数皆axy能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：上边，，l=上边，，l=0，m=—1，，，下边，y=—，l=0，m=1，，，2左边，，l=-1，m=0，，，右边，=1，m=0，，。2可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力且。因此，应力函数—axy能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如下图的矩形截面的长坚柱，密度为p，在一边侧面上受均布剪力,试求应力分量。解：根据构造的特点和受力情况，可以假定O达式纵向纤维互不挤压，即设。=0解：根据构造的特点和受力情况，可以假定O达式纵向纤维互不挤压，即设。=0。由此可知x将上式对y积分两次，可得如下应力函数表比,yLfi(x)y+f2(x)将上式代入应力函数所应满足的相容方程那么可得这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解〔全柱内的y值都应该满足它〕，可见它的系数和自由项都应该等于零，即，这两个方程要求f(x)=Ax3+Bx2+Cx+I， f(x)=Dx3+Ex2+Jx+K12

代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后便得申=y(Ax3+Bx2+Cx)+Dx3+Ex2对应应力分量为d20c= =y(6Ax+2B)+6Dx+2E-pgyydx2t=—d20=-3Ax2-2Bx-Cxydxdy以上常数可以根据边界条件确定。左边，x=0，l=-1，m=0，沿y方向无面力，所以有-(t) =C=0xyx=0右边，x=b，l=1，m=0，沿y方向的面力为q,所以有(t) =-3Ab2-2Bb=qxyx=b上边，y=0,1=0,m=-1，没有水平面力，这就要求T在这局部边xy界上合成的主矢量和主矩均为零，即Jb(T)dx=00xyy=0将T的表达式代入，并考虑到0,那么有JbJb(-3Ax2-2Bx)dx=-Ax3-Bx210b=-Ab3-Bb2=00而A(t)・0dx=0自然满足。又由于在这局部边界上没有垂直面力，这就0xyy=0要求c在这局部边界上合成的主矢量和主矩均为零，即yJb(c)dx=0， Jb(c)xdx=00yy=0 0yy=0将c的表达式代入，那么有JbJb(6Dx+2E)dx=3Dx2+2Ex|0b=3Db2+2Eb=00Jb(6Dx+2E)xdx=2Dx3+Ex2b=2Db3+Eb2=00 0由此可得，B=q，C=0，D=0，E=0b应力分量为b=0, ,x虽然上述结果并不严格满足上端面处〔0〕的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离0处这一结果应是适用的。8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为，，其中V是势函数，那么应力分量亦可用应力函数表示为，，，，试导出相应的相容方程。证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量b，b，T应当满足平衡微分方程xyxy〔1分〕还应满足相容方程上+壬X+b 坐+乞］〔对于平面应力问题〕2dy2丿xy dxdy丿上+工體+bL丄①+叮〔对于平面应变问题〕、dx2dy2丿xy1一卩(dxdy丿并在边界上满足应力边界条件〔1分〕。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。首先考察平衡微分方程。将其改写为这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为

根据微分方程理论，一定存在某一函数A〔x,y〕，使得，同样,将第二个方程改写为〔1分〕可见也一定存在某一函数B〔x,y〕，使得由此得因而又一定存在某一函数申(x,y)，使得代入以上各式，得应力分量为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数比,y)必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得/Q2卜V4Qy2Q2 Q2pQ2/Q2卜V4Qy2Q2 Q2pQ2pd2pdx2=-24V=(1+卩

丿Q2Qx2Q2+-Qy2d2dx2Qy2v+G+y丿(Qx2Qy2简写为V4Q=—(1—p)V2V将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得'Q2Q2'Q2Q2 + (Qx2Qy2丫凹+V+空+VI丿(Qy2 Qx2丿Q2 Q2+-1—p(Qx2Qy2'Q2——'Q2——+-Q2'‘Q20Q20)卜一-=-2(Q2(Qx2Qy2丿(Qy2Qx2丿(Qx2止V+丄［空dy2丿l-p(Qx2d2Qy2简写为9、如下图三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为p，试用纯三次的应力函数求解。解：纯三次的应力函数为申-ax3+bx2y+cxy2+dy3相应的应力分量表达式为Q20 Q20G- -xf-2cx+6dy， c- -yf=6ax+2by-pgy，xQy2 x yQx2 y这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适中选择各个系数，是否能满足应力边界条件。上边，y=0，l=0，m=-1，没有水平面力，所以有-(t) -2bx=0xyy=0对上端面的任意X值都应成立，可见

b=0同时，该边界上没有竖直面力，所以有_(b) =6ax=0yy=o对上端面的任意X值都应成立，可见a=0因此，应力分量可以简化为斜面，b=2cx+6斜面，b=2cx+6dy，xb=_Pgy，e=_2cyy xyy=xtana，l=cosfj=_sina，12丿m=cos（_a）=cosa，没有面力，所以有由第一个方程，得对斜面的任意X值都应成立，这就要求_4c_6dtana=0由第二个方程，得2cxtanasina_Pgxtanacosa=2cxtanasina_Pgxsina=0对斜面的任意X值都应成立，这就要求2ctana_Pg=0〔1分〕由此解得〔1分〕，从而应力分量为b=Pgxcota_2Pgycot2a,b=_Pgy,e=_Pgycotax y xy设三角形悬臂梁的长为l，高为h，那么。根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿x方向的分量为0,沿y方向的分量为。因此，所

xy求在这局部边界上合成的主矢应为零,应当合成为反力。xxyhdyhglcot2gycot2dyglhcot gh2cot20h dyhgycotdy—gh2cot —glh0xy0xyxl0可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。10、设有楔形体如下图,左面铅直,右面与铅直面成角,下端作为无限长,承受重力及液体压力,楔形体的密度为,液体的密度为—，试求应力分量。解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如下图。在楔形体的任意一点，每一个应力，试求应力分量。解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如下图。在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两局部组成：一局部由重力引起，应当与g成正比1g是重力加速度〕；另一局部由液体压力引起，应当与g成正2比。此外，每一局部还与，x，y有关。由于应力的量纲是12，g1和g的量纲是22,是量纲一的2量，而x和量，而x和y的量纲是L，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是A那么它们的表达式只可能是A—gx,B1gy，C2gx,D2gy四项的组合,而其中的A,B,C,D是量纲一的量，只与有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是X和y纯三次式，因此，假设申-ax3+bx2y+cxy2+dy3相应的应力分量表达式为d2p d2申G- —xf-2cx+6dy，c- -yf=6ax+2by-pgy，x2x ydx2 y 1这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适中选择各个系