2023考研概率统计全考点精讲-第七讲 参数估计

22第七讲参数估计【考试要求】（数一理解I数三了解）参数的点估计、估计量与估计值的概念.掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大似然估计法.（仅数一，2009年之后数学三不再考察）了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性.（仅数一）理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.考点：点估计、矩估计法与最大似然估计法点估计设X|,X2，・・・，X“是来自总体X的样本，相应的样本值为外,易,…，丛，点估计的问题就是构造适当的统计量0（X|,X2，・・・,X〃），用它的观察值00,旳,…戍）来估计未知参数。.称如X*…,Xn）为。的估计量，称0（心也，・・・，也）为。的估计值.矩估计法（1） 矩估计法的思想：用样本矩（原点矩或中心矩）代替相应的总体矩，样本矩（原点矩或中心矩）的函数代替相应的总体矩的同一函数而求得未知参数的•种估计方法称为矩估计法.【注】矩估计法的理论依据是：大数定律.（2） 矩估计法的求解步骤求总体矩；（若有A个未知参数，则求前&阶原点矩或中心矩）列矩估计方程（或方程组）；解上述方程（或方程组），求出矩估计量；若有样本观察值，代入求得矩估计值.TOC\o"1-5"\h\z［例1】设总体X X 0 1 2 3P20（1-0）02 \-20其中0（0＜以）是未知参数，利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,123,求。的矩估计值.【例2】设X*…,X”是来自总体X的简单随机样本，X的概率密度函数为f（x；O）=，了'*>0,其中0>0为未知参数，求。的矩估计量.0,else最大似然估计法（1） 最大似然估计法若有0（XVX2,-,xn）,使得匕（为,工2,…，[；0）达到最大值，则称03，邑,・・"“）为0的最大似然估计值，而相应的统计量0（X|,X2，・・・,XQ称为参数。的最大似然估计量.【注】最大似然估计法的思想：从。可能的取值范围。内选取。使得样本X],乂2,・・・，X”取得观测值为,易，…由的概率达到最大.（2） 似然函数设X|,X2,…，X.是来自总体X的样本，X"2,…内是相应于样本Xi，Xg・,Xn的观察值.当总体X为离散型随机变量时，其分布律P{X=x）=p（x^）, 0是未知参数.似然函数£（。）=丄0,尤2,…，与；°）=「I吊弔泌），0 •/=1当总体x为连续型随机变量，其概率密度为13"腿0,0是未知参数似然函数丄（0）=丄3%,…，也；°）=「If0渺），。印.M（3） 最大似然估计法的求解步骤写出似然函数；取对数得对数似然函数；求导（求偏导），得似然方程；求解上述方程（方程组），求得驻点.若驻点存在且唯一，则一般为最大似然估计值；若驻点不存在，则最值点一般在边界点上取得，此时可直接由定义求得.【注】最大似然估计的不变性：设0是总体分布中的未知参数。的最大似然估计，函数u=u(O)具有单值反函数0=叩)，则«=是砸)的最大似然估计・TOC\o"1-5"\h\z［例3】设总体X X0 1 2 3P°220(1-0)02 \-201、其中00<6»<-是未知参数，利用总体X的如下样本值3,130,3,1,2,3,求。的最L)大似然估计值.【例4】设总体X的概率密度为= '°<*"，其中0>-\0,其他是未知参数，是来自总体X的一个容量为〃的简单随机样本，求。的最大似然估计量.考点：估计量的评选标准（仅数一）无偏性设0=0（X|,X2，・・，X.）为。的估计量，若E（6）=e,则称0为。的无偏估计.有效性（最小方差性）设&=&（X|,X2，...,X„）,a=02（X|,X2，...,X“）都是。的无偏估计，若满足信）且不恒等，则称&比初有效.相合性（一致性）设0=0（X],X2，...,X“）为。的估计量，若对任意£>0,有

iimP{|0—ei<£}=i,则称0为e的相合估计量（或一致估计量）.【例1】设K，乂2，...,Xn是来自正态总体N3扌）的一个简单随机样本，求常数c,使得C艺（X中-X,.）2为（/的无偏估计.J-1#考点：区间估计（仅数一）区间估计的定义设。为总体X分布中的未知参数，XPX2,...,X„是来自总体X的样本，对给定的a（O<a<l）,若统计量a=0（X|,X2，・・・，X„）和包=仓（用,乂2，・・・,乂〃）0<&）满足P0<。v底｝=1一a,则称（&,底）为。的置信水平为1一a的置值区间,0和@分别称为置信水平为1-。的双侧置信区冋的置信下限和置信上限，1-。称为置信水平（或置信度）.单个正态怠体均值与方差的置信区间设已给定置信水平为1—a,X|,X2，…,X.为来自总体X~N（/j,a2）的简单随机样本，X.S?分别是样本均值和样本方差.（1） 均值“的置信区间f S已知，卩的置信水平为1—a的置信区间为|X—^=uaKVW2未知，〃的置信水平为l-a的置信区间为（x_^=农（〃一1）,X（2） 方差（J?的置信区间①〃己知，“2的置信水平为1-。的置信区间为置（X厂〃y2=1 /=1

②，〃未知，的置信水平为1-。的置信区间为（〃-1$（n-l）S2

尤（〃一1）'②，〃未知，的置信水平为1-。的置信区间为—1—两个正态总体均值差与方差比的置信区间（从未考过）【例1】设由来自正态总体X~N（//,0.92）容量为9的简单随机样本，得样本均值x=5,则未知参数卩的置信度为0.95的置信区间是 （峋025=L