中考数学精创专题资料-高频考点突破-圆的切线的证明

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页中考数学高频考点突破——圆的切线的证明1．如图，点M，N在以AB为直径的⊙O上，，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，直线EF过点M，且EF⊥BD，垂足为F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若CM＝5，CN=6，求BN的长．2．如图，是的直径，点是直径上不与，重合的一点，过点作，且，连接，交于点，在上取一点，使．（1）求证：是的切线；（2）当是的中点，时，求的长．3．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的直线交OP于点C，且∠CBP＝∠ADB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若OA＝2，AB＝，求线段BP的长．4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，以点O为圆心，OC长为半径作圆．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，BC＝12，求阴影部分面积．5．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC边于点E，交⊙O于点D，过点A作AF⊥BC于点F，设⊙O的直径为d，AF＝h．（1）过点D作直线MN∥BC，求证：MN是⊙O的切线；（2）若AB＝4，AC＝3，求d，h的值．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD＝，AB＝12，求阴影部分的面积（结果保留π）．7．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP上，且BC＝PC．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA＝3，AB＝2，求BP的长．8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，F为弧AD上一点，且D是弧BF的中点，过点D作DE⊥AF交线段AF的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为8，tanC＝，求DE的值．9．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且满足，过点C作∠ACD=∠B交线段BA的延长线于点D．（1）证明：CD是⊙O的切线；（2）求CD的长；10．如图，在中，，以为直径的分别与，交于点，，过点作于点．（1）判断与的位置关系，并证明你的结论；（2）若的半径为，，求阴影部分的面积．11．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点K，点H在上，CH的延长线交AB的延长线于点F，四边形EFGH是菱形，点E在BF上，EG交HF于点I．（1）求证：HE与⊙O相切；（2）若OK=3，KE=7，EF=5，EI=3，求⊙O的半径．12．如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．（1）求证：EC是⊙O的切线；（2）若AD＝2，求的长（结果保留π）．13．如图，在中，，点D为上一点，以为直径的交于点E，连接，且平分．（1）求证：是的切线；（2）连接，若，求．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．15．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分，，垂足为E（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，，求线段EF的长．16．如图，在中，，以为直径的与边，分别交于，两点，过点作于点．（1）判断与的位置关系，并说明理由；（2）求证：为的中点；（3）若，，求的长．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，AE平分∠BAC．（1）求证：BC是⊙O的切线．（2）若∠EAB＝30°，OD＝3，求图中阴影部分的面积．（3）若AD＝5，AE＝4，求AF．18．如图，是的弦，过的中点作，垂足为，过点作直线交的延长线于点，使得.（1）求证：是的切线；（2）若，，求的边上的高.（3）在（2）的条件下，求的面积.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接OM，根据∠MBF＝∠OBM，证明∠OMD=90°即可；（2）根据∠BMN=∠NBC，证明△NCB∽△NBM即可．【解析】证明：（1）连接OM，∵MF⊥BD，∴∠BFM＝90°.∵OM＝OB，∴∠OMB＝∠OBM.∵BM平分∠ABD，∴∠OBM＝∠MBF，∴∠OMB＝∠MBF，∴OM∥BF.∴∠OME＝∠BFM＝90°.∴MF是⊙O的切线；（2）解：∵，∴∠ABN＝∠BMN.∵∠N＝∠N，∴△BCN∽△MBN.∴，∴．∴BN＝.【点评】本题考查了切线的判定，平行线的性质，三角形的相似，圆周角与弧的关系，熟练掌握切线的判定，灵活证明三角形的相似是解题的关键．2．（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OF，易证∠DBC+∠C=90°，由等腰三角形的性质得∠DBC=∠OFB，∠C=∠EFC，推出∠OFB+∠EFC=90°，则∠OFE=90°，即可得出结论；（2）连接AF，则∠AFB=90°，求出BD=3OD=6，CD=AB=8，BC==10，证明△FBA∽△DBC，得出，求出，由CF=BC-BF即可得出结果．【解析】解：（1）证明：连接，如图所示：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵为的半径，∴是的切线；（2）解：连接，如图所示：∵是的直径，∴，∵是的中点，∴，∴，∵，∴，∵，由勾股定理得：，∵，，∴，∴，∴∴，∴．【点评】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定与性质是解题的关键．3．（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠OBC＝90°，即可得出结论；（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．【解析】解：（1）证明：连接OB，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠A+∠ADB＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵∠CBP＝∠ADB，∴∠OBA+∠CBP＝90°，∴∠OBC＝180°﹣90°＝90°，∴BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OA＝2，∴AD＝2OA＝4，∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°，∴∠P+∠A＝90°，∴∠P＝∠D，∵∠A＝∠A，∴△AOP∽△ABD，∴＝，即，解得：BP＝．【点评】本题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键．4．（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）过O作OD⊥AB于D，由角平分线的性质得OD＝OC，再由OC为⊙O的半径，则OD为⊙O的半径，即可得出结论；（2）由含30°角的直角三角形的性质得OB＝2OD，AC＝BC＝4，再求出OD＝OC＝4，∠COD＝120°，然后由切线的性质得AD＝AC＝4，即可解决问题．【解析】（1）证明：过O作OD⊥AB于D，如图所示：∵∠ACB＝90°，∴OC⊥AC，∵OA平分∠BAC，∴OD＝OC，∵OC为⊙O的半径，∴OD为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵OD⊥AB，∴∠ODB＝90°，∵∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴OB＝2OD，AC＝BC＝4，∵OC＝OD，BC＝12，∴BC＝3OC＝12，∴OD＝OC＝4，∵∠BOD＝90°﹣30°＝60°，∴∠COD＝120°，由（1）得：AB是⊙O的切线，OC⊥AC，∴AC为⊙O的切线，∴AD＝AC＝4，∴阴影部分面积＝△AOC的面积+△AOD的面积﹣扇形OCD的面积＝×4×4+×4×4﹣＝16﹣．【点评】本题考查了切线的判定与性质、角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质以及弧长公式等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．5．（1）见解析；（2）12【分析】（1）连接OD，OB，OC，由角平分线的性质可得∠BAD＝∠CAD，可得，由等腰三角形的性质可得OD⊥BC，可证OD⊥MN，可得结论；（2）连接AO并延长交⊙O于H，通过证明△ACF∽△AHB，可得，可得结论．【解析】解：（1）证明：如图1，连接OD，OB，OC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴，∴∠BOD＝∠COD，又∵OB＝OC，∴OD⊥BC，∵MN∥BC，∴OD⊥MN，∴MN是⊙O的切线；（2）如图2，连接AO并延长交⊙O于H，连接BH，∵AH是直径，∴∠ABH＝90°＝∠AFC，又∵∠AHB＝∠ACF，∴△ACF∽△AHB，∴，∴AB•AC＝AH•AF＝d•h，∵AB＝4，AC＝3，∴dh＝12．【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．6．（1）直线BC是⊙O的切线，见解析；（2）【分析】（1）连接OD，求出ODAC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；（2）设OA＝OD＝r，则OB＝12－r，根据勾股定理求出OD＝4，求出OB＝8，得出∠B＝30°，再分别求出△ODB和扇形DOF的面积即可．【解析】（1）证明：连接OD，如图：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴ACOD，∴∠ODB＝∠C＝90°，即BC⊥OD，又∵OD为⊙O的半径，∴直线BC是⊙O的切线；（2）解：设OA＝OD＝r，则OB＝12－r，在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2＋BD2＝OB2，∴r2＋（4）2＝（12－r）2，解得：r＝4，∴OD＝4，OB＝8，∴OD＝OB，∴∠B＝30°，∴∠DOB＝180°－∠B－∠ODB＝60°，∴阴影部分的面积S＝S△ODB－S扇形DOF＝．【点评】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，扇形的面积计算、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握切线的判定与性质和勾股定理是解此题的关键．7．（1）直线BC是⊙O的切线，证明见解析；（2）7【分析】（1）由题意连接OB．由等腰三角形的性质得到∠A=∠OBA，∠P=∠CBP，由于OP⊥AD，得到∠A+∠P=90°，于是得到∠OBA+∠CBP=90°，求得∠OBC=90°结论可得；（2）根据题意连接DB．由AD是⊙O的直径，得到∠ABD=90°，推出Rt△ABD∽Rt△AOP，得到比例式，进而计算即可得到答案．【解析】解：（1）直线BC是⊙O的切线，证明：连接OB．∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，又∵BC=PC，∴∠P=∠CBP，∵OP⊥AD，∴∠A+∠P=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，∴∠OBC=180°-（∠OBA+∠CBP）=90°，∵点B在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线；（2）解：如图，连接DB．∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴Rt△ABD∽Rt△AOP，∴，即，AP=9，∴BP=AP-BA=9-2=7．【点评】本题考查切线的判定和相似三角形的判定和性质以及圆周角定理，熟练掌握相关定理并正确的作出辅助线是解题的关键．8．（1）见解析；（2）．【分析】（1）连接OD，BF，交点为点M，由圆周角定理证出OD//AE，得出OD⊥DE，则可得出结论；（2）由勾股定理求出AD=，由直角三角形的性质得出∠EDA=∠ABD，根据锐角三角函数的定义可得出答案．【解析】解：（1）证明：连接OD，BF，交点为点M，∵D是弧BF的中点，∴OD⊥BF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴OD∥AE，∵DE⊥AF，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；（2）连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，∴tan∠ABD=tan∠C=，设AD=4x，BD=3x，由勾股定理得，AD2+BD2=AB2，∴（4x）2+（3x）2=82，∴x=，∴AD=，∵D为的中点，∴∠FAD=∠DAB，∴∠EDA=∠ABD，∴tan∠EDA=，设AE=4a，DE=3a，∴，解得a=，∴DE=3a=．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键．9．（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OC，证明OC⊥CD即可；（2）利用三角形的相似，勾股定理计算即可．【解析】（1）如图，连接OC，∵OB=0C，∴∠OCB=∠B，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠ACO+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠ACO+∠ACD=90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠ACD=∠B，∵∠D=∠D，∴△DCA∽△DBC，∴，∵，∴AB==5，∴，∴DB=2DC，DA=DC，∴DA+AB=2DC，∴DC+5=2DC，∴DC=．【点评】本题考查了圆的切线的判定，三角形的相似，勾股定理，直径的性质，熟记切线的判定和三角形相似的判定是解题的关键．10．（1）相切，见解析；（2）【分析】（1）如图所示，连接OD，证明，即可求解；（2）根据S阴影部分=S扇形OAE-S△OAE即可求解．【解析】解：（1）相切，证明：如图，连，，是的直径，，又，是的中点，，是的中位线，，，，是的切线．（2）解：，，，，连接，则，，．【点评】本题主要考查了切线的判定和性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，数形结合是解答此题的关键．11．（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为6．【分析】（1）连接OH，证明OH⊥HE即可得到结论；（2）证明△EFI∽△CFK得，可得=，求得CK=9，进一步可得结论．【解析】(1)证明：连接OH

∵OC=OH∴∠OCH=∠OHC∵四边形EFGH是菱形∴EH=EF∴∠EHF=∠EFH

∵AB⊥CD∴∠KCF+∠KFC=90°∴∠OHC+∠EHF=90°∴∠OHE=180°-（∠OHC+∠EHF）=90°

∴OH⊥HE∴HE于⊙O相切

（2）∵四边形EFGH是菱形∴EG⊥HF在Rt△EFI中

EI=3，EF=5FI==4

∵AB⊥CD∴∠CKF=90°∴∠CKF=∠EIF

∵∠EFI=∠CFK∴△EFI∽△CFK

∴∵FK=KE+EF，KE=7∴FK=12

∴=∴∴CK=9

∵OK=3∴OC=CK-OK=9-3=6∴⊙O的半径为6．【点评】本题考查圆的综合问题，涉及切线的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，考查学生综合运用知识的能力．12．（1）见解析；（2）【分析】（1）证明：连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠BAC＝30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，解直角三角形即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，∵BE＝AB，∴∠E＝∠BAE，∵∠ABC＝∠E+∠BAE＝60°，∴∠E＝∠BAE＝30°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∴∠OBC＝30°+60°＝90°，∴OB⊥CE，∴EC是⊙O的切线；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，∴OH＝BC＝2，∴OA＝＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°，∴的长度＝＝．【点评】本题考查了切线的判定，锐角三角函数，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．13．（1）见解析；（2）．【分析】（1）证明：连接，证明，即可得=90°，即可证明是的切线；（2）解：连接，先证明，得出，根据∠A=30°，∠B=90°，可得，可得，由此可得，即可得出．【解析】（1）证明：连接，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，即，∴是的切线；（2）解：连接，∵是的直径，∴，又∵，∴，∴，∵∠A=30°，∠B=90°，∴，∴，∴，∴．【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，结合题意灵活运用知识点是解题关键．14．（1）见解析；（2）DF=【分析】（1）可证得BD是⊙O的直径，∠BCE=∠BDE，则∠BDE+∠FDE=90°，结论得证；（2）先求出AC长，再求DE长，在Rt△BCD中求出BD长，在Rt△BED中求出BE长，证得△FDE∽△DBE，由比例线段可求出DF长．【解析】解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝90°，即∠BDF＝90°，∴DF⊥BD，又∵BD是⊙O的直径，∴DF是⊙O的切线．（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝2×4＝8，∴，∵点D是AC的中点，∴，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，∴，在Rt△BCD中，，在Rt△BED中，，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，∴∠FDE＝∠DBE，∵∠DEF＝∠BED＝90°，∴△FDE∽△DBE，∴，即，∴．【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解答本题的关键是正确作出辅助线，综合运用圆的性质解题．15．（1）直线DE与⊙O相切；（2）.【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明即可；（2）过O作于G，得到，根据直角三角形的性质得到，得到，推出四边形AODF是菱形，得到，，于是得到结论．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，连结OD．∵AD平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，即，∴，即，∴DE是⊙O的切线；（2）过O作于G，∵，∴，，∴，∴，∴，∴四边形AODF是菱形，∵，，∴，∴．【点评】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．16．（1）与相切，理由见解析；（2）详见解析；（3）．【分析】（1）连结、，如图1，先利用AB是圆的直径得到，再根据等腰三角形的性质得，然后利用三角形中位线定理可得，而，进一步即可证得结论；（2）连结，如图2，根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质可得，从而DE=DC，然后根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；（3）易得，利用余弦的定义，分别在和中计算出AC与CH的长，则CE即可求出，然后计算即可得到的长．【解析】解：（1）与相切．理由如下：连结、，如图1，∵为直径，∴，即，∵，∴，而，∴为的中位线，∴，∵，∴，∴为的切线；（2）证明：连结，如图2，∵四边形为的内接四边形，∴，∵，∴，∴，∴DE=DC.∵，∴，即为的中点；（3）解：如图2，在中，∵，，∴.在中，∵，∴，∴，∴．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理的推论、切线的判定定理、三角形中位线定理、圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定与性质和锐角三角函数的知识，考查的知识点多，综合性强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键．17．（1）详见解析；（2）；（3）【分析】（1）如图，连结OE，由角平分线的定义可得∠CAE＝∠EAD，由等腰三角形的性质可得∠EAD＝∠OEA，即可证明∠OEA＝∠CAE，可得OE//AC，根据平行线的性质可得∠OEB＝∠C＝90°，即可证明BC是⊙O的切线；（2）由角平分线的定义可得∠EOD＝60°，即可得出∠B=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出OB的长，利用勾股定理求出BE的长，根据S阴影=S△OEB-S扇形OED即可得答案；（3）如图，连接DE，EF，由AD是直径可得∠AED=90°，利用勾股定理可求出DE的长，由∠CAE＝∠EAD