球面和共轴球面系统

球面和共轴球面系统第一页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.1光线经过单个折射球面的折射2.1.1符号规则（重点）2.1.2实际光线经过单个折射球面的光路计算公式2.1.3近轴光的光路计算公式一个物体经过特定光学系统的成像过程，实际是光线经过光学系统各个折射面折射后的综合效果。要知道具体的成像关系，需要逐个面进行光路计算。因此本章我们首先讨论单个折射球面的折射成像关系的计算，然后再过渡到整个系统的计算。本章主要讨论共轴折射球面子午面内的光路计算。第二页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.1.1符号规则图中OE为n和n’的分界面；C为球心；OC为球面曲率半径，大小为r；通过球心的直线是光轴，和球面的焦点为定点O。OA大小为L，称为物方截距；角EAO，大小为U，称为物方孔径角；OA’大小为L’，称为像方截距；角EA’O，大小为U’，称为像方孔径角。图2-1单个折射球面的有关参量第三页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.1.1符号规则实际计算中，仅仅了解这些参量的大小是不够的，我们需要知道物（像）点在折射面的左右，折射面的凹凸，光线在光轴的上下。。。等等信息，所以必须人为再给出一些符号法则来完善这些信息。具体规则如下：一般规定光是自左向右传播

1、对垂轴线段：以光轴为准，在光轴之上为“＋”，光轴之下为“－”；2、对沿轴线段：以顶点O为原点，顶点到光线与光轴交点的方向与光的传播方向相同则为“＋”，反之则为“－”；3、光线与光轴夹角（物方孔径角为U，像方孔径角为U‘）：由光轴转向光线，以锐角方向进行度量，顺时针为“＋”，逆时针为“－”；4、法线与光轴的夹角（ϕ）：由光轴以锐角转向法线，顺时针为“＋”，逆时针为“－”；5、光线与法线的夹角（入射角I、反射角I’、折射角I”）：由光线以锐角转向法线，顺时针为“＋”，逆时针为“－”；6、折射面之间的间隔（d）：由前一折射面的顶点到后一折射面的顶点方向与光线的传播方向一致为“＋”，反之为“－”。凸球面曲率半径为正，凹球面曲率半径为负第四页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.1.1符号规则注意，符号规则是人为规定的，不同的书上可能有所不同，但是在使用时只能使用其中一种，不能混淆。另外，在同一次光路计算当中，正方向（光线传播方向）的规定也最好是唯一的，不建议更换方向。第五页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.1.2实际光线经过单个折射球面

的光路计算公式物体位于有限远处第六页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.1.2实际光线经过单个折射球面

的光路计算公式当物在无限远时，L=−∞，设一条光线平行于光轴入射，入射高度为，则有：物体位于无限远处第七页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.1.2实际光线经过单个折射球面

的光路计算公式由上面提供的公式，我们可以由已知的L和U求出L’和U’。由以上公式可知，当L一定的时候，L’是U的函数，所以A点发出的同心光束，以不同的U角射到折射面再出射时，已经不再是同心光束了，同光轴有多个不同交点，说明成像已经不完善了，这就是所谓“球差”。可见，球差是折射球面的原理性误差。第八页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.1.3近轴光的光路计算公式我们假设A点发出的光线与光轴夹角U很小，则相应的角度I、I’和U’都很小，那么这些角度的正弦值就可以用弧度值来替代了，用小写字母i、i’、u和u’来表示。我们定义可以做这样近似的区域为“近轴区”或“傍轴区”。以上近似得到了一个非常大的好处：现在对于已知的l和u值，无论u为何值，l’为定值。表明轴上点在近轴区成像时，其像可认为是完善的，称为高斯像点，过高斯像点垂直于光轴的面称为高斯像面，构成物像关系的一对点称为共轭点。第九页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.1.3近轴光的光路计算公式根据近轴光路的计算公式有：lu=l’u’=h

以上三式是我们计算单折射球面物像之间关系的基本公式第十页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.1.3近轴光的光路计算公式该公式表示为不变量的形式，Q称为阿贝不变量，对于一个折射球面，物空间和像空间的Q值是相同的。不同的共轭关系点会对应不同的Q值，在日后的像差理论学习中有重要意义。该公式表示近轴光折射前后的孔径角u和u’之间的关系。该公式表示折射球面的物像位置l和l’之间的关系，是求高斯像面位置的公式。第十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.2单个折射球面的成像倍率、拉赫不变量2.2.1垂轴倍率β2.2.2轴向倍率α2.2.3角倍率γ2.2.4三个倍率之间的关系2.2.5拉格朗日-赫姆霍兹不变量

第十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.2.1垂轴倍率β定义：像的大小与物的大小比值。其数学表示形式为：β=y'/y近轴区有限大小的物体经过单个折射球面的成像从图中可见，根据三角形ABC与A’B’C相似有：第十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.2.1垂轴倍率β又根据阿贝不变量有：最常使用的公式要牢记！第十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.2.1垂轴倍率β由之前的公式，可以计算出β的具体数值，β的大小和符号有着十分重要的意义，我们用其来判断成像的状况！重要结论牢记！第十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.2.2轴向倍率α轴向放大率：表示光轴上一对共轭点沿轴向移动量之间的关系。它又分为二种情形来加以讨论：一为物体作微小移动；一为物体移动有限距离。1）物体作微小移动：根据轴向放大率的定义，利用高斯公式有：求导数上式就是沿轴向放大倍率的表示形式，显然其形式与垂轴放大率很相似，从而我们可以将此式再进行一下变换，得到β,α之间的关系：第十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.2.2轴向倍率α2）物体移动有限距离高斯公式β1为第一位置处的垂轴放大率；β2为第二位置处的垂轴放大率。第十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.2.3角倍率γ角放大率γ

：近轴区内，一对共轭光线的像方孔径角u与物方孔径角u’之比，即：第十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.2.4三个倍率之间的关系即轴向放大率与角放大率之积与垂轴放大率相等。第十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.2.5拉格朗日-赫姆霍兹不变量J称为拉赫不变量，说明在一对共轭空间内，y、u和n的乘积为常数。J用于描述物高、像高（反映的是视场的大小）；物方孔径角、像方孔径角（反映进入系统的能量多少）之间关系的物理量。第二十页，共三十五页，编辑于2023年，星期日例题2.1（课后习题第一题）平凸透镜r1=100mm，r2=，d=300mm，n=1.5，当物体在-∞时候1）求高斯像面的位置；2）在平面上刻十字，问其共轭像在什么位置；3）当入射高度为h=10mm，问光线的像方截距是多少？和高斯像面相比相差多少？说明什么问题？第二十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.3共轴球面系统2.3.1共轴球面系统的转面（或过渡）公式2.3.2共轴球面系统的拉赫不变量2.3.3共轴球面系统的倍率计算单个折射球面不能作为一个基本成像元件（反射镜例外，可以单面成像），基本成像元件是至少两个球面或非球面所构成的透镜。大部分透镜都由球面构成，加工方便，成本降低。第二十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.3.1共轴球面系统的转面（或过渡）公式复杂的系统由多个折射面构成，必须解决折射面与折射面之间的过渡问题。1、过渡公式：

假设系统由多个折射面k构成，各折射面的参量如下所示，分别为：分别为各折射面的曲率半径；折射面之间的间隔；介质折射率。第二十三页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.3.1共轴球面系统的转面（或过渡）公式那么对于近轴光来说，有：第二十四页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.3.1共轴球面系统的转面（或过渡）公式对于实际光线，公式同上，只不过，符号大写：设h为光线在折面上入射高度，则有：故有：第二十五页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.3.2共轴球面系统的拉赫不变量前面说了单个折射面的J，实际不仅对单个折射面J是个定值，对于整个系统而言，它也是个不变的量。系统的J：以上结论可以用于在光路计算过程中，验证每个成像空间的计算是否正确！第二十六页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.3.3共轴球面系统的倍率计算对于共轴球面系统，利用转面公式很容易证明三种倍率等于各个折射面相应倍率的乘积。三者的关系：证明过程在课本P26，请课后自行复习！第二十七页，共三十五页，编辑于2023年，星期日例题2.2一个玻璃棒（n=1.5）长500mm，两端为半球面，半径分别是50mm和100mm，物体高1mm，垂直于左端球面顶点之前200mm处的轴线上，试求：1）物体经过整个玻璃棒后成像的位置；2）整个玻璃棒的垂轴放大率是多少？第二十八页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.4球面反射镜前面指出，反射定律可认为是折射定律在n’=-n时的特例，因此，将之前的折射球面的计算公式代以n’=-n，可以得到相应的反射球面计算公式。2.4.1球面反射镜的物像位置公式2.4.2球面反射镜的成像倍率2.4.3球面反射镜的拉赫不变量第二十九页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.4.1球面反射镜的物像位置公式球面反射镜有二种：一为凸面镜；一为凹面镜。1、物像位置关系式：我们已知道折射面的物像位置关系式：由于反射是折射的特例，是n'=−n时的情况，代入上式就可得到：此公式需牢记！第三十页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.4.2球面反射镜的成像倍率同样将n’=-n代入折射球面倍率计算公式，有：由以上公式：1、因为沿轴倍率恒为负，物体与像运动的方向相反；2、特殊位置：当物体位于反射面球心时，像也在球心，此时反射球面为二者的等光程面。第三十一页，共三十五页，编辑于2023年，星期日2.4.3球面反射镜的拉赫不变量同样代入n’=-n，有：第三十二页，共三十五页，编辑于2023年，星期