电子声子相互作用

电子声子相互作用第一页，共三十一页，编辑于2023年，星期日由于纵声学模伴随晶体体积和晶格常数的局域变化，因此，将发生移动电子与声子相互作用的形变势模型在长波近似下电子与声子互作用的二次量子化表示为：第二页，共三十一页，编辑于2023年，星期日第三页，共三十一页，编辑于2023年，星期日代表电子代表空穴以上是Hep的一级微扰过程，它用于解释晶体的输运特性。电子-声子互作用的高阶微扰过程由上述基本过程组成第四页，共三十一页，编辑于2023年，星期日（a）先发射后吸收q声子，物理实质是电子带着晶格畸变运动，对电子自能产生修正。（b）为电子系统对声子扰动场的屏蔽，将改变离子间的互作用势，从而对声子频率产生修正。（c）两个电子通过声子的间接互作用，在一定条件下将成为电子之间的有效吸引势，它是产生超导电性的主要机制。第五页，共三十一页，编辑于2023年，星期日2、电子与声频支声子的相互作用

形变势模型是电子与声子互作用的连续模型更严格的推导应当从晶格模型出发；对于简单晶格只有声频支振动。*当离子不动时，电子与离子的互作用为：*实际上离子在不断地振动，互作用为：能带电子与晶格振动的相互作用势为第六页，共三十一页，编辑于2023年，星期日若选布洛赫函数作为电子系统二次量子化态向量的基函数，则从单体势容易求出用电子算符表示的电子-声子互作用第七页，共三十一页，编辑于2023年，星期日由晶体的周期性边界条件得：对离子势作傅里叶展开为简单起见，用平面波代替布洛赫函数，取得到晶格模型中电子与声子互作用的哈密顿第八页，共三十一页，编辑于2023年，星期日其中利用了剩下的问题是如何选取倒格矢Kn。当采用简约区方案时，Kn的选取应保证散射后的电子态也在第一布里渊区内。现在分两种情况讨论：（1）第九页，共三十一页，编辑于2023年，星期日*对于金属，采用集体坐标表示。设金属为单价，电子与离子间互作用取库仑势（2）kk’第十页，共三十一页，编辑于2023年，星期日由于从k到k’为大角度散射，显然散射前后电子速度发生了大角度偏转，故常称的过程为U过程或倒逆过程U过程主要在高温大q时存在，对金属的高温特性有重要影响电子-声子互作用过程的守恒定律*散射前后能量守恒电声子作用的实（可观察的）过程和虚（不观察的）过程对于实过程：电声子散射两次平均时间间隔：第十一页，共三十一页，编辑于2023年，星期日3、声子的自能修正电子系统对声子扰动场的屏蔽，将改变离子间的互作用势，从而对声子频率产生修正。

考虑单价金属，设N个离子组成的简单晶格浸没在均匀电子气体中与电子集体振荡相似，未微扰的LA声子频率在长波范围内为这里取单体积，N=-1，为正点阵元胞体积。LA声子的哈密顿：第十二页，共三十一页，编辑于2023年，星期日集体坐标表示的电子与声子互作用为金属的总哈密顿量根据海森伯方程：可导出运动方程第十三页，共三十一页，编辑于2023年，星期日晶格振动必然产生离子密度的起伏，可用离子密度的傅里叶分量表示。这个起伏的效果相当于对电子气体加上一外扰动场，引起电子气体的响应运动。（1）晶格振动位移将产生极化由极化可得到离子密度傅里叶展开第十四页，共三十一页，编辑于2023年，星期日（2）由于离子运动比电子运动慢得多，因此，离子运动产生的当作“静态试探电荷”，可用线性响应理论处理：令由以上方程可得到于是得到第十五页，共三十一页，编辑于2023年，星期日这样可得运动方程的右边为计及电子的屏蔽后，LA声子的运动方程为由此得LA声子的频率为如果取托马斯-费米介电函数式第十六页，共三十一页，编辑于2023年，星期日则在长波范围内最后得到LA声子的色散关系这就是著名的玻母-司台夫(Bohm-Staver)声速公式第十七页，共三十一页，编辑于2023年，星期日4、电子与光频声子的相互作用离子晶体中的光频支纵振动会产生极化电场它将对离子晶体中的传导电子产生强烈的耦合作用。耦合作用比LA声子对传导电子的作用强得多。因此，主要是LO声子与传导电子的相互作用对离子晶体中的载流子特性产生影响。在长波近似下，LO声子的位移场可写为：这里M为折合质量，这里还忽略了L对q的依赖关系。第十八页，共三十一页，编辑于2023年，星期日光频支纵振动位移所产生的电场设晶体的体积V=N=1，那么LO声子的极化电场可写为若设电场的势第十九页，共三十一页，编辑于2023年，星期日则由与前面方程对照可知：电场的势为：-e(r)代表r处电子受LO声子作用的势能，即电子与LO声子的相互作用当uk(r)取自由电子近似时，对于N过程电子与LO声子的相互作用第二十页，共三十一页，编辑于2023年，星期日电子自能修正计算当电子在离子晶体中运动时，将使周围的正、负离子产生相对位移，形成介质的局域极化，激发LO声子。电子带着晶格极化运动，必将改变电子的基态能量和有效质量。（电子+极化）的实体称为极化子(Polaron)极化子是电子与LO声子相耦合系统的准粒子。当极化的范围比晶格常数大很多时称为大极化子，反之为小极化子。设导带底|k>状态上有一个电子，其能量为称为慢电子，m为能带电子的有效质量。当T=0K时声子处于真空态|0>,故不计互作用时系统的状态为大极化子的H.Fröhlich微扰处理方法第二十一页，共三十一页，编辑于2023年，星期日设电子与声子的相互作用比较弱，则可用微扰论计算Hep对电子状态和能量的修正代表准至Hep

一阶的波函数。这里只考虑到初态为真空态。准至二阶的电子能量为：考虑到被积函数随q增大快速下降，积分的上限可取q=第二十二页，共三十一页，编辑于2023年，星期日其中是量纲为1的耦合常数电子与LO声子相互作用使导带的带边能量降低，而有效质量则相应地增大：在电子周围所激发的平均声子数为：不是实的声子，不可能被测得。微扰处理方法只适应于<1的情况。第二十三页，共三十一页，编辑于2023年，星期日5、有效电子-电子相互作用多电子系统与声子互作用情况一个电子发射的虚声子可能被另一个电子所吸收，从而产生电子与电子之间的有效相互作用。也就是一个电子发射虚声子，即在这个电子周围产生了晶格形变或极化，当另一个电子也走近形变区，它将受吸引或排斥，但这不是电子间的直接库仑作用，而是一项全新的通过晶格振动传递的有效作用。第二十四页，共三十一页，编辑于2023年，星期日我们讨论单价金属中电子与LA声子的互作用1.电子-电子有效作用的微扰估计H.Fröhlich首先利用二级波恩散射矩阵对电子间交换LA声子的有效互作用进行了微扰估计，他按照下列图形所表示的两种虚声子过程（或中间过程）写出电子通过交换声子的互作用矩阵元为第二十五页，共三十一页，编辑于2023年，星期日其中初态和终态分别为：消去上式中的声子算符，用有效互作用矩阵元第二十六页，共三十一页，编辑于2023年，星期日H.Fröhlich作了大胆的猜测，他认为电子与电子的有效互作用哈密顿量可表示为其中是正是负直接决定非直接互作用是吸引还是排斥势当时，，在费米面附近宽度范围内电子间的有效互作用势为吸引互作用。当超过屏蔽库仑势时，金属中费米面附近的一对电子具有净吸引作用，形成电子对的束缚态，这就是Cooper对的来源。这是超导电性产生的基本原因第二十七页，共三十一页，编辑于2023年，星期日2.正则变换方法-中岛(S.Nakajima)变换即电子间有效互作用的严格推导电子-声子系统的总哈密顿对本征值为E的多体系统，，作正则变换

，可求出为变换后的哈密顿。且利用量子力学公式，可将变换后的Hs写为：第二十八页，共三十一页，编辑于2023年，星期日*假定H1是一阶项，可选择S使这样就严格地消去了电子-声子的一阶互作用项，然后讨论准至二阶的哈密顿其中包括了电子-声子系统的全部二级过程。变换的母函数S可假定为第二十九页，共三十一页，编辑于2023年，星期日将H1代入可得变换的母函数S被求出在中，包含了电声子相互作用的二级过程对电子自能和声子自能修正项必须去除对于求声子真空态的对角平均，可去掉以上项，求得只含电子算符部分最后可证明电子-声子-电子的有效互作用为：第三十页，共三十一页，编辑于2023年，星期日当