专题：高考模拟题分类汇编：立体几何

专题：高考模拟题分类汇编：立体几何

1.（2011北京朝阳区期末）

设a,h,g是三个不重合的平面，/是直线，给出下列命题

A

①若ah,b人g,则a_Ly；②若/上两点到a的距离相等，则〃/a：

③若/Aa,U/b,则4Ab；④若aHb,lEb,且/〃a,贝i"〃b.

其中正确的命题是（D）

（A）①②（B）②③（C）②④(D)③④

2.（2011北京朝阳区期末）

如图，正方体ABCD-44GA中，E,E分别为

棱上的点.已知下列判断：

A

①4c平面&Ef：②DB]EF在侧面BCC,Bt上

的正投影是面积为定值的三角形；③在平面

4AG3内总存在与平面BtEF平行的直线：④平

面用与平面A8CO所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点尸的位

置无关.

其中正确判断的个数有（B）

（A）1个（B）2个

（C）3个（D）4个

3.（2011北京朝阳区期末）

己知一个正三楂锥的正视图如图所示，则此正三棱锥的

侧面积等于9百____.

4.（2011北京朝阳区期末）

如图，在三棱锥尸―A5C中，AC=BC=2,?ACB90°,侧面PAB为等边三角形，侧

AB

棱尸c=2V2.

(I)求证：PCLAB,

(II)求证：平面PABA平面ABC；

(III)求二面角8—AP—C的余弦值.

解：(I)设48中点为D,连结尸。，CD,......

因为AP=BP,所以尸。人AB.

又AC=BC,所以C£>AAB.............

因为POICO=。，所以48A平面PCD.

因为PCi平面PCD,所以PC八AB......

(II)由已知？ACB90°,AC=BC=2,

所以AO=80=啦，AB=2V2.

又DPA8为正三角形，且P0AAB,所以PD=娓................6分

因为PC=2近，所以PC2=CD2+PD1.

所以？CDP90°.

由(I)知OC0P是二面角尸-AB-C的平面角.

所以平面P48A平面ABC.................................8分

(HI)方法1：由(H)知CDA平面PA8.

过。作。七人PA于E,连结CE,则CE八PA.

所以BOEC是二面角5-AP-C的平面角...........................10分

在MDCDE中，易求得OE=

因为CD=0,所以tan?OEC—=—12分

DE3

所以cos?DEC----.

7

即二面角8-AP-C的余弦值为丫一.

7

方法2：由(1)(11)知。C,DB,OP两两垂直.

以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系.

易知0(0,0,0),C(00,0),

A(0,-V2,0),尸(0,0,V6).

UUU1LL

所以AC=(V2,V2,0),

UUU1Lf—

PC=(V2,0,-V6).

设平面PAC的法向量为〃=(x,y,z)，

UUIl、

In?AC0,iV2x+V2y=0,

则IuunBUI「r-

j〃?PC0.fyJ2x-\J6z=0.

令x=l,贝i」y=-1,z=—.

3

所以平面PAC的一个法向量为〃=(1,-1,11分

UUU1

易知平面PA8的一个法向量为OC=(V2,0,0).

UUU.—

UUIlwxDCJ21

所以cos<〃，DC>=湍I=上..............................12分

\n\\DC\7

由图可知，二面角3-AP-C为锐角.

所以二面角8-AP-C的余弦值为？一..............................13分

7

5.(2011北乐丰台区期末)

若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是(C)

3百32

A.----F—兀B.3V3+—7t

22525

C.9A/3+—7TD.973+—7T

2525俯视图

6.(2011北乐丰台区期末)

直三棱柱ABC-4&Ci中，AB=5,AC=4,BC=3,AAy=4,点。在AB上.

(I)求证：ACLB.C；

(II)若。是AB中点，求证：AC1〃平面&CD；

RD1

(III)当——=上时，求二面角8—CD一4的余弦值.

AB3

证明：(I)在△ABC中，因为AB=5,AC=4,BC=3,

所以AC^+BC^AB2,所以AC1BC.

因为直三棱柱所以CCAC.

因为BCHAC=C,

所以AC,平面BBiGC.

所以ACLB]C.................

(ID证明：连结BQ,交&C于E,DE.

因为直三极柱ABC-4&Ci,D是A8中点，

所以侧面B&CiC为矩形，DE为△A8Ci的中位线,

所以DEHAG.

因为OEu平面&CD,AGS平面&CD,

所以AC〃平面&CD.

(III)解：山(I)知ACLBC,

所以如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.

则8(3,0,0),A(0,4,0),4(0,0,c),B.(3,0,4).

设。(a,b,0)(a〉0,b>0),

BD1—­1—•

因为点。在线段48上，且叱=上，即=—

AB33

4—4

所以a=2,b=—，BD=(-\,-,0).

33

所以80=(3,0,4),BA=(—3,4,0),CO=(2,§,()).

平面BCD的法向量为7=(0,0,1).

设平面&c。的法向量为〃2=(兀乂1)，

3x+4=0

由B}Cn2=0,CDn2=0,得4

2x-^--y=0

4—4

所以x=--,y=2,n2=(-y,2,l).

设二面角B-CD-B,的大小为。,

%"3

所以cos0—同._.I，同,r=-病-^=•

所以二面角6-CO-4的余弦值为2画

161

7.(2011北京西城区期末)

如图，四边形48co中，AB=AO=C£>=1,

BD=6,BOLCO.将四边形A8CO沿

对角线BD折成四面体A'-BCD，使平面

平面6c。，则下列结论正确的是(B)

(A)A'C1BD(B)ZBA'C=90°

(C)CA与平面A8O所成的角为30。(D)四面体A'—8CO的体积为，

3

8.(2011北京西城区期末)

如图，在三棱柱ABC—AgG中，侧面438小，ACGA均为正方形，N8AC=90°,点。

是棱与q的中点.

(I)求证:4。上平面B8CC：

(II)求证:A4〃平面AQC；

(III)求二面角。一AC—A的余弦值.

(I)证明：因为侧面ABgA，ACG4均为正方形，

所以A%J_AC,A41J,A8,

所以A&_L平面ABC,三棱柱ABC—461G是直三棱柱.............1分

因为4。匚平面4月4,所以CG，4。，..........2分

又因为44=4G，。为&G中点，

所以4。_L4G.........3分

因为CGn&G=G，

所以A|O_L平面5&GC..........4分

(II)证明：连结AG，交4。于点。，连结。D,

因为为正方形，所以。为AG中点，

又。为4a中点，所以。。为A481G中位线，

所以ABJ/0D,...........6分

因为。Ou平面AQC,4用仁平面AQC,

所以44〃平面4。。.............8分

(III)解：因为侧面ABB|A，ACC4均为正方形，ZBAC=90°,

所以A6,AC,441两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系A-X”.

设A8=1,则C(0,l,0),5(1,0,0),4(0,0,1),

—•11—■

AQ=(5,5,O),AC=(0,1,-1),

设平面AtDC的法向量为n=(x,y,z)，则有

n-AlD=0Jx+y=0

x=_y=_z,

n-A}C=0y—z=O

取x=l,得〃=

又因为ABI平面ACC|A,所以平面ACG4的法向量为而=(L0,0),

nAB1_V3

cos〈〃,A3〉=

同画丁号’

因为二面角。一4。—A是钝角,

所以，二面角。一4。—A的余弦值为—立

9.(2011巢湖一检)已知一个多面体的三视图如图所示，则这个多面体的体积

等于9

10.(2011巢湖一检)

如图，在四棱锥尸/BCD中，PD_L平面ABC。，四边形ABC。

是菱形，AC=6,BD=8,E是0B上任一点.

O

AB

⑴求证：ACLDE；

(II)当E是尸B的中点时，求证：尸。〃平面EAC：

(III)若AAEC面积最小值是6,求尸8与平面ABCD所成角.

解：⑴：P£>_L平面A8CD,ACu平面ABC。，APD1AC.

在菱形ABCD中，BD1.AC,又：POflB。=。，；.AC1平面PDB.

又二£>Eu平面PDB,AACIDE...................................................4分

(H)当E为PB中点时，：0为BD中点，；.EO〃PD.

EOu平面AEC,PD<z平面AEC,

.♦.PD〃平面AEC...................................................8分

(III)：PDJ_平面ABCD,AZPBD就是PB与平面ABCD所成的角.

由(I)的证明可知,AC_L平面PDB,...ACLEO.

VAC=6,：.SMK=^ACEO=3EO,因其最小值为6,，E0的最小值为2,

此时EO_LPB,OB=-BD=4,：.smZPBD=—=-,

2OB2

.•.PB与平面ABCD成30的角.12分

11.(2011承德期末)已知集合A=值线｝

B=｛平面｝,C=AUB,若aWGC,则下列命题中正确的是(B)

aA-b

ahit

A..=>〃〃cB.<na_Lc

c1.bcIIb

aIIb

c.<D\a//b

=Q〃c•=>a.Lc

cIIbc1b

12.(2011承德期末)

如图，直四棱柱ABC。—中，底面ABC。是

ND48=60。的菱形，AA|=4,A8=2,点E在棱CC;

上，点尸是棱G"的中点.

(I)若E是CG的中点，求证：”〃平面A8O；

(H)求出CE的长度，使得&一8。一£为直二面角.

EF//CD,

解:(1)，=EFHA、B

CD/A、B

而EFZ面481面48814

所以EF〃平面4声。；....................5分

(2)设CE=x,连接ACn8O=。，

因为ZAQE就是二面角A「BD—E的平面角，

所以，要使/人。£=90。只需AA|AOsAOCE；

AB

4=—,从而x=3

所以D12

x4

13.（2011东莞期末）

三棱锥S-ABC的三视图如下（尺寸的长度单位为〃？）.则这个三棱锥的体积为

4m3.

（第12题图）

14.（2011东莞期末）

如图，在等腰直角A48c中，NAC8=9O。，AC=6C=&,CDVAB,0为垂足.沿

CO将A4BC对折，连结A、B,使得=

（1）对折后，在线段AB上是否存在点E,使CE_LAO?若存在，求出AE的长；若

不存在，说明理由；

（2）对折后，求二面角8-AC-。的平面角的正切值.

（第19题图）

解：（1）在线段上存在点E,使CE_LAZ）.

由等腰直角A4BC可知，对折后，CD,AZ）,CO，B£）,AD=BD=\.

AD2+BD2-AB2l2+l2-3

在\ABD中，cosZADB-

2ADBD2xlxl2

AZADB=120°,ABAD=ZABD=30°.

过。作AO的垂线，与AB的交于点E,点E就是

满足条件的唯一点.理山如下：

连结CE,

,?ADYDE,ADYCD,DEC]CD^D,

AO_L平面COE,

ADA.CE,

即在线段A8上存在点E,使CELAO.

AD1_2>/3

在用AAOE中，ZDAE=30°,AO=1,得AE

cosZDAE逅=亍

2

(2)对折后，作DPJ.AC于E,连结E/"

■：CDLAD,CDLBD,ADr\BD=D,

COJ_平面AO8,

，平面ACOJ_平面AO6.

VDELAD,且平面ACOn平面AO8=AO,

EO_L平面ACD.

而。尸_LAC,所以AC_L平面OE产，

即NOFE为二面角B-AC—O的平面角.……11分

在RMuADE中，ZDAE=30°,AD=1,

得DE=AOtanZDAE=1x—=—,

33

在/中，ZDAF=45°,AD=\,得

/。=AOsinZDAF=\x—=—.

223

3逅

DE

迈-

在RfAEO/中，ZEDF=90°,tanZDFE3

DF

2

即二面角B-AC-D的平面角的正切值等于

15.(2011佛山一检)若一个圆台的的正视图如图

所示，则其母国积等于(C)

A.6B.6乃

C.3亚兀D,6加兀

16.(2011佛山一检)

如图，已知E,F分别是正方形A8CD边8C、CO的中点，E尸与AC交于点0,

PA.NC都垂直于平面ABC。，且P4=AB=4,

NC=2,M是线段PA上一动点.

(I)求证：平面PAC，平面NE/7；

(II)若PCH平面MEF,试求PM:MA的值;

(III)当M是PA中点时，

求二面角M-EF-N的余弦值.

解：法1:(I)连结50,

VPAL^ABCD,8Ou平面ABC。，?.PA1B

又"OLAC,AC^PA^A,第19题图

:.平面P4C,

又•：E,歹分别是8C、CD的中点，.•.£尸〃50,

EFJ_平面PAC,又EEu平面NEQ,

平面PAC_L平面NEF；

(II)连结。”，

PC//平面MEF,平面PAC0平面MEF=0M,

二PCII0M,

.PMPC

故PM:AM=1:3

"~PA~~AC4

(III),/EF，平面PAC,OMu平面尸AC,/.EF1OM,

在等腰三角形NEF中，点。为EF的中点，...N。J.EF,

...AMON为所求二面角M-EF-N的平面角，

•.•点M是PA的中点，，AM=NC=2,

所以在矩形MNCA中，可求得MN=AC=40,N0=&,M0=®,

MO2+ON2-MN2

在AMON中，由余弦定理可求得cosAMON=------------------

2MoON33

二面角M-EF-N的余弦值为—.

33

法2:(I)同法1:

(II)建立如图所示的直角坐标系,则P(0,建4),C(4,4,0),£(4,2,0),一(2,4,0),

...定=(4,4,一4),而=(—2,2,0),

设点用的坐标为(0,0,m)，平面用£尸的法向量为五=(匕乂2)，则ME=(4,2,―机)，

n-ME=0[4x-^-2y-mz=06

所以<_____，即<-，令Ax=l,则y=1,z=—,

n-EF=O〔一2x+2y=0m

故元=(i,i,9),

m

-------24

・・・PC〃平面ME/7,・・.PCw=O,即4+4——=0,解得加=3,

m

故4M=3,即点例为线段PA上靠近P的四等分点；故PM:M4=1:3

------------------8分

(III))(4,4,2),则丽=(0,2,2),设平面NE4的法向量为薪=(刖必力,

m-EN=0f2y+2z=0

则《_____.，即c令x=1,

meEF-0、—2x+2y=0

贝=z=-1,即〃2=(1,1,-1),

当M是尸A中点时，m=2,则亢=（1,1,3）,

1+1—3V33

cos<m,n>=

V3XVH5T

••・二面角M-EP—N的余弦值为一二.——14分

17、（2011广东广雅中学期末）

从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体（或平面图形）的4

个顶点，这些几何体（或平面图形）是①③④（写出所有正确的结论的编号）

①矩形

②不是矩形的平行四边形

cos〈A4|,BC)=।—..——=—r=--==--,

卜41|・卜。[v8-v82

故AA与棱BC所成的角是会.............6分

(2)设解=%函=(2办一2九0),贝1」尸(2九4-22,2).

于是AP=[4/12+(4-22)2+4==；(2=,舍去),

则户为棱56的中点，其坐标为尸(1,3,2).8分

设平面尸一4A-A的法向量为〃1=(x,y,z),

n.AP=0[x+3y+2z=0“

则仁_，即{.A令z=l

n}A8=0I2y=0

故1=(-2,0,1)..................11分

2_275

而平面ABA的法向量〃22=(1.0,0),则cos(%,”,”

Ml闻

故二面角P-AB-%的平面角的余弦值是至.......................13分

15

19.(2011广州调研)

”8亚

12TTH-------

一空间几何体的三视图如图2所示，该几何体的体积为3,则正视图中X的值为

(0

A.5B.4C.3D.2

正视图侧视图

图2

20.（（2011广州调研）

如图4,在四棱锥P—A8CO中，底面48co是矩形，

PA_L平面48c。，PA=AD=2,AB=1,8MJ.于点M.

⑴求证：AM1PD.

（2）求直线°。与平面ACM所成的角的余弦值.

（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角等知识,考查数

形结合的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算

求解能力）

⑴证明：：PA_L平面ABCO,A8u平面ABCO,

D

PA1AB

8

•.­AB1AD,AD[}PA=A,AD^平面

PAD,P4u平面PAD,

:.AB_L平面P4O.

PDu平面PAD

：.ABLPD,3分

BMLPDt4Bu平面ABM

BMu平面ABM，六PDL平面ABM.

,/AMcz平面ABM，,AMJ.PD.

(2)解法1：由(1)知，AM1PD,又P4

则〃是尸O的中点，在氤△PAD中，

得AM=6,在Rt△CDM

MC=y1MD2+DC1=也

J

i[7

SA4tsrACMivi=c—AM-MC=—r

22

设点D到平面ACM的距离为h,由VD-ACM=VM-ACD,……8分

1

10n4,_V6

力=WSAACD7PA^=—

得332.解得3,……10分

.a_h_y[6

设直线CD与平面ACM所成的角为。，则CD3,……”分

有出

COS0=——

A3

也

直线CO与平面ACM所成的角的余弦值为3.……14分

解法2：如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz,

4(0,0,0)尸(0,0,2)B(1,0,0)C(1,2,0)D(0,2,0)M(0,1,1)

..不=(1,2,0),而=(0,1,1),丽=(一1,0,0)&分

设平面ACM的一个法向量为〃=(x，KZ),

x+2y=0,

——.一----〈

由n±AC.nA.AM可得.[y+Z=0.

令z=l,得x=2,y=-l..，=(2,-1,1)……]0分

CDnV6

sina=

3

设直线C。与平面ACM所成的角为a,则12分

3.•••直线0。与平面ACM所成的角的余弦值为3.……14分

21.（2011哈尔滨期末）

已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2,则侧棱与底面所成角的余弦值为

（D）

V31门6

A.—B.-C.一D.—

2236

22.（2011哈尔滨期末）

如图，三棱柱ABC—451G中，侧棱A&J■平面ABC,AA5C为等腰直角三角形,

ZBAC=90\且43=A4j,D,E,b分别是修A,CC],3C的中点。

（2）等腰直角三角形A45C中F为斜边的中点，AF±BC

又直三棱柱ABC-A4G,面ABC_L面，

.•.A户_L面GS，,•AF1B.F

设

AB=AA=1,..B[F=—,EF=—,BE=BF2+EF2=B^2,：.BF±EF

i22X2XX

又AbPIEF=尸，BiF_1面4£尸

(3)BtF±面AEF,作BtMJ.4E于M,连接尸M,/.ZBiMF为所求

FM=总,所求二面的正切值为

V10

23.（2011•湖」匕重点中学二联）有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、

4、5、6,有三个人从不同的角度观察的结果如图所示，如果记3的对面的数字为m,4

的对面的数字为n,那么m+n的值为（C）

24.（2011•湖北重点中学二联）（12分）

如图，平面ABEFL平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,

/BAD=NFAB=90°,BC//-AD,BE//-AF.

=2=2

（I）证明：C,D,F,E四点共面；

（II）设AB=BC=BE,求二面角A—ED—B的大小。

解：法1：（I）解：延长。。交AB的延长线于点G,

由BC〃得

=2

GBGCBC10八

--=---=---=—.....2分

GAGDAD2

延长FE交A8的延长线于G’同理可得

GEGBBE

赤一才一IF-5

故出=gg,即G与G'重合……4分

GAGA

因此直线CO、EF相交于点G,即C,D,F,E四点共面。6分

（II）证明：设AB=1,则8C=BE=1,AD=2

取AE中点M,则8MLAE,

又由已知得，ADLWABEF

故A£>_LBM,BM与平面ADE内两相交直线AD.AE都垂直。

所以平面AOE,作MN_LOE,垂足为N,连结BN

由三垂线定理知BNJ.ED,/BMW为二面角A-E£>-8的平面角。……9分

—立山AOXAE_G_BM_46

BM=,MN=---------=—।仅tan/BNM=——

22DE3MN2

所以二面角A-EO-B的大小arctanYS...12分

2

25、（2011•淮南——模）已知某个几何体的三视图如右侧，根据图中标出的尺寸（单

位：cm）,可得这个几何体的体积是（B）

Q43cm3|)2cm3

36、（2011•淮南一模）给出命题:

（1）在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；

（2）设/,机是不同的直线，a是一个平面，若/La,/〃机，则机La：

（3）已知以月表示两个不同平面，机为平面。内的一条直线，则工£，，是的充

要条件；

（4）若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形

的外心；

（5）“，力是两条异面直线，2为空间一点，过P总可以作一个平面与兄”之一垂直，与另

一个平行。

其中正确的命题是（2）（4）（只填序号）.

27、（2011,淮南一模）（本小题12分）

AE_CFCP\

在正AABC中，E、/、P分别是A3、AC、边上的点，满足E8FAPB2

（如图1）,将ME尸沿ER折起到反建厂的位置，使二面角4-EF—8成直二面角，

连结4”4P（如图2）

（I）求证：A|EJ_平面ABEP；

(ii)求直线A"与平面A8P所成角的大小。

解：不妨设正三角形A8C的边长为3,则

(I)在图1中，取BE中点。，连结。尸,

AECFCP1

则・.・EBFAPB2

二AR=A0=2而NA=60°,

即△AOF是正三角形

...在图2中有AE'或IBE-LEF,

・NAIEBy,一抵届A|—EF—B,»

..1为一面角।的平面角

・・,一面角1为直一面角，J1

又”En"=E,A|E,平面BEF，即AE，平面BEP.

(H)由(I)可知AiE_L平面BEP,BE_LEF,建立如图的坐标系,则E(0,0,0),A,

(0,0,1)B(2,0,0),F(0,G,0).在图1中，不难得到EF〃DP,且EF=D

P；DE〃FP且DE=FP

故点P的坐标P(1,百，0)

.布=(2,0,-1)BP=(-1,73,0)£4；=(0,0,1)

••,9

A{B=2x-z=0

<

不妨设平面AiBP的法向量〃1=«%Z),则回"=x-A=°

一k〃i,E416

一_cos<n.,EA.>=-=—.=------f==一

令y=6得〃i=(3,6,6)...\ni\-\EA}\1x4V3

故直线A〔E与平面A】BP所成角的大小为3.

28.（2011•惠州三调）-简单组合体的三视图及尺寸

如右图示（单位：cm）

则该组合体的表面积为_12800—。疝.

40

侧视图

【解析】该组合体的表面积为：2s主视图+2S侧视图+2S俯视图=12800。/。

29.（2011•惠州三调）已知AA8C的三边长为。，仇c,内切圆半径为r

（用SAABC表示A48c的面积）,贝iJSwc=,«。+人+。）；

类比这一结论有：若三棱锥A的内切球半径为R,

,4,+SMB£>++^&BCD)

则三棱锥体积V,『BCD=3____________________________________________

【解析】：连接内切球球心与各点，将三棱锥分割成四个小棱锥，它们的高都等于R,底面分

别为三棱锥的各个血，它们的体积和等于原三棱铢的体积。答

案：3R(S&ABC++SACD^ABCD)

30.（2011・惠州三调）（本题满分14分）

IT

已知梯形ABCD中，AD〃BC,NABC=NBAD=—,AB=BC=2AD=4,E、

2

F分别是AB、CD上的点，EF/7BC,AE=x,G是BC的中点.沿EF将梯

形ABCD翻折，使平面AEFDJ_平面EBCF(如图).

(1)当x=2时，求证：BDXEG；

(2)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为/(幻，

求/(x)的最大值；

(3)当/(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值.

n

(1)方法一：•••平面AEFD_L平面EBCF,•/EF〃AD,ZAEF=-,

2

/.AE1EF,AAEIWEBCF.AEIEF-AEIBE,

又BE1.EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz.

EA=2,：.EB=2,又；G为BC的中点，BC=4,

/.BG=2.则A(0,0,2),B(2,0,0),G(2,

2,0),D(0,2,2),E(0,0,0),

BD=(-2,2,2),EG=(2,2,0),

BDEG=(-2,2,2)(2,2,0)=0,BD1EG........................4分

方法二：作DH_LEF于H,连BH,GH,

由平面AEF。平面EfiC/知：DHL平面EBCF,

而EGu平面EBCF,故EGLDH.

冗

・・EFIIBC.:.ZAEH=ZEBC=AE_LEF,:.AEHDH.-：AD//EF,:.AEHD

为平行四边形，，EH=AD=2,/.EHUBC.EH=3C,且

冗

ZE6C=—,5£=eC=2,.•・四边形BGHE为正方形，・・・EG_LBH,BHcDH=H,

2

A

故EG,平面DBH,/

而BDu平面DBH,AEG±BD...........4分/EH：\

F

B'C

（或者直接利用三垂线定理得出结果）

(2)：AD〃面BFC,

所以/(X)=V_=VA-BFC=­XS2CFxAE=—x—x4(4一x)x

DBCFJD/

-(X_2)Y”,

333

Q

即x=2时J(x)有最大值为8分

(3)设平面DBF的法向量为〃1=(x,y,z)，VAE=2,B(2,0,0),D(0,2,2),

F(0,3,0),ABF=(-2,3,0),..........10分

BD=(-2,2,2),

n.BD-0

则V—,

n,BF=0

f(x,y,z)(-2,2,2)=01-2x+2y+2z=0

(x,y,z)(-2,3,0)=0[-2x+3y=0

取x=3,y=2,z=1，二勺=(3,2,1)

AE_L面，.•.面BCF一个法向量为点=（0,0,1）,.........12分

V14

则cosy213分

I勺II%I14

由于