量子力学-第四版-卷一-(曾谨言-著)习题答案

量子力学的诞生1.1设质量为的粒子在谐振子势中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。提示：利用解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为（1）其中由下式决定：。0由此得，（2）即为粒子运动的转折点。有量子化条件得（3）代入（2），解出（4）积分公式：1.2设粒子限制在长、宽、高分别为的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为轴方向，把粒子沿轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有即（：一来一回为一个周期）,同理可得，,,粒子能量1.3设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。提示：利用是平面转子的角动量。转子的能量。解：平面转子的转角（角位移）记为。它的角动量（广义动量），是运动惯量。按量子化条件，因而平面转子的能量，1.4有一带电荷质量的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是,线速度是,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是:(1)又利用量子化条件,令电荷角动量转角(2)即(3)由(1)(2)求得电荷动能=再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能=,是电荷的旋转频率,,代入前式得于(3)式左方,遍除:按照波包理论，波包群速度是角频率丢波数的一阶导数：=最后一式按照（4）式等于粒子速度，因而。又按一般的波动理论，波的相速度是由下式规定（是频率）利用（5）式得知（6）故相速度（物质波的）应当超过光速。最后找出和的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设：，（7）补充：1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，试用deBroglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。解：据驻波条件，有（1）又据deBroglie关系（2）而能量（3）[1]试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能](解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld的量子化条件式:在量子化条件中,令为振子动量,为振子坐标,设总能量E则代入公式得:量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅的四倍,要决定振幅,注意在A或B点动能为0,,(1)改写为:(2)积分得:遍乘得[乙法]也是利用量子化条件,大积分变量用时间而不用位移,按题意振动角频率为,直接写出位移,用的项表示:求微分:(4)求积分:(5)将(4)(5)代量子化条件:T是振动周期,T=,求出积分,得正整数#[2]用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为(解)三维问题,有三个独立量子化条件,可设想粒子有三个分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如),其余分动量不变,设想粒子从某一分运动完成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件:(1)(2)(3)都是常数,总动量平方总能量是:==但正整数.#[3]平面转子的转动惯量为,求能量允许值.(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角）决定,它的运动是一种刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量,但是角速度,能量是利用量