电磁场与电磁波第一章

电磁场与电磁波第一章第一页，共七十一页，编辑于2023年，星期日主要内容1-4. 基础知识5. 标量场的方向导数与梯度6.矢量场的通量与散度7.矢量场的环量与旋度8.无散场和无旋场9.格林定理

10.

矢量场的惟一性定理11.亥姆霍兹定理

*12.正交曲面坐标系基础知识，梯度，散度，旋度，亥姆霍兹定理第二页，共七十一页，编辑于2023年，星期日1-1ScalarsandVectorsScalar(标量)：hasonlymagnitude(大小)Length,area,volume,temperature,density…Vector（矢量）：bothmagnitudeanddirectionForce,displacement(位移),

velocity（速度）,electricfiledintensity(电场强度)…Boldface

italic

representationDistributionofscalarinspaceconstitutescalarfieldDistributionofvectorinspaceconstitutevectorfield第三页，共七十一页，编辑于2023年，星期日1-1ScalarsandVectorsAvectorcanbedescribedas:

asegmentofadirectedstraight-lineMagnitude＝

Length

ofthelineDirection＝orientationoftheline直角坐标系(rectangularcoordinatesystem)下的矢量表示分量：(Ax,Ay,Az)AIngeneral,themagnitudeandthedirectionofthevectorarerelatedtospacecoordinate.Ifnot,thevectoriscalledaconstantvector第四页，共七十一页，编辑于2023年，星期日1-2Vectoralgebra(代数运算)ConditionforA

=BSamemagnitude,SamedirectionNamely,correspondingcoordinatecomponentsareequalAdditionoperationAssociativelaw(结合律):(A+B)+C=A+(B+C)Commutativelaw（交换律）:A+B=B+AA-B

=

A+（-B）第五页，共七十一页，编辑于2023年，星期日1-2Vectoralgebra(代数运算)Graphicalrepresentation1.Addition(加法):服从平行四边形规则。ABCC=A+Bcanbegiven:Ax+Bx，Ay+By，Az+Bz第六页，共七十一页，编辑于2023年，星期日1-2Vectoralgebra(代数运算)Graphicalrepresentation1.Subtraction(减法):提示：A-B=A+(-B)-BABA-B第七页，共七十一页，编辑于2023年，星期日1-2Vectoralgebra(代数运算)A

vectormultipliedbyascalar（矢量与标量）矢量大小发生改变，方向不变η>1AηAη<1AηA*矢量之间的乘法不同，可分为：标积（scalarproduct）与矢积（vectorproduct）第八页，共七十一页，编辑于2023年，星期日1-3ScalarproductAlsocalleddotproduct(点积)orinnerproduct（内积）

Denotedas“‧”Definitioninrectangularcoordinatesystem:A‧B=AxBx+AyBy+AzBz(Theresultisascalar!)So,A‧B=B‧AA‧A=A2=Ax2+Ay2+Az2Themagnitudeofvector（矢量的模）Ais:

A=|A|=第九页，共七十一页，编辑于2023年，星期日1-3Scalarproduct矢量模为1的矢量称为单位矢量

（unitvector）Vector

A

can

be

written

as：

A=

|A|Componentsofare:Obviously,So,vectoriscalledtheunitvectorindirectionofADenotedbyea：

ea=第十页，共七十一页，编辑于2023年，星期日1-3ScalarproductAvectorcanberepresentedas:A=Axex+Ayey+AzezWhereex,ey,ezaretheunitvectorsalongx,y,zaxesrespectively

ea=

or

Whereα,β,γ

aretheanglesbetweenvectorAandthex,y,zaxesrespectively

第十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期日1-3Scalarproduct如右图：A=|A|ex

B=Bxex+ByeyBx=|B|cosθ；By=|B|sinθSo，A‧B=

|A||B|cosθWecanconclude:ABθ第十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期日1-4VectorproductAlsocalledcrossproduct(叉积)orexteriorproduct（外积）Denotedby“”To

twovectors:AandB:A=Axex+Ayey+AzezB=Bxex+Byey+Bzez

AB=canprove:AB=-(BA)第十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期日1-4Vectorproduct如右图：A=|A|ex

B=Bxex+ByeyAB=ez|A||B|sinθ(AB)isverticaltobothAandBFollowsrighthandruleABθABGeometricalrepresentationofcrossproduct第十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期日1-5.DirectionalDerivative&Gradient

Thedirectionalderivativeofascalaratapointindicatesthespatialrateofchangeofthescalaratthepointinacertaindirection.

ThedirectionalderivativeofscalaratpointPinthedirectionofl

isdefinedasPlThegradientisavector.

Themagnitudeofthegradientofascalarfieldatapointisthemaximumdirectionalderivativeatthepoint,anditsdirectionisthatinwhichthedirectionalderivativewillbemaximum.

第十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期日Inrectangularcoordinatesystem,thegradientofascalarfieldcanbeexpressedasWhere“grad”istheobservationoftheword“gradient”.Inrectangularcoordinatesystem,theoperator

isdenotedas

Thenthegradofscalarfieldcanbedenotedas1-5.DirectionalDerivative&Gradient

第十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期日1-5.标量场的方向导数与梯度

标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。

标量场

在

P

点沿

l

方向上的方向导数定义为Pl第十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期日梯度是一个矢量。在直角坐标系中，标量场

的梯度可表示为式中的grad

是英文字

gradient

的缩写。

某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，某点梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。

若引入算符，在直角坐标系中该算符可表示为则梯度可以表示为1-5.标量场的方向导数与梯度第十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期日zxyrOP(x,y,z)r'r–r'P'(x',y',z')例计算及。

表示对x,y,z

运算表示对运算这里例题第十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期日解表示源点（source），P

表示场点(filed)。

zxyrOP(x,y,z)r'r–r'P'(x',y',z')例题（续）第二十页，共七十一页，编辑于2023年，星期日作业P41：Problems1-1（a），（b），（c），（d）；第二十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期日回顾：标量场的方向导数与梯度

标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。

Pl梯度是一个矢量。

某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，某点梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。第二十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期日Thesurface

integralofthevectorfieldAevaluatedoveradirectedsurfaceSiscalledthefluxthroughthedirectedsurfaceS,anditisdenotedbyscalar

,i.e.1-6Flux&Divergence

Thefluxcouldbepositive,negative,orzero.

Thedirectionofaclosedsurfaceisdefinedastheoutwardnormalontheclosedsurface.Hence,ifthereisasourceinaclosedsurface,thefluxofthevectorsmustbepositive;conversely,ifthereisasink,thefluxofthevectorswillbenegative.

Thesourceapositivesource;Thesinkanegativesource.Asourceintheclosedsurfaceproducesapositiveintegral,whileasinkgivesrisetoanegativeone.第二十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期日

矢量

A

沿某一有向曲面

S的面积分称为矢量

A通过该有向曲面

S的通量，以标量

表示，即

1-6

矢量场的通量与散度通量可为正、负或零。

当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。第二十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期日

闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。

当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。前述的源称为正源，而洞称为负源。S1-6

矢量场的通量与散度第二十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期日

Fromphysicsweknowthat Ifthereispositiveelectricchargeintheclosedsurface,thefluxwillbepositive.Iftheelectricchargeisnegative,thefluxwillbenegative.Inasource-freeregionwherethereisnocharge,thefluxthroughanyclosedsurfacebecomeszero.Thefluxofthevectorsthroughaclosedsurfacecanrevealthepropertiesofthesourcesandthepresenceofsourceswithintheclosedsurface.Thefluxonlygivesthetotalsourceinaclosedsurface,anditcannotdescribethedistributionofthesource.Forthisreason,thedivergenceisrequired.1-6Flux&Divergenceq：freeelectricchargeƐ0:permittivityofafreespace第二十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期日

已知真空中的电场强度

E

通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量

q与真空介电常数

0

之比，即，

当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。㊉㊀

但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。1-6

矢量场的通量与散度第二十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期日 “div”:observationoftheword“divergence;V:thevolumeclosedbytheclosedsurface.Itshowsthatthedivergenceofavectorfieldisascalarfield,anditcanbeconsideredasthefluxthroughthesurfaceperunitvolume. WeintroducetheratioofthefluxofthevectorfieldAatthepointthroughaclosedsurfacetothevolumeenclosedbythatsurface,andthelimitofthisratio,asthesurfaceareaismadetobecomevanishinglysmallatthepoint,iscalledthedivergenceofthevectorfieldatthatpoint,denotedbydivA,givenbyDefinitionofDivergence第二十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期日Inrectangularcoordinates,thedivergencecanbeexpressedasDefinitionofDivergence(Continued)Usingtheoperator,thedivergencecanbewrittenas第二十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期日

当闭合面

S向某点无限收缩时，矢量

A通过该闭合面S

的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场

A

在该点的散度，以

divA

表示，即式中，div

是英文字divergence的缩写；

V为闭合面

S包围的体积。散度的定义第三十页，共七十一页，编辑于2023年，星期日上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。

直角坐标系中散度可表示为

因此散度可用算符

表示为散度的定义（续）第三十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期日DivergenceTheoremor

Fromviewpointofmathematics,thedivergencetheoremstatesthatthesurfaceintegralofavectorfunctionoveraclosedsurfacecanbetransformedintoavolumeintegralinvolvingthedivergenceofthevectoroverthevolumeenclosedbythesamesurface.Fromviewpointoffields,itgivestherelationshipbetweenthefieldsinaregionandthefieldsontheboundaryoftheregion.第三十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期日或者写为

从数学角度可以认为散度定理建立了面积分和体积分的关系。从物理角度可以理解为散度定理建立了区域

V中的场和包围区域

V

的边界

S上的场之间的关系。因此，如果已知区域

V

中的场，根据散度定理即可求出边界

S上的场，反之亦然。散度定理第三十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期日例求空间任一点位置矢量r的散度。求得已知解rOxzyxzy练习第三十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期日标量场的梯度矢量场的散度算子Summary第三十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期日ThelineintegralofavectorfieldAevaluatedalongaclosedcurveiscalledthecirculationofthevectorfieldAaroundthecurve,anditisdenotedby,i.e.1-7

Circulation&Curl IfthedirectionofthevectorfieldAisthesameasthatofthelineelementdleverywherealongthecurve,thenthecirculation>0.Iftheyareinoppositedirection,then<0.Hence,thecirculationcanprovideadescriptionoftherotationalpropertyofavectorfield.第三十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期日

矢量场

A沿一条有向曲线

l的线积分称为矢量场

A沿该曲线的环量，以

表示，即1-7矢量场的环量与旋度可见，若在闭合有向曲线

l上，矢量场

A的方向处处与线元

dl的方向保持一致，则环量

>0；若处处相反，则

<0

。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。l第三十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期日Circulationofthemagneticfluxdensity

BaroundaclosedcurvelisequaltotheproductoftheconductioncurrentIenclosedbytheclosedcurveandthepermeabilityinfreespace,i.e.wheretheflowingdirectionofthecurrentIandthedirectionofthedirectedcurveladheretotherighthandrule.Thecirculationisthereforeanindicationoftheintensityofasource.However,thecirculationonlystandsforthetotalsource,anditisunabletodescribethedistributionofthesource.Hence,therotationisrequired.1-7

Circulation&Curl第三十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期日

已知真空中磁通密度

B沿任一闭合有向曲线

l的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度

I

与真空磁导率

0

的乘积。即

式中，电流

I的正方向与

dl的方向构成

右旋关系。

环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。⊙I1I21-7矢量场的环量与旋度第三十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期日WhereentheunitvectoratthedirectionaboutwhichthecirculationofthevectorAwillbemaximum,andSisthesurfaceclosedbytheclosedlinel.

Themagnitudeofthecurlvectorisconsideredasthemaximumcirculationaroundtheclosedcurvewithunitarea.

Curlisavector.IfthecurlofthevectorfieldAisdenotedby.ThedirectionisthattowhichthecirculationofthevectorAwillbemaximum,whilethemagnitudeofthecurlvectorisequaltothemaximumcirculationintensityaboutitsdirection,i.e.Curl第四十页，共七十一页，编辑于2023年，星期日Inrectangularcoordinates,thecurlcanbeexpressedbythematrixasorbyusingtheoperatorasCurl（Continued）第四十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期日

旋度是一个矢量。以符号

curlA

表示矢量

A

的旋度，其方向是使矢量

A

具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即式中curl是旋度的英文字；en

为最大环量强度的方向上的单位矢量，S

为闭合曲线

l

包围的面积。

矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。

en1en2en旋度第四十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期日直角坐标系中，旋度可用矩阵表示为

或者

无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。

函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前述的梯度、散度或旋度。

旋度（续）第四十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期日Stokes’Theorem

or

AsurfaceintegralcanbetransformedintoalineintegralbyusingStokes’theorem,andviseversa.Fromthepointoftheviewofthefield,Stokes’theoremestablishestherelationshipbetweenthefieldintheregionandthefieldattheboundaryoftheregion.第四十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期日旋度定理（斯托克斯定理）

从数学角度可以认为旋度定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为旋度定理建立了区域

S中的场和包围区域

S

的边界

l上的场之间的关系。因此，如果已知区域

S中的场，根据旋度定理即可求出边界

l

上的场，反之亦然。或者第四十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期日Thegradient,thedivergence,orthecurlisdifferentialoperator.Theydescribethechangeofthefieldaboutapoint,andmaybedifferentatdifferentpoints.Theydescribethedifferentialpropertiesofthevectorfield.Thecontinuityofafunctionisanecessaryconditionforitsdifferentiability.Hence,alloftheseoperatorswillbeuntenablewherethefunctionisdiscontinuous.Summary第四十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期日例试证任何矢量场A

均满足下列等式式中，S为包围体积V

的闭合表面。此式又称为矢量旋度定理，或矢量斯托克斯定理。证设C为任一常矢量，则SVA练习（见P406公式）第四十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期日根据散度定理，上式左端

那么对于任一体积V，得求得练习（续）第四十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期日ExerciseP41:Problem1-5,Problem1-8,Problem1-15(a)(c),Problem1-18;第四十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期日

Thefieldwithnull-divergenceiscalledsolenoidalfield(orcalleddivergence-freefield),andthefieldwithnull-curliscalledirrotationalfield(orcalledlamellarfield).1-8

Solenoidal&IrrotationalFieldsThedivergenceofthecurlofanyvectorfieldAmustbezero,i.e.whichshowsthatasolenoidalfieldcanbeexpressedintermsofthecurlofanothervectorfield,orthatacurlyfieldmustbeasolenoidalfield.第五十页，共七十一页，编辑于2023年，星期日1-8

Solenoidal&IrrotationalFieldsProof:S1S21.Integratetheleftside(usedivergencetheorem):2.SurfaceScanbedividedintoS1andS2,byusingStokes’theorem,weobtain:So,lenen第五十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期日 Whichshows

thatanirrotationalfieldcanbeexpressedintermsofthegradientofanotherscalarfield,oragradientfieldmustbeanirrotationalfield.Thecurlofthegradientofanyscalarfieldmustbezero,i.e.1-8

Solenoidal&IrrotationalFields

(Continued)第五十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期日

散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。

1-8无散场和无旋场可以证明

上式表明，任一矢量场A的旋度的散度一定等于零

。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。第五十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期日

上式表明，任一标量场

的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。

又可证明1-8无散场和无旋场（续）第五十四页，共七十一页，编辑于2023年，星期日1-9Green’sTheorems(Scalar)

Thefirst

scalarGreen’stheorem:SV,or whereSistheclosedsurfaceboundingthevolumeV,thesecondorderpartialderivativesoftwoscalarfieldsandexistinthevolumeV,andisthepartialderivativeofthescalarinthedirectionof,theoutwardnormaltothesurfaceS.

TwoscalarfieldsandexistinthevolumeV,Theysatisfy第五十五页，共七十一页，编辑于2023年，星期日

ThesecondscalarGreen’stheorem:1-9Green’sTheorems(Scalar)

or第五十六页，共七十一页，编辑于2023年，星期日1-9格林定理(标量)

设任意两个标量场及，若在区域

V

中具有连续的二阶偏导数，可以证明该两个标量场及满足下列等式SV,式中S

为包围V的闭合曲面；为标量场

在S表面的外法线en

方向上的偏导数。第五十七页，共七十一页，编辑于2023年，星期日根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成上两式称为标量第一格林定理。基于上式还可获得下列两式：上两式称为标量第二格林定理

1-9格林定理(标量)

第五十八页，共七十一页，编辑于2023年，星期日Thefirst

vectorGreen’stheorem:whereSistheclosedsurfaceboundingthevolumeV,thedirectionofthesurfaceelementdSisintheoutwardnormaldirection,andthesecondorderpartialderivativesoftwovectorfieldsPandQexistinthevolumeV1-9Green’sTheorems(Vector)

Thesecond

vectorGreen’stheorem:第五十九页，共七十一页，编辑于2023年，星期日

设任意两个矢量场P与Q

，若在区域V中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场P及Q满足下列等式：式中S

为包围V

的闭合曲面；面元dS的方向为S

的外法线方向。上式称为矢量第一格林定理。

1-9格林定理(矢量)

第六十页，共七十一页，编辑于2023年，星期日基于上式还可获得下式：此式称为矢量第二格林定理。1-9格林定理(矢量)

第六十一页，共七十一页，编辑于2023年，星期日allGreen’stheoremsgivetherelationshipbetweenthefieldsinthevolume

VandthefieldsatitsboundaryS.ByusingGreen’stheorem,thesolutionofthefieldsinaregioncanbeexpandedintermsofthesolutionofthefieldsattheboundaryofthatregion.Greentheoremalsogivestherelationshipbetweentwoscalarfieldsortwovectorfields.Consequently,ifonefieldisknown,thenanotherfieldcanbefoundoutbasedonGreentheorems.1-9Green’sTheorems(Summary)

第六十二页，共七十一页，编辑于2023年，星期日

格林定理建立了区域

V中的场与边界

S上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。

格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。1-9格林定理(小结)

第六十三页，共七十一页，编辑于2023年，星期日1-10

UniquenessTheoremforVectorFields

Foravectorfieldinaregion,ifitsdivergence,rotation(Curl),andthetangentialcomponentorthenormalcomponentattheboundaryaregiven,thenthevectorfieldintheregionwillbe