1椭圆的定义与标准方程

2.1.1椭圆的定义与标准方程一、教材分析圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容，它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用。本节是《圆锥曲线与方程》的第一节课，主要学习椭圆的定义和标准方程。它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识。第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用。前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，也适用于对双曲线和抛物线的学习，更是解决圆锥曲线问题的一种有效方法。第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础。二、学生情况分析.在学习本节内容以前，学生已经学习了直线和圆的方程，初步了解了用坐标法求曲线的方程及其基本步骤，经历了动手实验、观察分析、归纳概括、建立模型的基本过程，这为进一步学习椭圆及其标准方程奠定了基础。.在本节课的学习过程中，椭圆定义的归纳概括、方程的推导化简对学生是一个考验，可能会有一部分学生探究学习受阻，教师要适时加以点拨指导。三、教学目标.通过观察、实验、证明等方法的运用，让学生更好的理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式，会根据条件求椭圆的标准方程。.通过对椭圆的认识及其方程的推导，培养学生的分析、探究、

抽象、概括等逻辑思维能力，加强用坐标法解决圆锥曲线问题的能力。.鼓励学生大胆猜想、论证，激发学生的学习热情，使他们获得成功的体验。四、教学重点和难点.重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法。.难点：椭圆标准方程的推导。五、教法与学法.教法为了使学生更主动地参加到课堂教学中，体现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则，故采用自主探究法。按照“创设情境一一自主探究一一建立模型一一拓展应用”的模式来组织教学。.学法在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，为学生提供自主学习的时间和空间。让他们经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概括过程、方程的推导化简过程，主动地获取知识。.教学准备（1）学生准备：一支铅笔、两个图钉、一根细绳、一张硬纸板。（2）教师准备：用PPT及几何画板制作的课件。六、教学过程设计借助多媒体生动、直观的演示，使学生明确学习椭圆的重要性和必要性。同时，激发他们探求实际问题的兴趣，使他们主动、积极地参与到教学中来，为后面的学习做好准备。（一）创设情境，复习引入借助多媒体生动、直观的演示，使学生明确学习椭圆的重要性和必要性。同时，激发他们探求实际问题的兴趣，使他们主动、积极地参与到教学中来，为后面的学习做好准备。由嫦娥二号绕月飞行的运动轨迹及现实生活中的多幅椭圆的图片引入。（嫦娥二号绕月飞行、行星运行、国家大剧院、鸟巢、亚运场馆沙特馆、油罐车等）（二）动手实验，归纳概念问：自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢？引导：先回忆如何画圆（学生利用手中的细线画圆，教师再用几何画板画圆）画圆容易那如果要画椭圆该怎么画呢？（先介绍课前数学实验中的方法用几何画板作椭圆）让学生回忆起要画一个圆只要一定点和一定长就可以。现在若把一点变成两点，到定点的距离等于定长变成到两定点的距离之和等于定长。再把笔紧贴细线画图，得到的图形是什么呢？（学生利用手中细线配合同桌共同完成，得到椭圆。我将在黑板上用同一方法作图，并利用几何画板演示）以活动为载体，让学生在“做”中学数学，通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验。提出问题：“在画图的过程中，哪些量发生了变化，哪些量没有变？”以活动为载体，让学生在“做”中学数学，通过画椭圆，经历知识的形成过程，积累感性经验。让学生根据自己的实验，观察回答：”两定点间的距离没变，绳子的长度没变，点在运动。”再问：“你们能根据刚才画椭圆的过程，类比圆的定义，归纳概括出椭圆的定义吗？”（多媒体给出圆的定义）先让学生独立思考一分钟，然后同桌交流，再进行全班交流，逐步完善，概括出椭圆的定义。椭圆的定义：平面上到两个定点F1,F2的距离之和为固定值（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆.引导学生对定义中的关键词进行分析理解注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方：（1）必须在平面内；（2）两个定点---两点间距离确定；（3）绳长---轨迹上任意点到两定点距离和确定问：“为何‘固定值’要大于两定点间的距离呢？等于、小于又如何呢？”（学生动手验证并发表自己意见，我再用课件演示）总结：当大于时 椭圆当等于时 线段当小于时 不存在（三）启发引导，推导方程问：怎么推导椭圆的标准方程呢？先回顾圆方程推导的步骤，给出求动点轨迹方程的一般步骤：1、建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；2、写出适合条件P（M）;3、用坐标表示条件P（M），列出方程；4、化方程为最简形式。♦探讨建立平面直角坐标系的方案启发学生类比求圆的方程的建系方法，建立适当的直角坐标系。探讨几种建系方案。最后采用以下两种方案方案一：以两定点的连线为X轴，其垂直平分线为Y轴；方案二：以两定点的连线为Y轴，其垂直平分线为X轴。（原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单）（一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.）体现“对称美”“简洁美”的特点♦写出动点P满足的条件设P（x,y）是椭圆上任意一点，

椭圆的焦距|FF|=2c（c>0）,则F1、F2的坐标分别是（c,0）、（c,0）.P与吃和吃的距离的和为固定值2a（2a>2c）启发学生根据椭圆的定义，写出动点P满足的条件，即：IPF11+IPF2\=2a由于IPF11=4（x+c）2+J2,IPF21r（x—c）2+J2得到%（Xx+c）2+J2+&x—c）2+J2=2a问：下面怎样化简？一般来说：①方程中只有一个一次根式时，需将它单独留在方程的一边，把其它各项移到另一边，平方一次；②方程中有两个一次根式时，需将它们分散，放在方程的两边，使其中一边只有一个根式，平方两次。待大多数学生都有了结果：3+/口=19、匕>6aa-c之后，指出：这个方程还不够简洁对称，让学生观察图形：问：“你们能从图中找出表示a、c、h的的线段吗？”通过观察，学生容易得出结论，并理解了换元的合理性。这样不仅使方程具有了对称性，而且使字母b也有了明确的几何意义。从而将方程简化为：/ 1~~斗一—=1拼（ （a>b>0）我们称它为椭圆的标准方程。问：刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？启发：“除了用刚才的方法2 2推导一遍处，还有别的方法吗？” 亍+=1学生经过观察思考会发现，“ 只要交换坐标轴就可以了，从而得到了焦点在Y轴上的椭圆的标准方程： （a>b>0）总结椭圆的标准方程的特点（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个带根式的方程的化简，学生会感到困难,这也是教学的一个难点。教学时，要注意说明这类方程的化简方法。在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想。并感受椭圆方程、图形的对称美，获得成功的喜悦！4轴上。标准方程不图 形同占 标准方程不图 形同占 焦点坐标相同占八、、定义ab.c的关系焦点位置的判断通过填表，进行对比总结，不仅使学生加深了对椭圆定义和标准方程的理解，有助于教学目标的实现（四）、例题教学有层次的练习题有助于学生更好的熟练利用椭圆的标准方程解题。例1已知椭圆两个焦点的坐标分别是（—2,0），（2,0），并且经过点［5,-3］，12 2）有层次的练习题有助于学生更好的熟练利用椭圆的标准方程解题。求它的标准方程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出凡。,c.引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为『y-二1Q>b>0）,因点〔5，-IJ在椭圆上，例2如图，在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？分析：点P在圆x2+y2=4上运动，由点P移动引起点M的运动，则称点M是点P的伴随点，因点M为线段PD的中点，则点M的坐标可由点P来表示，从而能求点M的轨迹方程.引申：设定点A（6,2）,P是椭圆H+y2=1上动点，求线段AP中点M的轨迹方程.解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设MG,y）,尸（彳C:②（点与伴随点的关系）M为线段AP的中点，・•・x=2x-61cc；③(代入已知轨迹求出yi=2y-2x2y2,伴随轨迹），•・•25+于=i,・•.点m的轨迹方程为251“④伴随轨迹表示的范围.（五）、课堂小结：一种方法：求椭圆标准方程的方法x2y2 y