第五章数控装置的轨迹控制原理

第五章数控装置的轨迹控制原理§5.1概述§5.2脉冲增量插补§5.3数据采样插补

§5.1概述插补功能:是数控装置实现零件轮廓加工轨迹运算的功能。零件轮廓：由各种线形构成，其中最主要的是直线和圆弧。在零件的数控加工程序中，只提供与某种线形的相关参数直线加工:G01X_Y_：起点、终点圆弧加工:G02X_Y_I_J_

:起点、终点、圆心、

G02X_Y_R_:

起点、终点、

半径未提供轮廓线形起点、终点之间的各个中间点的位置数据（一）插补的概念∴为实现轨迹控制，必须在运动过程中，实时计算出满足给定线形和进给速度要求的一系列中间点（在起点、终点之间）“数据点的密化”第五章数控装置的轨迹控制原理§5.1概述插补定义：(Interpolation)：根据给定进给速度和轮廓线形要求，在轮廓线形起点、终点之间，确定一些中间点；从而为各个坐标轴实时地分配相应的位置控制信息和速度控制信息。第五章数控装置的轨迹控制原理§5.1概述数控机床是通过多坐标联动实现轨迹控制：

刀具并不能严格地沿着所加工的直线或曲线运动，只能用折线来逼近所加工的直线或曲线。实现插补原理可以采用不同的计算方法：插补算法有插补拟合误差，但脉冲当量小（pm、m级），插补拟合误差在加工误差范围内。脉冲当量：刀具或工件能移动的最小位移量。（二）插补方法的分类代表：逐点比较法、数字积分法（DDA法）（1）为各坐标轴进行脉冲分配计算，每次插补的结果仅产生一个单位的行程增量（一个脉冲当量）脉冲数量代表位移量；脉冲序列频率代表运动速度。1、脉冲增量插补（基准脉冲插补、行程标量插补）特点：（2）插补速度和进给速度密切相关。如:执行一次插补运算需40μs的时间,

每秒可执行25000次插补运算当脉冲当量为0.001mm时，坐标轴的极限速度为1.5m/min只适合于步进电机驱动的、中等精度和中等速度的CNC机床（3）实现方法简单：用加法和移位运算即可完成脉冲增量插补数据采样插补第五章数控装置的轨迹控制原理§5.1概述2、数据采样插补（时间标量插补）代表：时间分割法特点：（1）以一定的时间间隔（插补周期）定时运行，在每个插补周期内，根据进给速度计算出各坐标轴的位移增量（不是单个脉冲，而是数据）（2）插补运算速度和进给速度无严格关系。插补程序运行时间已不再是限制进给速度的主要因素；其进给速度的上限将取决于要求的圆弧弦线误差和伺服系统的动态响应特性。比较适合于较高精度和速度要求的闭环或半闭CNC机床（3）实现算法较脉冲增量插补复杂，对计算机的运算速度有一定的要求第五章数控装置的轨迹控制原理§5.1概述§5.2脉冲增量插补·直线插补原理·圆弧插补原理·插补算法的评价指标§5.2脉冲增量插补分配脉冲的计算插补结果是向各坐标轴输出一个个进给脉冲以逐点比较法为例原理：加工每走一步，进行一次偏差计算和偏差判别控制进给轴向理想轮廓靠近，以缩小偏差到达的新位置点坐标理想轮廓上对应点的坐标使加工轮廓逼近给定轮廓偏差（一）直线插补原理1、偏差计算公式若M在直线OA上YmXmYeXe即：

Ym

Xe0XmYe取Fm=Ym

Xe—XmYe作为偏差判别式若Fm=0，表明加工点M在OA直线上若Fm>0，表明加工点M在OA直线上方M’处若Fm<0，表明加工点M在OA直线下方M”处M”M’OA（Xe，Ye）M（Xm，Ym）yx§5.2脉冲增量插补OA（Xe，Ye）M（Xm，Ym）M’yx当Fm>=0，即加工点在OA直线上方时，

为逼近给定的理想轮廓直线应从加工点向+X方向进给一步新点的坐标：Xm+1=Xm+1Ym+1=Ym

新的偏差：Fm+1=Ym

+1

Xe—Xm+1Ye=Ym

Xe—（Xm+1

）Ye=(Ym

Xe—XmYe)—Ye=Fm—Ye§5.2脉冲增量插补OA（Xe，Ye）M（Xm，Ym）M”同理,当Fm<0，即加工点在OA直线下方时，

为逼近给定的理想轮廓直线应从加工点向+Y方向进给一步新点的坐标：Xm+1=Xm

Ym+1=Ym+1新的偏差：Fm+1=Ym+1

Xe—Xm+1Ye=(Ym+1)Xe—XmYe=(Ym

Xe—XmYe)+Xe=Fm+Xeyx§5.2脉冲增量插补2、终点判别每进给一步，就要进行一次终点判别终点判别的方法：（1）设置X、Y两个减法计数器，分别存入

X轴的走步数Xe

、Y轴的走步数YeX方向每进给一步，X减法计数器中：

Xe—1Y方向每进给一步，Y减法计数器中：Ye—1二者都为0，表明已到终点（2）设置一个减法计数器，存入X轴、Y轴的总走步数n每进给一步，减法计数器中：n—1若为0，表明已到终点§5.2脉冲增量插补3、插补运算过程偏差判别：根据偏差值(>,<,=0)，判别刀具当前位置相对于给定轮廓的偏离情况，从而决定进给方向。进给输出：根据判定的进给方向，向该坐标轴发一进给脉冲，控制刀具进给一步。偏差计算：在新点位置，按偏差公式计算新的偏差，为下次偏差判别作准备。终点判别：判别是否到达了终点位置。偏差判别终点判别进给输出偏差计算终点到退出§5.2脉冲增量插补§5.2脉冲增量插补第Ⅰ象限直线插补流程图NYyn+Y向走一步初始化xe→Xye→YE=NF≥0？+X向走一步E=0？结束起始F←F+XF←F-YE←E-1N=Xe+Ye4、逐点比较法直线插补例xyoE(3,5）加工第一象限直线OE，用逐点比较法求其插补运算过程，画出插补轨迹。序号偏差判别坐标进给新点偏差计算新点坐标终点判别0F0=0n=3+5=8Fm=F0=0+XFm+1=Fm-YeXm+1=1n=8-1=7=0-5=-5Ym+1=02Fm<0+YFm+1=Fm+XeXm+1=1n=7-1=6=-5+3=-2Ym+1=13Fm<0+YFm+1=Fm+XeXm+1=1n=6-1=5=-2+3=1Ym+1=24Fm>0+XFm+1=Fm-YeXm+1=2n=5-1=4=1-5=-4Ym+1=25Fm<0+YFm+1=Fm+XeXm+1=2n=4-1=3=-4+3=-1Ym+1=36Fm<0+YFm+1=Fm+XeXm+1=2n=3-1=2=-1+3=2Ym+1=47Fm>0+XFm+1=Fm-YeXm+1=3n=2-1=1=2–5=-3Ym+1=48Fm<0+YFm+1=Fm+XeXm+1=3n=1-1=0=-3+3=0Ym+1=5§5.2脉冲增量插补5、直线插补逐点比较法的速度分析设插补直线长度L，插补脉冲的频率为f，插补直线与X轴夹角为插补过程中X方向和Y方向的总走步数：则：插补过程的总时间：刀具进给速度：（插补循环次数N）§5.2脉冲增量插补若f不变，加工0°和90°倾角直线时刀具进给速度最大（f）；加工45°倾角直线时刀具进给速度最小（0.707f）刀具进给速度：§5.2脉冲增量插补6、考虑不同象限时直线插补处理§5.2脉冲增量插补（2）圆弧插补原理1、偏差计算公式OB（Xe，Ye）M（Xm，Ym）若M在圆弧AB上R2=Xm2+

Ym2即：

Xm2+

Ym2-R2=0取Fm=Xm2+

Ym2-R2作为偏差判别式若Fm=0，表明加工点M在AB圆弧上若Fm>0，表明加工点M在AB圆弧上方M’处若Fm<0，表明加工点M在AB圆弧下方M”处M”M’yxA（X0，Y0）R§5.2脉冲增量插补OB（Xe，Ye）M（Xm，Ym）M’yxA（X0，Y0）R当Fm>=0，

即加工点在AB圆弧上方时，为逼近给定的理想轮廓圆弧应从加工点向-X方向进给一步新点的坐标：Xm+1=Xm-1Ym+1=Ym

新的偏差：Fm+1=Xm+12+Ym+12–R2=（Xm

-1）2+Ym2–R2=（Xm2+

Ym2-R2）-2Xm+1=Fm-2Xm+1§5.2脉冲增量插补OB（Xe，Ye）M（Xm，Ym）yxA（X0，Y0）当Fm<0，即加工点在AB圆弧下方时，

为逼近给定的理想轮廓圆弧应从加工点向+Y方向进给一步新点的坐标：Xm+1=Xm

Ym+1=Ym

+1新的偏差：Fm+1=Xm+12+Ym+12–R2=Xm2+（Ym

+1）2–R2=（Xm2+

Ym2-R2）+2Ym+1=Fm+2Ym+1M”R§5.2脉冲增量插补2、终点判别每进给一步，就要进行一次终点判别终点判别的方法：（1）设置X、Y两个减法计数器，分别存入

X轴的走步数Xe-X0

、Y轴的走步数Ye–Y0

X方向每进给一步，X减法计数器减1Y方向每进给一步，Y减法计数器减1二者都为0，表明已到终点（2）设置一个减法计数器，存入X轴、Y轴的总走步数n每进给一步，减法计数器中：n—1若为0，表明已到终点§5.2脉冲增量插补3、插补运算过程偏差判别：根据偏差值(>,<,=0)，判别刀具当前位置相对于给定轮廓的偏离情况，从而决定进给方向。坐标进给：根据判定的进给方向，向该坐标轴发一进给脉冲，控制刀具进给一步。偏差计算：在新点位置，按偏差公式计算新的偏差，为下次偏差判别作准备。终点判别：判别是否到达了终点位置。偏差判别终点判别进给输出偏差计算终点到退出§5.2脉冲增量插补§5.2脉冲增量插补YNNYF-2X+1→F-X向走一步F+2Y+1→F；Y+1→YF≥0？+Y向走一步E←E-1E=0？结束起始初始化x0→X；y0→Y；0→F；N→E；X-1→X4、逐点比较法圆弧插补例：加工第一象限园弧AB，起点A（6，0），终点B（0，6），半径为6；用逐点比较法求其插补运算过程，画出插补轨迹。5、考虑不同象限时圆弧插补处理§5.2脉冲增量插补6、圆弧插补逐点比较法的速度分析刀具在P点的速度与插补切线cd的速度基本相等任意角度直线插补速度：§5.2脉冲增量插补刀具进给速度是变化的：0°和90°附近最快，为f；45°附近最慢，为0.707f，在（1～0.707）

f间变化。

无论加工直线还是圆弧，刀具进给速度变化范围较小，一般不做调整。

（二）评价插补算法的指标1、稳定性指标2、插补精度指标3、合成速度的均匀性指标4、算法尽可能简单1、稳定性指标插补运算：迭代运算算法稳定性问题数值分析理论可知插补算法稳定的充要条件：在插补运算过程中间，其舍入误差和计算误差不随迭代次数的增加而累积。由于计算结果圆整时产生的误差（圆整误差）由于采用近似计算而产生的误差稳定性分析的必要性：确保轮廓精度要求的前提。若算法不稳定舍入误差和计算误差的累积插补轨迹严重偏离给定轨迹总误差不断增大§5.2脉冲增量插补2、插补精度指标指插补轮廓与给定轮廓的符合程度，可用插补误差来评价。插补误差：舍入误差计算误差逼近误差与插补算法密切相关要求三者综合效应不大于系统的最小运动指令或脉冲当量值用直线逼近曲线时产生的误差3、合成速度的均匀性指标指实际的合成进给速度与给定的进给速度的符合程度由插补运算输出的各轴进给速度而合成的给定的进给速度F实际的合成进给速度Fc若Fc偏离F过大：影响零件的加工质量或生产率若Fc在F上下波动过大:影响零件的表面质量/机床振动噪声§5.2脉冲增量插补4、算法尽可能简单

插补运算是实时性很强的运算，若算法太复杂，插补运算的时间加长，会限制进给速度指标和精度指标的提高。§5.2脉冲增量插补2、数据采样插补（时间标量插补）代表：时间分割法特点：（1）以一定的时间间隔（插补周期）定时运行，在每个插补周期内，根据进给速度计算出各坐标轴的位移增量（不是单个脉冲，而是数据）（2）插补运算速度和进给速度无严格关系。插补程序运行时间已不再是限制进给速度的主要因素；其进给速度的上限将取决于要求的圆弧弦线误差和伺服系统的动态响应特性。比较适合于较高精度和速度要求的闭环或半闭CNC机床（3）实现算法较脉冲增量插补复杂，对计算机的运算速度有一定的要求第五章数控装置的轨迹控制原理·时间分割直线插补算法·时间分割圆弧插补算法·插补周期的选择§5.3数据采样插补§5.3数据采样插补(数字增量插补/时间标量插补）插补过程分两步完成：粗插补：精插补：以一定的时间间隔（插补周期）定时运行要计算出合成位移量每个轴的位移增量（数字量）微小的直线段,逼近理想曲线对粗插补算出的每一个微小直线段作数据点的加密工作即相当于对直线的脉冲增量插补。一般用软件来实现，简称为插补可以用软件来实现，也可以用硬件来实现(一）时间分割直线插补算法βαXYo加工第一象限直线OP已知系统插补周期T现要求进给速度F

ΔL插补周期内的合成进给量ΔL=FT是本次插补周期内的合成位移量ΔL=FTΔxiΔyi§5.3数据采样插补

§5.3数据采样插补

(一）时间分割直线插补算法在本次插补周期内，X轴的位移增量下一个插补点的坐标Y轴的位移增量其中：①XYoαβΔxiΔyiΔLY轴的位移增量XYoΔxiΔyiΔLβα下一个插补点的坐标X轴的位移增量其中：②

比较算法①和②的优劣

§5.3数据采样插补

(一）时间分割直线插补算法①由①式得：由第一个增量求第二个增量的算法：对上式以Δxi为自变量，其余为常数，两边求微分，并取绝对值此时算法①对误差有收敛作用此时算法①对误差有放大作用§5.3数据采样插补

(一）时间分割直线插补算法§5.3数据采样插补

(一）时间分割直线插补算法②

由②式得：由第一个增量求第二个增量的算法：对上式以Δyi为自变量，其余为常数，两边求微分，并取绝对值此时算法②对误差有放大作用此时算法②对误差有收敛作用实质：插补时总是先计算大的坐标增量在第一象限，就有两组计算公式再考虑不同的象限，插补公式一共有8组为方便计算，引入“引导坐标”在采样周期内，进给增量大的坐标定义为引导坐标G

进给增量小的坐标定义为非引导坐标N统一插补计算公式其中将计算公式设计成子程序，在程序的输入输出部分进行引导坐标和实际坐标的相互转换§5.3数据采样插补

(一）时间分割直线插补算法（二）时间分割圆弧插补算法加工第一象限顺圆弧（半径为R），用内接弦逼近圆弧（逼近误差δ）已知系统插补周期T现要求进给速度F插补周期内的合成进给量ΔL=FT是本次插补周期内的合成位移量ΔL=FTAC直线段YXACBΔxiΔyiyiymyi+1xixi+1oD§5.3数据采样插补

D是AC段的中点，δ是本次插补的逼近误差待求未知要作近似处理ΔL很小R>>δ用R取代R—δACBΔxiΔyiyiymyi+1xixi+1oDXY§5.3数据采样插补

（二）时间分割圆弧插补算法YACBΔxiΔyiymyi+1xixi+1oDyiX整理，得：Y轴的位移增量下一个插补点的坐标X轴的位移增量①①§5.3数据采样插补

（二）时间分割圆弧插补算法X轴的位移增量下一个插补点的坐标Y轴的位移增量②

比较算法①和②的优劣

§5.3数据采样插补

（二）时间分割圆弧插补算法ACBΔxiΔyiymyi+1xixi+1oDyi①②

由①式得：由第一个增量求第二个增量的算法：对上式以Δxi为自变量，其余为常数，两边求微分，并取绝对值:此时算法①对误差有收敛作用此时算法①对误差有放大作用此时算法②对误差有放大作用此时算法②对误差有收敛作用§5.3数据采样插补

（二）时间分割圆弧插补算法再考虑不同的象限和不同的插补方向，插补公式一共有16组为方便计算，引入“引导坐标”在采样周期内，进给增量大的坐标定义为引导坐标G

进给增量小的坐标定义为非引导坐标N统一成A、B两组插补计算公式AB将A、B两组计算公式设计成子程序，在程序的输入输出部分进行引导坐标、实际坐标、进给方向的相互转换§5.3数据采样插补

（二）时间分割圆弧插补算法顺圆插补（G02）和逆圆插补（G03）在各象限采用公式的情况如图所示：ABABABABBABABABAG02G03§5.3数据采样插补

（二）时间分割圆弧插补算法说明：1、计算时，采用了近似处理，必然会有误差，所以与理论值有偏离。但是，由于在算法中采用了公式或所以，所求的插补点坐标必然在半径为R的圆上即：实际插补点和理论插补点必然在半径为R的同一圆弧上*该算法对轨迹精度没有影响，算法也稳定ΔxiΔyiΔxi’Δyi’另一方面，的误差将直接导致每个插补周期实际合成进给量ΔL的波动，表现为进给速