第二节余弦定理(要点归纳夯实基础练)

第二节余弦定理【要点归纳】一、余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.二、余弦定理的推论1．余弦定理的变形：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).2．对余弦定理变形的理解(1)应用推论，可以由三角形的三边计算出三角形的三个内角．(2)定理及推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式．(3)余弦定理与勾股定理的关系在△ABC中，由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2－2a·b·0＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．3．三角形中三边平方关系决定三角形的形状设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则a2＋b2<c2⇔△ABC是钝角三角形，且角C为钝角；a2＋b2＝c2⇔△ABC是直角三角形，且角C为直角；a2＋b2>c2⇔△ABC是锐角三角形，且角C为锐角.eq\a\vs4\al([常用结论])1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB．2．三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．3．内角和公式的变形：(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC.4．角平分线定理：在△ABC中，若AD是角A的平分线，如图，则eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,DC).三、利用正、余弦定理判断三角形形状的常用结论1．若a＝b或(a－b)(b－c)(c－a)＝0，则△ABC为等腰三角形．2．若a2＋b2＝c2，则△ABC为以C为直角的直角三角形；3．若a2＋b2>c2，则△ABC中角C为锐角；若a2＋b2<c2，则△ABC为以C为钝角的钝角三角形．4．若(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，则△ABC为等腰三角形或直角三角形；5．若a＝b且a2＋b2＝c2，则△ABC为等腰直角三角形；6．若sin2A＝sin2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．【夯实基础练】1．(2022•天津市耀华中学高三第二次检测)已知△ABC的三边为a，b，c，且，△ABC面积为S，且，则面积S的最大值为()A． B． C．D．【解析】，所以，，即，显然A为锐角，，解得，，由，得，当时，取等号，，即.故选：C【答案】C2．(2022•陕西省西安中学高三三模)黑板上有一道解三角形的习题，求解过程是正确的，但一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在中，角、、的对边分别为、、，已知，…，解得，根据以上信息，你认为下面哪个选项不可以作为这个习题的其余已知条件()A．， B．C．， D．，【解析】对于A：因为，，，所以，又，所以，故A选项可以；对于B：因为，，所以根据正弦定理得，即，所以，又，所以，所以，故B选项可以；对于C：因为，，，所以根据正弦定理得，即，所以，又，且，所以或，故C选项不可以；对于D：因为，，，所以根据余弦定理得，又，所以，故D选项可以；故选：C.【答案】C3．(2022•吉林省东北师范大学附属中学高三第二次摸底考试)为加快推进“5G+光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个5G基站A，B，C，D．已知C，D两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为()A． B．C． D．【解析】在中，，所以，有，所以，在中，，由正弦定理，得，在中，由余弦定理，得，所以，即两个基站A、B之间的距离为.故选：D【答案】D4．(2022•黑龙江省鹤岗市第一中学高三(上)期末)的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，的周长等于()A． B． C．D．【解析】因为，且，可得，解得，又由余弦定理得，即，可得，所以，所以的周长为.故选：D.【答案】D5．(2022•黑龙江省哈三中第五次验收)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足，则___________.【解析】因为，所以由正弦定理得，又，所以可得，所以.故答案为：.【答案】6．(2022•陕西省西安市高新第一中学高三第八次大练习)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足，则___________.【解析】因为，所以由正弦定理得，又，所以可得，所以.故答案为：.【答案】7．(2022•长春外国语学校高三(下)期初考试)若的三内角，，满足：，则以为一内角且其对边长为的三角形的外接圆的面积为__________．【解析】设内角所对的边分别为a,b,c,由题设a=2k(k>0),则b=c=3k,,则,设所求三角形的外接圆半径为R,则,解得,所以三角形的外接圆的面积为,故填.【答案】8．(2022•北京师范大学附属实验中学高三(下)摸底考试)在中，，，，则_______；_________.【解析】由余弦定理得：==4，故；因为=，所以=.【答案】2,9．(2022•高考浙江卷)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．【解析】(1)由于，，则．因为，由正弦定理知，则．(2)因为，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面积．【答案】(1)；(2)．10．(2022•重庆市育才中学高三(下)入学考试)在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．(1)求角的大小；(2)求的最小值．【解析】(1)因为，所以，整理得，所以，又，所以．(2)因为，，所以，故，即，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4．【答案】(1)(2)411．(2022•重庆市第八中学高三(下)第二次调研检测)在中，角的对边分别是，的面积为.(1)若，，，求边；(2)若是锐角三角形且角，求的取值范围.【解析】(1)∵，∴，又，则或当时，；当时，∴或(2)由正弦定理得，，∵是锐角三角形，∴，，；∴，，；∴∴，∴∴的取值范围为.【答案】(1)或；(2),12．(2022•重庆市第八中学高三第五次月考)如图，四边形内接于一个圆中，其中为直径，，，.(1)求的长；(2)求的面积.【解析】(1)在中，由余弦定理得：，解得：，设为外接圆半径，由正弦定理得：，即.(2)为直径，，，，又，.【答案】(1)；(2).13．(2022•天津市耀华中学高三第三次月考)在中，角A，，的对边分别为，，，已知．(1)求角A的大小；(2)若，，求的面积．【解析】(1)，由正弦定理得：，即，因为，所以，解得：或-2(舍去)，因为，所以.(2)由余弦定理得：，解得：，所以，，所以【答案】(1)(2)14．(2022•天津市新华中学高三(上)期末)在中，角的对边分别为，已知的面积为，周长为.且.(1)求及的值；(2)求的值.【解析】(1)∴∴∴..(2)由(1)得，，∴∴，【答案】(1)；(2)15．(2022•四川省树德中学高三(下)开学考试)如图，已知平面四边形中，．(1)若，，求的面积；(2)若，，，求t的最大值．【解析】(1)由正弦定理可得∴，∴(2)中，由余弦定理得：，，∴∴，∴时，t的最大值是2．【答案】(1)；(2)2．16．(2022•山东省滕州市第一中学高三(下)开学考试)在中，角所对的边分别为，已知，且.(1)求的值；(2)若的面积，求的值.【解析】(1)由题意，结合余弦定理得，，所以.(2)由于，，，所以，，又，所以，.【答案】(1)6(2)17．(2022•辽宁省沈阳市第二中学高三二模)△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角C；(2)若，求的面积.【解析】(1)由已知及正弦定理，得，即.故，可得，∵，∴；(2)由已知及余弦定理得，，又，故，因此，，∴△的面积.【答案】(1)；(2).18．(2022•东北师大附中、黑龙江省大庆实验中学高三联合模拟考试)在中，，，分别是内角，，的对边，已知，，.(1)求的面积；(2)若是边上一点，且，求的长.【解析】(1)在中，由正弦定理及得：，由余弦定理得：，即，则，而，解得，，，所以的面积是.(2)由(1)及余弦定理得，而，则，在中，由余弦定理得，解得，所以的长为.【答案】(1)；(2).19．(2022•湖南省长郡中学高三第四次月考)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.(1)求角B的大小；(2)设a=2，c=3，求b和的值.【解析】(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．(Ⅱ)在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.20．(2022•湖南省雅礼中学高三第七次月考)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.(1)求角A的大小；(2)求的取值范围.【解析】(1)由，结合正弦定理可得：整理得：，即又，所以，又，故.(2)由余弦定理知：，再结合内角和定理：从而又因为，故，从而即取值范围为.【答案】(1)；(2).21．(2022•湖北省圆创联考高三(下)第二次联合测评)在中，，，所对的边分别为，，，且满足，．(1)求边长；(2)求面积的最大值．【解析】(1)由正弦定理知，，因为，所以，即，所以；(2)在中，由余弦定理得，∴(当且仅当取“=”)，∴，∴，又∵，∴，即面积最大值为.【答案】(1)1(2)22．(2022•黑龙江省哈六中高三(上)期末)如图所示，中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．Ⅰ求角C的大小；Ⅱ点D为边AC的中点，，求面积的最大值．【解析】Ⅰ．由正弦定理可得，，，故Ⅱ在中，设，，由余弦定理知，所以，，此时

，面积有最大值.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)23．(2022•河北省衡水中学高三二模)在中，角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，求面积的最大值及此时边，的值.【解析】(1)在中由正弦定理得：，，，化简得：.即∵，∴，∴，∵，∴.(2)由余弦定理得，又，∴，又，∴，则∴的面积最大值为，当且仅当时等号成立.即此时，.【答案】(1)；(2)的面积最大值为，此时，.24．(2022•海南省嘉积中学高三(下)四校联考)在中，内角的对边分别为，已知.(1)求角A的大小；(2)若的面积为，且，求的周长.【解析】(1)由正弦定理得：，即，，又，故.(2)由(1)知，，，，，故的周长为【答案】(1)(2)25．(2022•四川省南充高级中学高三第三次月考)已知中，，点在线段上，，．(1)求的大小；(2)求的面积．【解析】(1)∵，∴，(方法一)由正弦定理及得，，由正弦定理，可得，，∵，∴，即，得，∴；(方法二)由正弦定理，，得，，∵，∴，即，得，∴；(2)∵，∴，由余弦定理及得，，化简得，∴，或(舍去)，∴的面积．【答案】(1)；