高三开学收心考试模拟卷

高三开学收心考试模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高中数学全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为在单调递增，在单调递减，且当，当，当，所以，故．故选：B2．已知i为虚数单位，若是实数，则（）A．2B．-2C．D．【答案】C【解析】．因为是实数，所以，解得，所以．故选：C3．已知函数，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数，所以，解得．故选：B4．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，边化角得，又，所以，展开得，所以，因为，所以．故选：B．5．已知，且，则向量夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设向量的夹角为，因为，所以．故选：B．6．渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄，该方案将从正式实施开始每年延长几个月的退休时间，直到达到法定退休年龄．男性延迟退休的的年龄情况如表所示：出生年份退休年龄出生年份退休年龄出生年份退休年龄196160．00196861．75197563．50196260．25196962．00197663．75196360．50197062．25197764．00196460．75197162．50197864．25196561．00197262．75197964．50196661．25197363．00198064．75196761．50197463．25198165．00若出生年代为，且，相应的退休年龄为，且，则与的关系为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，是以为首项，公差为1的等差数列，故，是以为首项，公差为的等差数列，故，故故选：C7．已知点F是双曲线的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：由双曲线方程可得，点F坐标为，将代入双曲线方程，得，由于点P在第一象限，所以点P坐标为，双曲线的渐近线方程为，点P到双曲线的渐近线的距离为．Q是双曲线渐近线上的动点，所以的最小值为．故选：B．8．如图，△ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD=3，E为线段BD中点，将△ABC沿AD折成大小为的二面角，连接BC，形成四面体，若P是该四面体表面或内部一点，则下列说法错误的是（）A．点P落在三棱锥内部的概率为B．若直线PE与平面ABC没有交点，则点P的轨迹与平面ADC的交线长度为C．若点P在平面ACD上，且满足，则点P的轨迹长度为D．若点P在平面ACD上，且满足，则线段PB长度为定值【答案】D【解析】如图示，由题意可知底面BCD，由于E为线段BD中点，故，故P落在三棱锥内部的概率为，故A正确；若直线PE与平面ABC没有交点，则P点在过点E和平面ABC平行的平面上，如图示，设CD的中点为F，AD的中点为G，连接EF，FG，EG，则平面EFG平面ABC，则点P的轨迹与平面ADC的交线即为GF，由于△ABC为等腰直角三角形，斜边上的中线AD=3，故，则，故B正确；若点P在平面ACD上，且满足，以D为原点，DC，DA为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，则，设，则，即，故P点在平面ADC上的轨迹即为该圆被平面ADC截得的圆弧（如图示），由可得，则，则点P的轨迹长度为，故C正确；由题意可知，故平面ADC，故，由于P在圆弧上，圆心为M，故PD的长不是定值，如上图，当位于N点时，，当位于T点时，，故线段PB长度不是定值，D错误，故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（）A．的最小值为3B．的最大值为1C．的最小值为2D．的最小值为2【答案】ABD【解析】因为正实数m、n，所以，当且仅当且m+n=2，即m=n=1时取等号，此时取得最小值3，A正确；由，当且仅当m=n=1时，mn取得最大值1，B正确；因为，当且仅当m=n=1时取等号，故≤2即最大值为2，C错误；，当且仅当时取等号，此处取得最小值2，故D正确．故选：ABD10．如图，若为正六棱台，，，则下列说法正确的是（）A．B．平面C．平面D．侧棱与底面所成的角为【答案】BCD【解析】对于A选项，因为与平行，与异面，故A错误；对于B选项，连接，，因为六棱台是正六棱台，所以平面，平面，故，又因为底面是正六边形，所以，平面，平面，所以平面，即平面，故B正确；对于C选项，设与交于点，因为，，所以，，又，所以，即，又，所以是平行四边形，，平面，平面，所以平面，故C正确；对于D选项，平面，平面为侧棱与底面所成的角，在中，，所以，故D正确．故选：BCD11．已知某商场销售一种商品的单件销售利润为，a，2，根据以往销售经验可得，随机变量X的分布列为X0a2Pb其中结论正确的是（）A．B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为C．D．当最小时，【答案】ABC【解析】由题意，，，故选项A正确；该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为，故选项B正确；随机变量X的期望值，可知方差，当时，，故选项C正确；当时，，故选项D错误．故选：ABC．12．当时，不等式成立．若，则（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】当时，不等式，令，则在上单调递增，因，则，A正确；因，则，B不正确；由知，，有，则，由选项A知，，即，C不正确；由得，，则，D正确．故选：AD第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线与曲线相切，则___________．【答案】【解析】解：由，所以设切点为，则，，消去得，∵函数在上单调递增，且，∴，此时．故答案为：14．随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有2个完全相同的“冰墩墩”与甲、乙两位运动员随机站成一排拍照留念，则2个“冰墩墩”连在一起的概率为______；【答案】【解析】乙两位运动员与2个“冰墩墩”排成一排的所有排法有种，其中2个“冰墩墩”连在一起的排法有种，由古典概型的概率公式可得事件2个“冰墩墩”连在一起的概率，故答案为：．15．设抛物线的焦点为F，准线l与x轴交点为K，点A在C上，点A的横坐标为2，，以F为圆心且与直线相切的圆的方程为_________．【答案】【解析】根据抛物线定义，，得，抛物线方程为，，，根据对称性，不妨设点在第一象限，则，直线的方程为，即，点到直线的距离，所求圆方程为．故答案为：．16．已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是______________．【答案】【解析】由已知得：恒成立，则，，由得，由于在区间上恰有3个零点，故，则，，则，只有当时，不等式组有解，此时，故，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．17．（10分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求角A；（2）若，求的面积．【解析】（1）由正弦定理得，因为，所以，所以，化简得，所以，因为，所以．（2）因为，由余弦定理得，又，所以，即，解得，则的面积．18．（12分）已知正项数列满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和为，求证：．【解析】（1）数列中，，由，可得，又，则数列是首项为1公差为2的等差数列，所以，则数列的通项公式为．（2）由（1）知，则，则数列的前n项和，∵，∴，∴，∴，∴，∴．19．（12分）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上．（1）证明：PN⊥AM；（2）当平面PMN与平面ABC所成的锐二面角为45°时，求平面PMN与侧面A1ACC1的交线长．【解析】（1）由题意两两垂直．所以以分别作为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，则．∵M是的中点，N是的中点，∴，设，∴，则，则，所以．（2）设，则，设平面的一个法向量为，则，即令，则，又平面的一个法向量为，平面与平面所成的锐二面角为时，∴，即，解得，此时，如图位置，设为的中点，连接，交于点，由且所以与全等，则为中点．连接由分别为中点，则又分别为中点，则，所以所以点共面，又所以共面，即面与面重合．所以平面与侧面的交线为，所以交线长度为20．（12分）某学校组织“纪念共青团成立100周年”知识竞赛，有A，B，C三类问题，每位参加比赛的同学需要先选择一类并从中随机抽取一个问题回答，只有答对当前的问题才有资格从下一类问题中再随机抽取一个问题回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分，C类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小康同学能正确回答A类问题的概率为0．8，能正确回答B类问题的概率为0．6，能正确回答C类问题的概率为0．4，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小康按照的顺序答题，记X为小康的累计得分，求X的分布列；（2）相比较小康自选的的答题顺序，小康的朋友小乐认为按照的顺序答题累计得分期望更大，小乐的判断正确吗？并说明理由．【解析】（1）由题可知，X的所有可能取值为0，30，50，60所以X的分布列为X0305060P0．60．160．0480．192（2）由（1）知，．若小康按照顺序答题，记Y为小康答题的累计得分，则Y的所有可能取值为0，10，30，60，所以故小乐的判断正确．21．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且经过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）动直线l：y=x+m与椭圆C相切，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2的面积；（3）过椭圆C内一点T（t，0）作两条直线分别交椭圆C于点A，C，和B，D，设直线AC与BD的斜率分别是k1，k2，若|AT|·|TC|=|BT|·|TD|，试问k1+k2是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．【解析】（1）由题意可得，将点代入椭圆方程得，解得，即有椭圆方程为；（2）将直线代入椭圆方程可得，，由直线和椭圆相切的条件可得，解得，焦点，由对称性可取直线，则，，即有四边形的面积为；（3）可得直线的方程为，联立方程，得．设，则．∵．同理，直线的方程为，则．∵，∴．又T为椭圆内任意一点，∴，即，所以，∴．又直线与不重合，∴为定值．22．（12分）已知函数，其中，且．（1）当时，求的单调区间；（2）若只有一个零点，求的取值范围．【解析】（1）当时，，，易知在上单调递