电工学第二章测试系统的特性

电工学第二章测试系统的特性第一页，共四十页，编辑于2023年，星期日一测试系统1、定义：回顾一下测试系统的组成指示仪（模拟）指示仪传感器放大电源记录仪（数字）PC单片机非电量电信号被测量第二页，共四十页，编辑于2023年，星期日测试装置输入x输出y这样，系统的特性包括：a）输入特性；b）传递特性c）输出特性可以简单的表示成：静态特性：被测量不随时间变化或缓慢变化时，y与x之间的关系，用代数方程表示。动态特性：被测量随时间迅速变化，y与x之间的关系，微分方程表示静态特性动态特性第三页，共四十页，编辑于2023年，星期日2-1测试系统的静态特性输入x与输出y不随时间变化时，可以用代数方程y=Sx表示系统的静态特性，称为静态特性方程。例：称不同重量的物体时，弹簧秤表现出的特性，就是测试系统（弹簧秤）的静态特性。因为物体的重量是恒定的，不随时间变化的。第四页，共四十页，编辑于2023年，星期日一、静态特性指标1、灵敏度：灵敏度是指测试装置在静态测量时，输出增量Δy与输入增量Δx之比，即

S＝Δy/Δx

线性装置的灵敏度S为常数，是输入与输出关系直线的斜率。非线性装置的灵敏度S是一个变量，输入量不同，灵敏度就不同，通常用拟合直线的斜率表示装置的平均灵敏度。y0x拟合曲线实测曲线第五页，共四十页，编辑于2023年，星期日灵敏度的量纲由输入和输出的量纲决定。若输出和输入的量纲相同，则称放大倍数。应该注意的是，装置的灵敏度越高，就越容易受外界干扰的影响，即装置的稳定性越差，同时测量范围越小。F还是以弹簧为例：F=KXX=(1/K)F,这里，x是输出量，F是输入量。S=1/K=a/b,这里a,b是由K决定的常数第六页，共四十页，编辑于2023年，星期日2、线性度：理想的测试装置静态特性曲线是条直线，但实际上大多数测试装置的静态特性曲线是非线性的。实际特性曲线与拟合直线偏离的程度称为线性度，用线性误差表示为δL＝ΔLm/A×100％ΔLm：实际曲线与拟合直线的最大偏差，实际曲线也被称为标定曲线

A：输出量程

应当注意，量程越小，线性化带来的误差越小，因此要求线性化误差小的场合可以采取分段线性化。yymxA0xm拟合曲线标定曲线△Lm第七页，共四十页，编辑于2023年，星期日3、回差：实际测试装置在输入量由小增大和由大减小的测试过程中，对于同一输入量会得到大小不等的输出量，在全部测量范围内，这个差别的最大值与标称输出范围之比称回差。即δh＝hm/ym×100％,hm:正反行程的最大差值，ym：标称输出范围回差是由迟滞现象产生的，即由于装置内部的弹性元件、磁性元件的滞后特性以及机械部分的摩擦、间隙、灰尘积塞等原因造成的。ymyhmxmx04、漂移：指输入量不变时，经过一定的时间后输出量产生的变化。由于温度变化而产生的漂移称温漂。5、分辨力：指仪器可能检测出的输入信号最小变化量。分辨力除以满量程称分辨率。第八页，共四十页，编辑于2023年，星期日2-2测试系统的动态特性

动态测量时，被测信号随时间迅速变化，系统特性就必须用微分方程描述。通常我们希望测试系统为理想的线性时不变系统。一、线性系统输入的加权得到输出的加权；假设：系统x1(t)Y1(t)系统x2(t)Y2(t)系统ax1(t)+bx2(t)Y(t)Y(t)=aY1(t)+bY2(t)第九页，共四十页，编辑于2023年，星期日判断：(1)y=2x+3(2)y=2x(3)y=x2解：（1）x1(t)Y1(t)=2x1(t)+3x2(t)Y2(t)=2x2(t)+33x1(t)+4x2(t)Y(t)=2[3x1(t)+4x2(t))]+3=6x1(t)+8x2(t)+3如果为线性系统，其输出应为：Y3(t)=3y1(t)+4y2(t)=6x1(t)+9+8x2(t)+12=6x1(t)+8x2(t)+21Y(t)不等于Y3(t),所以系统为非线性系统第十页，共四十页，编辑于2023年，星期日x2(t)Y2(t)=2x2(t)Y1(t)=2x1(t)（2）x1(t)3x1(t)+4x2(t)Y(t)=2[3x1(t)+4x2(t))]=6x1(t)+8x2(t)=3y1(t)+4y2(t)所以该系统为线性系统(3)很明显是非线性系统时不变系统是指输入的延时得到输出的延时。时不变线性系统满足叠加性，比例特性，频率保持性。频率保持性指时不变线性系统稳态输出信号频率与输入信号的频率相同。如果系统处于线性工作范围内，输入信号频率已知，则输出信号与输入信号有相同的频率分量。如果输出信号中出现与输入信号频率不同的分量，说明系统中存在着非线性环节或超出了系统线性工作范围。

这就是说加于常系数线性系统的各输入分量所引起的输出是互不影响的。因此，分析常系数线性系统在复杂输入作用下的总输出时，可以先将复杂的输入量分解成许多简单的输入分量，求出每个简单输入分量得输出，再对这些输出求和。第十一页，共四十页，编辑于2023年，星期日二、系统传递特性的描述用：any(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(0)(t)=bmx(m)(t)+bm-1x(m1)(t)+…+b1x(1)(t)+b0x(0)(t)微分方程来描述系统的传递特性。系统为线性时不变系统时，该方程为常系数微分方程。从系统的微分方程中需要掌握：n>m,且n代表系统微分方程的阶次；比如：y(t)=kx(t)是零阶系统；（代数方程）a1y/+a0y=b0x(t)是一阶系统a2y//+a1y/+a0y=b0x(t)是二阶系统通常系统中有n个储能元件，便是n阶系统。an，an-1…a0和bm，bm-1…b0是由系统本身结构特性（物理元件的参数）唯一确定的常数。第十二页，共四十页，编辑于2023年，星期日若初始条件为零，也即x(0)=y(0)=0，而且x(0)与y(0的各阶导数也为零，对该方程两边作拉普拉斯变换，上式定义为系统的传递函数。传递函数的特点：1）H(S)与输入量无关；2）不同的物理系统可以有相同的传递函数。Y(s)y/(t)sY(s)y(t)y//(t)s2Y(s)…得到：式2－2各种具体的物理系统，只要具有相同的微分方程，其传递函数也就相同，即同一个传递函数可表示不同的物理系统。例如，液柱温度计和简单的RC低通滤波器同是一阶系统，具有相同的传递函数；动图式电表、振动子、弹簧－质量－阻尼系统和LRC振荡电路都是二阶系统，具有相同的传递函数。第十三页，共四十页，编辑于2023年，星期日3）传递函数与微分方程是等价的。由于拉普拉斯变换是一一对应变换，不丢失任何信息，故传递函数与微分方程完全等价。

Y(S)=H(S).X(S)。如果已知H(S),和输入x(t)，可以先求X(S)，由上式求出Y(S），然后通过拉普拉斯反变换，求出y(t),这样就避开了求解微分方程的难题。第十四页，共四十页，编辑于2023年，星期日三、频率响应若系统是稳定的，那么将s＝jω代入式2－2，得H(jω)称为系统的频率响应函数。注意：这两个变换存在的条件不同。由线性时不变系统(LTI)的频率保持特性可知：X=sintLTI系统Y=Asin(t+φ)H(jω)给出了不同频率的成分通过系统时的A(ω),φ(ω);H（jω）=A（ω）ejφ(ω),即H(jω)是ω的函数第十五页，共四十页，编辑于2023年，星期日同时，H（jω）的复数形式可以表示为：H（jω）=P（ω）+jQ（ω），A(ω)表示输出与输入的幅值比随频率ω变化的关系，称为系统的幅频特性,表现了不同频率成分通过系统的放大倍数。Φ(ω)表示输出与输入的相位差随频率ω变化的关系，称为系统的相频特性，表现了不同频率成分通过系统的相位角变化（延时）。第十六页，共四十页，编辑于2023年，星期日用频率响应函数来描述系统的最大优点是它可以通过实验来求得。实验求得频率响应函数的原理，比较简单明了：依次用不同频率ωi的简谐信号去激励被测系统，同时测出激励和系统的稳态输出的幅值Xi、Yi和相位差φi。这样对于某个ωi，便有了一组Yi/Xi=Ai和φi，全部的Ai-ωi和φi-ωi，i=1,2,3,…便可表达系统的频率响应函数。

需要特别指出，频率响应函数是描述系统的简谐输人和相应的稳态输出的关系。因此，在测量系统频率响应函数时，应当在系统响应达到稳态阶段时才进行测量。

尽管频率响应函数是对简谐激励而言的，但如前所述，任何信号都可分解成简谐信号的叠加。因而在任何复杂信号输人下，系统频率特性也是适用的。这时，幅频、相频特性分别表征系统对输人信号中各个频率分量幅值的缩放能力和相位角前后移动的能力。

第十七页，共四十页，编辑于2023年，星期日3－1.频率响应的图形表示法

⑴幅频特性曲线和相频特性曲线。以ω为自变量，以A（ω）和φ（ω）为因变量画出曲线。它表示输出与输入的幅值比和相位差随频率ω的变化关系。⑵波特图。对自变量ω取对数lgω作为横坐标，以20lgA(ω)和φ(ω)作纵坐标，画出的曲线。它把ω轴按对数进行了压缩，便于对较宽范围的信号进行研究，观察起来一目了然，绘制容易，使用方便。

⑶奈奎斯特图。将H（jω）的虚部和实部分别作为纵横坐标画出的图形。它反映了频率变化过程中系统过程中系统响应H（jω）的变化。第十八页，共四十页，编辑于2023年，星期日（1）一阶系统的频率响应对上式两边取拉氏变换得

令s=jω,代入上式，得频率响应函数

3－2.常见的测试装置的频率响应K：刚度C：阻尼系数X(t)力y(t)位移KC由力平衡可得：Cy/+K.y=x(t)令S＝1/k;τ＝C/k;则左式为：第十九页，共四十页，编辑于2023年，星期日φ（ω）＝∠H（jω）＝－arctg（ωτ）一阶系统的幅频特性曲线和相频特性曲线如上图所示。可见：①幅值比A（ω）随ω的增大而减小。A（ω）和φ（ω）的变化表示输出与输入之间的差异，称为稳态响应动态误差。②系统的工作频率范围取决于时间常数τ。在ωτ较小时，幅值和相位得失真都较小。当ωτ一定时，τ越小，测试系统的工作频率范围越宽。因此为了减小一阶测试系统得稳态响应动态误差，增大工作频率，应尽可能采用时间常数τ小的测试系统。一阶系统的频率响应曲线第二十页，共四十页，编辑于2023年，星期日例：用传递函数为的装置测量信号x(t)=0.6sin10t+0.6sin(100t-30°),试求稳态输出y(t);第二十一页，共四十页，编辑于2023年，星期日K：刚度C：阻尼系数X(t)力y(t)位移KCM（2）二阶系统的频率响应二阶系统中存在两个储能元件，故需能量在两个储能元件之间先达到动平衡，然后才会输出稳态响应；例：如右图所示的质量－弹簧－阻尼系统；令第二十二页，共四十页，编辑于2023年，星期日对二阶系统而言，主要的动态特性参数是系统固有频率ωn和阻尼系数ξ。固有频率为系统幅频特性曲线峰值点对应的频率，阻尼系数则可以由峰值点附近的两个半功率点的频率计算可见：①频率响应和阻尼率ξ有关。从幅频特性曲线可知：当ξ＞0.7时，幅值比A（ω）≤1，称为过阻尼；当ξ＜0.7时，在ω/ω0＝1处产生谐振，称为欠阻尼；谐振频率ωγ：对于欠阻尼系统，A（ω）有峰值，峰值对应的频率，称为谐振频率,ωγ低于固有频率ωn。当ξ＝0时，A（ω）＝∞，出现共振，称为无阻尼，此时，ωγ＝ω0。二阶系统的频率响应曲线第二十三页，共四十页，编辑于2023年，星期日从相频特性曲线可知：当ξ＝0时，在ω/ωn＝1处，ω从0→-180°，φ（ω）的变化情况与阻尼率有关，但在ω/ωn＝1时，对所有的ξ来讲都有φ（ω）＝-90°。

②频率响应与ωn有关。系统的频率响应不但随阻尼率ξ而变，同时随固有角频率而不同。固有角频率ωn越高，稳态动误差小的工作频率范围越宽，反之越窄。第二十四页，共四十页，编辑于2023年，星期日测试系统在典型输入下的响应1.单位脉冲响应若装置的输人为单位脉冲δ（t），因单位脉冲δ（t）的拉普拉斯变换为1，因此装置的输出y（t）的拉普拉斯变换必将是H（s），即Y（s）=H（s），或y（t）=L-1[H（S）]，并可以记为h（t），常称它为装置的脉冲响应函数或权函数。脉冲响应函数可视为系统特性的时域描述。

第二十五页，共四十页，编辑于2023年，星期日因为一阶系统的传递函数为：若系统灵敏度S=1，则响应速度：工程中采用时间较短的脉冲信号近似单位脉冲。至此，系统特性在时域、频域和复数域可分别用脉冲响应函数h（t）、频率响应函数H（ω）和传递函数H（s）来描述。h（t）和传递函数H（s）是一对拉普拉斯变换对；h（t）和频率响应函数H(ω)又是一对博里叶变换对。第二十六页，共四十页，编辑于2023年，星期日2.阶跃响应若系统的输入信号为单位阶跃信号，即x(t)=u(t)，则X(s)=1/s，此时Y(s)=H(s)/s，有y（t）=L-1[H(s)/s]。

第二十七页，共四十页，编辑于2023年，星期日二阶系统的单位阶跃响应：分析固有频率ωn：又称无阻尼固有频率；振荡频率ωd：又称有阻尼固有频率；谐振频率ωr：A(ω)峰值处的频率；当ξ＝0时，无阻尼系统，ωn＝ωr当ξ<<1时，也认为ωn约等于ωr第二十八页，共四十页，编辑于2023年，星期日输出最大值ym(t)与稳态值y(∞)之差称为最大过冲量M1,而M1与y(∞)之比的百分数称为超调量。1）ξ》1,系统无超调，无振荡，到达稳态的时间长；2）ξ《1,系统超调100%,持续振荡；当ξ＝0时，达不到稳态。3）ξ＝0.6-0.8时，超调量约为2.5%-10%,通常以<2%作为稳态指标；此时系统达到稳态时间最短第二十九页，共四十页，编辑于2023年，星期日由p.30图2-14可知:响应速度与ξ有关。当ξ>1时，阶跃响应的振幅不会超过稳态值。响应速度与固有频率ωn有关，当ξ一定时，ωn越高，响应速度越快。第三十页，共四十页，编辑于2023年，星期日第三十一页，共四十页，编辑于2023年，星期日第三十二页，共四十页，编辑于2023年，星期日第三十三页，共四十页，编辑于2023年，星期日2-4不失真测试的条件设有一个测试系统，其输出y(t)与输入x(t)满足关系y(t)=A0x(t-t0)（式2-3）其中，A0，t0都是常数，此式表明该测试系统的输出波形与输入信号的波形精确地一致，只是幅值放大了A0倍，在时间上延迟了t0而已（如下图所示）这种情况下，我们认为测试系统具有不失真的特性，椐此来考察测试系统不失真测试的条件。第三十四页，共四十页，编辑于2023年，星期日对式2-3做傅立叶变换，如下：

考虑到测试系统的实际情况，当t<0时，x(t)=0，y(t)=0，于是有第三十五页，共四十页，编辑于2023年，星期日A（ω）不等于常数时所引起的失真称为幅值失真，φ(ω)与ω之间的非线性关系所引起的失真称为相位失真。其物理意义是：输入信号中各频率成分的幅值通过此系统所乘的系数相同，即幅频特性具有无限宽的通频带；输入信号中各频率成分的相位角在通过此系统时作与频率成正比的滞后移动，滞后的时间都相同，即相频特性是通过原点向负方向发展的直线。由此可见，若要测试系统的输出波形不失真，则其幅频特性和相频特性应分别满足A(ω)=常数φ(ω)=-t0ωA(ω)ωωφ(ω)第三十六页，共四十页，编辑于2023年，星期日实际测量装置不可能在非常宽广的频率范围内都满足上式的要求，所以通常测量装置既会产