2020年四川省眉山市数学高二下期末统考试题含解析

2020年四川省眉山市数学高二(下)期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1i3i的模为()1．复数zB．15C．1105A．D．10510B{y|y2x,x0,2}2．设集合A{x|x12}，，则ABA．0,2B．1,3D1,4．C．1,33．已知M(2,m)是抛物线y24x上一点，则M到抛物线焦点的距离是（）A．2B．3C．4D．6，xy1，则的最大值为（）xy4．已知，xy0,B．12C．131A．1D．45．某村庄对改村内50名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示：每年体检每年未体检合计7c老年人年轻人a6bdf50合计e已知抽取的老年人、年轻人各25名.则完成上面的列联表数据错误的是()A．a18B．b19C．cd50D．fe22在复平面内对应的点在（）6．复数z1iA．实轴上B．虚轴上C．第一象限D．第二象限ADAE1AB1，将ADE沿直线DE27．在平行四边形ABCD中，BAD，点E在AB边上，3折起成ADE，F为AC的中点，则下列结论正确的是（）B．BF1A．直线与直线BF共面AE2C．AEC可以是直角三角形D．ACDE8．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的题问，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列统计结论是不正确的是()．A．样本中的女生数量多于男生数量B．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C．样本中的男生偏爱理科D．样本中的女生偏爱文科fxgxm，若函数至少存在一个零点，则实数xfxx2ex2mxlnx9．设函数3，记gx的取值范围是（）1e1A,eB0,e．．22eD111Ce．,e,e2．22eeef(x)eax2ax3,x(0,)，若f(x)有最小值，则实数的取值范围是（）a10．已知函数x2e1B,,11．,A．(-1,0)CD．．222211．某高中举办了一场中学生作文竞赛活动，现决定从参赛选手中选出一等奖一名获奖的学生为3男2女，其中一等奖、二等奖的奖项中都有男生，请计算一下这5名学生不同的获奖可能种数为（）、二等奖二名、三等奖二名，通过评委会获悉在此次比赛中A．12B．15C．18D21．12．若，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．数列a的前n项和记为S,a3,a2Sn1，则S__________.nnn1n1n14．如图所示，为了测量B北偏西、北15A，屿距离的，小A，分别在D处的明在D处观测，B偏东45方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测在BC处的正北方向，A在C处的北偏西60方向，则A，两处岛屿间的距离为B__________海里．f(x)2xecos2x15．设函数（e为自然对数的底数）的导函数为f(x)，则2x4f(0)_________.16“”．如图所示的数表为森德拉姆筛（森德拉姆，东印度学者），其特点是每行每列都成等差数列在此表.“121”___________.中，数字出现的次数为234567……35791116212631……1319253137……4710131619……13172125……5961113……7……三、解答题（本题包括6个小题，共70分）fx1x3ax4，aR.17．已知函数31f1（）若fx，求函数的单调递增区间；132fx（）若函数在区间上单调递增，a0,3求实数的取值范围.（其中，且为常数）.18．已知函数afxx121alnxxaRyfx（1）当a4时，求函数的单调区间；fx0成立，求的取值范围；ax1,（2）若对于任意的，都有在上有且只有一个实根，求的取值范围.afxa10x1,2（3）若方程fxxlnx.．（分）已知函数196fx（1）求的最小值；12x0,（2）证明：对一切，都有lnx成立.exex206．（分）将编号为1、2、3、4的四个小球随机的放入编号为1、2、3、4的四个纸箱中，每个纸箱有的纸箱放入的小球编号ii1,2,3,4且只有一个小球，称此为一轮“放球”．设一轮“放球”后编号为X1a2a3a4a定义吻合度误差为a为，i1234(1)写出吻合度误差X的可能值集合；(2)假设a,a,a,a等可能地为1，2，3，4的各种排列，求吻合度误差X的分布列；1234“放球”，若都满足3X7，试按(Ⅱ)中的(3)某人连续进行了四轮结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮“放球”相互独立)；x22costy12sintsin10．（设直角坐标216．（分）已知曲线C:1t（为参数），曲线C:4cos2系x正半轴与极坐系极轴重合）．CC（1）求曲线与直线的普通方程；12（2）若点P在曲线上，Q在直线上，求的最小值．C1CPQ2表面积为，球心为空间直角坐标系16OOxyz的原点，且球分别与O228．（分）如图所示，球的Ox,y,z轴的正半交轴交于面上一点（1）求两点在球上的球面距离；（2）过点A作平面DCB的垂线，垂足，求的.A,B,C三点，已知球D0,3,tt0D,CO并计算四面体ABCD的体积；H大小.坐标，H（3）求平面ADC与平面AOB所成锐二面角的参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．A【解析】分析：首先根据复数模的公式以及复数的除法运算公式，将复数z化简，然后利用复数模的公式计算求得复数z的模.详解：因z1i2i，所以z(32)2(3i3i(3i)(3i)101010112(3i)322)2255，10105故选A.点睛：该题考查的是有关复数代数形式的除法运算以及复数模的计算公式，在求解的过程中，需要保证公式的正确性，属于简单题目.2．C【解析】由x12，得：1x3,∴A1,3；∵x0,2∴，y21,4x∴AB1,3故选C3．B【解析】分析：直接利用抛物线的定义可得：点M到抛物线焦点的距离2p．p1详解：由抛物线方程可得抛物线y24x中，则利用抛物线的定义可得点M到抛物线焦点的距离2p213.．故选B.点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．D【解析】【分析】xy直接使用基本不等式，可以求出的最大值.【详解】11xy1时取2xy0,因为，，，所以有xy11xy2xyxy()2，当且仅当24D.等号，故本题选【点睛】本题考查了基本不等式的应用，掌握公式的特征是解题的关键.5．D【解析】分析：先根据列联表列方程组，解得a,b,c,d,e,f,再判断真假.a7c25,6bd25,a6e,7bf,cd50,ef50，详解：因为a18,b19,cd50,e24,f26,fe2所以D.选点睛：本题考查列联表有关概念，考查基本求解能力.6．B【解析】【分析】利用复数的乘法法则将复数z表示为一般形式，即可得出复数z在复平面内对应的点的位置．【详解】z1i212ii22i，对应的点的坐标为，所0,2对应的点在虚轴上，故选B．【点睛】本题考查复数对应的点，考查复数的乘法法则，关于复数问题，一般要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行解答，考查计算能力，属于基础题．7．C【解析】【分析】（1）通过证明A,E,B,F是否共面，来判断直线与直线BF是否共面；AE1AEC可以是直角三角形的条件是否能够满足；（4）特殊位置，证明BF是否成立；（3）寻找（2）取2用反证法思想，说明A'CDE能否成立．【详解】，B,C,E,A四点不共面，所以如图，因为E面，故直线A'E与直线BF不共面；ABC1ADE面BCDE，此时；ADE沿直线DE折起成ADE，位置不定，当面BF2AGDE，若有ACDE，则面AG,CG，则ACG取DE中点，连接DE即有DECG，在RtDGC中，CD2,DG,CDE6012明显不可能，故不符合；在AEC中，AC2AECAE1,CE3，而AC72，所以当时，可以是直角三角形；【点睛】本题通过平面图形折叠，考查学生平面几何知识与立体几何知识衔接过渡能力，涉及反证法、演绎法思想的应用，意在考查学生的直观想象和逻辑推理能力．8．D【解析】由条形图知女生数量多于男生数量，有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，男生偏爱理科，女生中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，所以选D.9．A【解析】g'(x)2x2e1lnx，设lnx试题分析：函数g(x)定义域是，(0,)g(x)x2exm，2xx2212lnx2x32lnx1lnxh(x)2x2e，则h'(x)23，设q(x)2x32lnx，3xxxxx2233326x32，q'(x)0x1(x)q()232ln110，即h(x)则q'(x)6x2q(x)0q，易知极小值3333333xxh'(x)0(0,)h(x)(0,)也即在上恒成立，所以在上单调递增，又h(e)0，因此e是的唯一点零，当0xe时，，当时，，所以在上递减，在上(e,)h(x)0xeh(x)0g(x)(0,e)11，．故2e22e2m0meg递增，(x)g(e)，函数g(x)至少有一个零点，则g(e)e极小值e选B．考点：函数的零点，用导数研究函数的性质．g(x)0的最小值不大于，【名师点睛】本题考查函数的点零的知识，考查导数的综合应用，题意只要函数212lnx2x332lnx，此g'(x)的正负与零点，又要对g'(x)求导，得g"(x)23因此要确定xx3x3q(x)2x32lnx，于是又一次求导，最终确定出函数时再研究其分子f(x)的最小值，本题解题时3多次求导，考查了学生的分析问题与解决问题的能力，难度较大．10．C【解析】【分析】在(0,)小于有解，于是0求出原函数的导函数，函数有最小值，则导函数转化为斜率问题求解得到答案.【详解】(x)e2ax2a，若f(x)有最小值，即f(x)在(0,)根据题意，得fx(x)在(0,)先小于，再大于，令f(x)0，得：ex2a(x1)，00上先递减再递增，即f令g(x)ex,h(x)2a(x1)，只需2ah(x)的斜率大于过1,0的的切线的斜率即可，设切点g(x)x,e1,0x=0，将代入切线方程得：，故切点为，yexex0(xx)00，1为，则切线方程为：x00001切线的斜率为，1只需2a1即可，解得：，故答案为C.a2【点睛】本题主要考查函数的最值问题，导函数的几何意义，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难.度较大11．B【解析】【分析】一等奖为男生，则从3个男生里选一个；二等奖有男生，可能是一男一女，可能是两男；剩下的即为三等奖的学生，依照分析求组合数即可【详解】由题可知，一等奖为男生，故C1；31个女生，故1CC二等奖可能为2个男生或1个男生，1212C1CC115故获奖可能种数为1，即选B1232【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，考查分12．C类求满足条件的组合数【解析】【分析】取特殊值进行验证即可。【详解】取代入，排除A、B、D，故选：C。【点睛】本题考查不等式的基本性质，不等式的基本性质、特殊值法是两种常用方法，但在利用特殊值法时取特殊值时要全面。二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．S3nn【解析】试题分析：由a2S可得：SS2S，所以S3,则数列S是等比数列，首项为3，公比nn1Sn1nn1nnn为3，所以S3n。n考点：数列求通项公式。14．206【解析】分析：根据已知条件，分别在ADC和BDC中计算AD,BD，在ADB用余弦定理计算AB.详解：连接AB，由题可知CD40，ADC105，BDC45，BCD90，ACD30，ADB60，则DAC45ADCD得AD202在ADC中，由正弦定理sinACDsinDACBDC为等腰直角三角形，则BD402ABAD2BD22ADBDcosADB206在ADB中，由余弦定理得故答案为206.点睛：解三角形的应用问题，先将实际问题抽象成三角形问题，再合理选择三角形以及正、余弦定理进行.计算215．；2【解析】【分析】x0代入导函数中，即可求出'对函数求导，然后把f(0)的值.【详解】2x4f(x)2xecos2xf'(x)(4xex)cos2x22xesin2x，2x44f'(0)2222.222【点睛】本题考查了导数的有关运算，正确掌握导数的运算法则和常见函数的导数是解题的关键.161．【解析】【分析】是以为首项，公差为的等差数列，第列数组成的数列aj1,2,3,j第1行数组成的数列1j21ai1,2,3,ijj1j是以为首项，公差为的等差数列，求出通项公式，可求出结果．【详解】根据题意，第jai行第列的数记为．那么每一组ji与的组合就是表中一个数．ij是以为首项，公差为的等差数列，aj1,2,3,因为第一行数组成的数列1j21a2j1j1，所以1j是以为首项，公差为的等差数列，ai1,2,3,ijj1j所以第列数组成的数列jaj1i1jij1．所以ijaij1121.令ij则ij120235，则120的正约数有4×2×2=1个.3所以121在表中出现的次数为1次故答案为：1．【点睛】本题考查归纳推理的应用，涉及行列模型的等差数列应用,和正约数的个数的求解，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，三、解答题（本题包括6个小题，共70分）．（）的单调递增区间为和；（）2a0.171fx,22,【解析】【分析】1f(1)求得（）由a，求f(x)，由f(x)0可解得函数的增区间；13（）f(x)0在[0,3]上恒成立，转化为求函数最值即得．2【详解】f11（）若，则，a413fxx40，2,22,函数的单调递增区间为和；fx2fx（）若函数在区间上单调递增，0,3则fxxa0，2ax，则2x0,3因，则a0.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性．属于基础题．2a1Ⅱ）（Ⅲ）ln2,218．（Ⅰ）在（(2,)0,1），上单调递增，在（1,2）上单调递减（【解析】【试题分析】（）将a4代入fxalnxx1再求导，x12借助导函数值的符号确定函数1fxx124lnxx1的单调区间；（）借助问题（）的结论，对参数类讨论，最终a进行分21gxfxa10的零点的个数a确定参数的取值范围；（）依据题设条件将问题进行等价转化为3问题，再运用导数知识及分类整合思想进行分析探求：解：⑴函数的定义域为由知当时，所以函数在（0,1）上单调递增，在（1,2）上单调递减，在上单调递增（Ⅱ）由当时,对于恒成立,在上单调递增,此时命题成立;当时,在上单调递减,在上单调递增,当时,有.这与题设矛盾,不合.故的取值范围是（Ⅲ）依题意,设,原题即为若在上有且只有一个零点,求的取值范围.显然函数与的单调性是一致的.时,因为函数在上递增,由题意可知解得;‚当时,因为,当时,总有,此时方程没有实根。综上所述,当时,方程在上有且只有一个实根。答本题的第一问时，先将a4代入fxx1alnxx1再求点睛：解2导，借助导函数值的符fxx14lnxx1的单调a号确定函数2区间；求解第二问时，借助问题（）的1结论，对参数进行分类讨论，最终确定参数条件将问题进行等价转化为a的取值范围；解答第三问时，依据题设gxfxa10的零点的个数问题，再运用导数知识及分类整合思想进行分析探求，从而求出参数的取值范围。11f()19．(I).（Ⅱ）见解析.ee【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．（2）12x2lnx·x，结合（1）中结论可知，构exee1x(0,)对一切lnxexexlnx·x…，都有成立，即x2造新函数m(x)，分析其最大值，可得答案．exe【详解】f(x)的定义域为(0,)，f(x)的导数f(x)1lnx．（1）令f(x)0，解得；1xe10x．令f(x)0，解得e11f(x)在(0,)单调递减，在(，)单调递增．ee从而1所以，当时，f(x)取得最小值．e1ex12（2）若lnxexexx2则lnx·xexe，11时，取最小值；lnx·x…x，当且仅当由（1）得：eex2设m(x)m(x)1x，exexe，则x(0,1)时，m(x)0，单调递增，m(x)x(1,)时，m(x)0，单调递减，m(x)1故当x1时，取最大值m(x)e12x(0,)，都有lnxexex故对一切成立．【点睛】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最值问题中的应用，属于难题．16.(2)见解析(3)8120．(1){0,2,4,6,8}P【解析】【分析】【详解】1a1a1a1a的奇偶性相同，误差241试题分析：（）根据题意知与X只能是偶数，由此写132出X的可能取值；（）用列举法求出基本事件数，利用古典概型概率公式计算对应的概率值，写出随机3P3X7PX4PX6X的分布列；（）利用互斥事件的概率公式计算变量79224243.，再利用对立事件的概率公式求解a,aa,a试题解析：(1)由于在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，所以中的奇数的个数与中偶数的2413个数相同．1a1a1a1a的奇偶性相同，从而24因此，与吻合度误差13X1a2a3a4a只能是偶数，又因为X的值非负且值4不大于1．因此，吻合度误差1230,2,4,6,8.X的可能值集合表示编号为1、2、3、4的四个纸箱中放入的小球编号分别为，则所有可a,a,a,a3a,a,a,a(2)用1241234能的结果如下:1,2,3,41,2,4,31,3,2,41,3,4,21,4,3,21,4,2,32,1,3,42,1,4,32,3,1,42,3,4,12,4,3,12,4,1,33,1,2,43,1,4,23,2,1,43,2,4,13,4,2,13,4,1,24,1,2,34,1,3,24,2,1,34,2,3,14,3,2,14,3,1,2PX47，，241PX0PX23易得，2424PX69，PX842424于是，吻合度误差X的分布列如下:X0246117439P2424242424792P3X7PX4PX624243(3)首先，P1624381由上述结果和独立性假设，可得出现这种现象的概率为【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及随机变量的分布列，属于难题，利用古典概型概率公式,求概率时，(A,B)(A,B)找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….1112(A,B)1(A,B)(A,B)(A,B)依次(A,B)(A,B)….(A,B)…这样才能，…..避免多写、312n323n，再n2122漏写现象的发生.101C:(x2)(y1)