对称式和轮换对称式及答案

对称式和轮换对称式一．填空题（共10小题）1．已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：_________．2．已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为_________．3．已知正数a，b，c，d，e，f满足=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）﹣（b+d+f）的值为_________．4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c=_________．5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22=_________．6．设a=，b=，c=，且x+y+z≠0，则=_________．7．已知，，其中a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c=_________．8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x=_________．9．若数组（x，y，z）满足下列三个方程：、、，则xyz=_________．10．设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz=_________．二．选择题（共2小题）11．已知，，，则的值是（） A． B． C． D．12．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（） A．672 B．688 C．720 D．750三．解答题（共1小题）13．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．

答案与评分标准一．填空题（共10小题）1．已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：．考点：对称式和轮换对称式。分析：首先将将三式全部取倒数，然后再将所得三式相加，即可得：++=+++，再整理，配方即可得：（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣1）2=0，则可得此三角形是边长为1的等边三角形，则可求得此三角形的面积．解答：解：∵a=，b=，c=，∴全部取倒数得：=+，=+，=+，将三式相加得：++=+++，两边同乘以2，并移项得：﹣+﹣+﹣+3=0，配方得：（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣1）2=0，∴﹣1=0，﹣1=0，﹣1=0，解得：a=b=c=1，∴△ABC是等边三角形，∴△ABC的面积=×1×=．故答案为：．点评：此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了配方法与等边三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是将三式取倒数，再利用配方法求解，得到此三角形是边长为1的等边三角形．2．已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为．考点：对称式和轮换对称式。分析：∵x12+ax22=b①，x2y1﹣x1y2=a②，x1y1+ax2y2=c③．首先将第②、③组合成一个方程组，变形把x1、x2表示出来，在讲将x1、x2的值代入①，通过化简就可以求出结论．解答：解：∵x12+ax22=b①，x2y1﹣x1y2=a②，x1y1+ax2y2=c③．由②，得④，把④代入③，得⑤==∴=++=∵x+y+z≠0∴原式=1．故答案为：1．点评：本题是一道代数式的化简求值的题，考查了代数式的对称式和轮换对称式在化简求值中的运用．具有一定的难度．7．已知，，其中a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c=．考点：对称式和轮换对称式。分析：令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x（x≠0），由可得：==，解出a、b和c的值即可．解答：解：令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x（x≠0），又知，即==，解得a=2，c=，b=﹣，即a+b+c=2﹣+=．故答案为．点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x，此题难度不大．8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x=．考点：对称式和轮换对称式。专题：计算题。分析：先化简各式，将各式联立相加，然后分别将y、z和u关于x的式子代入消去y、z和u，即可求出x的值．解答：解：将各式化简得：，（1）+（2）+（3）+（4）得：x+y+z+u=⑤，分别将y、z和u关于x的式子代入⑤中，得：x+6x﹣1+6（6x﹣1）﹣1+=，解得：x=．故答案为：．点评：本题考查对称式和轮换对称式的知识，难度适中，解题关键是将y、z和u关于x的式子代入消除y、z和u．9．若数组（x，y，z）满足下列三个方程：、、，则xyz=162．考点：对称式和轮换对称式。分析：将3个方程分别分别由第一个方程除以第二方程，再由第一个方程除以第三个方程．就可以把x、y用含z的式子表示出来，然后代入第一个方程就可以求出z、x、y的值，从而求出其结果．解答：解：由①÷②，得y=④由①÷③，得x=⑤把④、⑤代入①，得，解得z=9∴y=6，x=3∴原方程组的解为：∴xyz=3×6×9=162．故答案为：162．点评：本题是一道三元高次分式方程组，考查了运用分式方程的轮换对称的特征解方程的方法，解方程组的过程以及求代数式的值的方法．10．设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz=±1．考点：对称式和轮换对称式。专题：计算题。分析：分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的情形，由左边的两个等式可得出zy=，同理可得出zx=，xy=，三式相乘可得出xyz的值．解答：解：由已知x+=y+=z+，得出x+=y+，∴x﹣y=﹣=，∴zy=①同理得出：zx=②，xy=③，①×②×③得x2y2z2=1，即可得出xyz=±1．故答案为：±1．点评：此题考查了对称式和轮换式的知识，有一定的难度，解答本题的关键是分别求出yz、zx、xy的表达式，技巧性较强，要注意观察所给的等式的特点．二．选择题（共2小题）11．已知，，，则的值是（） A． B． C． D．考点：对称式和轮换对称式。专题：计算题。分析：先将上面三式相加，求出+，+，+，再将化简即可得出结果．解答：解：∵，∴+=15①，∵，∴+=17②；∵，∴+=16③，∴①+②+③得，2（++）=48，∴++=24，则===，故选D．点评：本题考查了对称式和轮换对称式，是基础知识要熟练掌握．12．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（） A．672 B．688 C．720 D．750考点：对称式和轮换对称式。分析：首先将a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170分别展开，即可求得ab+ac=152①，bc+ba=162②，ca+cb=170③，然后将三式相加，即可求得ab+bc+ca值，继而求得bc，ca，ab的值，将它们相乘再开方，即可求得abc的值．解答：解：∵a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，∴ab+ac=152①，bc+ba=162②，ca+cb=170③，∴①+②+③得：ab+bc+ca=242④，④﹣①得：bc=90，④﹣②得：ca=80，④﹣③得：ab=72，∴bc•ca•ab=90×80×72，即（abc）2=7202，∵a，b，c均为正数，∴abc=720．故选C．点评：此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了方程组的求解方法．此题难度较大，解题的关键是将ab，ca，bc看作整体，利用整体思想与方程思想求解．三．解答题（共1小题）13．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．考点：对称式和轮换对称式。分析：分别表示出a，b，c，d，然后通过分别代入，使最后成为只含b的代数式，b的范围知