人教A版高中数学必修一《函数的奇偶性》说课稿名师优秀教案(完整版)资料

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人教A版高中数学必修一《函数的奇偶性》说课稿人教A版高中数学必修一《函数的奇偶性》说课稿名师优秀教案（完整版）资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）尊敬的各位评委、老师:你们好～我叫学。今天我为大家讲的课题是:《函数的奇偶性》。内容选自高中数学人教A版必修一第一章第三节，本节课是第一课时。我将从以下几个方面对本节课进行分析:一、教材分析1、教材所处的地位和作用:是分析函数奇偶性的概念和意义，判断函数奇偶性的方法和步骤。本节课是继函数的单调性之后要学习的函数的第二个性质。本节课既是前面知识的一个延续，又是后面学习具体函数的基础。是在学生学习了函数、轴对称和中心对称图形的基础上来进行的，函数的奇偶性是考查函数性质时的一个重要方面，是高考的常考内容之一。教材从具体到抽象，从感性到理性，循序渐进地引导学生在数学领域中进行观察、归纳，形成函数奇偶性概念。同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想。2、重点、难点:本课中函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判断是重点，对函数奇偶性定义的掌握和灵活运用是本课的难点。-1-二、教学目标根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标:1、知识目标:(1)理解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法;(2)能利用函数的奇偶性简化函数图像的绘制过程。2、能力目标:)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养;(1(2)启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题;(3)通过教师指导总结知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。3、德育目标:通过自主探索，培养学生的动手实践能力，激发学生学习数学的兴趣，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。三、教学方法1、教法-2-根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法、类比法为辅的教学方式。教学中，我精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。2、学法让学生在“观察一归纳一应用”的学习过程中，自主参与知识的产生、发展、形成的过程，使学生掌握知识。四、教学过程为达到教学目标，突出重点，突破难点，我将教学过程设计为以下五个阶段:(一)创设情境，引入新课(二)师生互动，探索新知(三)知识应用，巩固深化(四)归纳总结，促进内化(五)课外作业，提升能力以下是具体教学过程:(一)创设情境，引入新课本阶段的教学从生活中、数学中两个角度出发。-3-角度1:观察下面两张图片:?麦当劳的标志?风车，感受生活中的对称美。角度2:回忆之前所学的常见的函数及图像，感受数学中的对称美。让学生找出哪些是轴对称图形，哪些是中心对称图形。导入新课，明确本节课我们要研究和学习的对象。让学生感受到数学来源于生活，数学与生活是密切相关的，从而激发学生浓厚的学习兴趣和自主探索的精神。同时以提问的方式，引出本节课的课题------如何用数学语言来描述这些图像的对称性。(二)师生互动，探索新知在本阶段的教学过程中，为了完成了学生对函数奇偶性的全面认识，我设计了6个环节:1、探索定义;2、深化概念;3、活学活用;4、归纳步骤;5知识提升;6、类比学习。1、探索定义2在上述图像中取函数，求f(x),xf(1),f(,1),f(2),f(,2),f(a),f(,a)。观察并思考:?关于y轴对称的点的横、纵坐标具有什么特点,2?在函数f(x),x图像上任取一点，关于y轴对称的-4-对称点是否一定还在其图像上呢,由于曲线是由无数点构成的，所以先从点入手，让学生计算一些特殊点的横纵坐标，观察它们的特征，再大胆猜想是否所有的点都有这个特征,从而让学生体会从特殊到一般的过程，渗透归纳推理的思想。同时从形和数两个方面丰富了学生对偶函数的认识。这就使偶函数概念的建立变得自然、严谨。再鼓励学生用自己的语言来描述偶函数，我加以整理，给出完整定义。充分发挥学生的主观能动性。2、深化概念概念建立之后，我再层层深入地提出以下问题:x?D”,?如何理解“D内的任意一个x，都有-?f(,x)=f(x)实质是什么,课外探究:是否所有的二次函数、分段函数都是偶函数呢,若不是，需要满足什么条件才是呢,让学生根据我的诱导，思考问题并积极回答问题，指出?中有两层意思，一是“任意”是指函数的这个性质是整体性质，注意与单调性是局部性质相区别。二是定义域关于原点对称。?实质就是偶函数图像关于y轴对称。通过这个环节加深对偶函数本质的认识。概念是抽象的，要放入具体的问题才能体现出来，于是我紧接-5-着就设计了下一环节。3、活学活用2是偶函数吗,对于一个具体问题:判断f(x),x，1这是一道基础题目，主要引导学生学会用定义来处理，为了规范学生的格式，将板书具体步骤，函数图像一并给出，并向学生指出利用图像也可以进行判断。再通过变式:2改变定义域提醒学生注意判断偶函数的，f(x),x，1,x,[,3,2]前提条件。培养学生思考问题时思维的严密性。通过这一例题一变式，我们就可以归纳出判断函数是否是偶函数的步骤，4、归纳步骤判断函数是否是偶函数的步骤是:?求定义域，看是否关于y轴对称;?判断f(-x)=f(x)是否成立。若??成立则函数是偶函数。这一环节由学生来归纳，我来完善，培养学生对所学知识点的归纳梳理能力。在学生对偶函数有了大致了解之后，我就趁热打铁加进去一个环节。5、知识提升2例2:若函数是定义在上的偶函数，f(x),ax，bx，3a，b[a,1,2a]-6-求a,b的值。这道例题考查的是偶函数性质的一个应用:可以用来求参数问题。帮助学生深入理解偶函数的定义，考查学生接受新知识、灵活运用新知识的能力。这些环节环环相扣，层层深入，让学生对偶函数的认识更加透彻。6、类比学习以上讨论的皆是对图像关于y轴对称的函数，那么对于另外一类图像关于原点成中心对称图形的函数呢,有了前面的引导，对于这类函数的处理就可以采取类比的方法。让学生动手计算，填写数据，仿照偶函数的建立过程，独立地去经历发现、猜想与定义的全过程，从而建立奇函数的概念。通过这个环节培养学生对相似问题的类比推理能力。反思:通过上述的学习，提出几个问题:(1)你能说出奇函数跟偶函数的相同和不同之处吗,(从数形两方面比较)(2)下列函数是奇函数还是偶函数,22f(x),1,x，x,1?f(x)=x+1;?f(x),0;,(3)已知函数f(x)图像的一部分，你能根据函数的奇偶性画出它在y轴右(左)边的图像吗,问题(2)引出新概念，这里就可以定义另外两种函数。得出函-7-数按奇偶性可以分为四类:偶函数、奇函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数。从而完善了函数的分类。问题(3)主要是让学生知道学了函数的奇偶性，可以用来简化函数图像的绘制。通过反思，引导学生对所学知识进行有条理的梳理，完成对函数奇偶性的全面认识。(三)知识应用，巩固深化本阶段的教学主要是对练习的思考和交流，使学生进一步掌握判断函数奇偶性的方法和步骤，同时对题目做适当延伸。练习1、判断下列函数的奇偶性。fxx()0,[6,2][2,6];,,,,fxxx()|2||2|,,，，??fxxx()(1),,练习2、设,0时，。fxRx()在上是奇函数,当试问:当取全体实数时，的表达式是什么,xfx()练习1是基础练习，让学生深入记忆用定义法判断函数奇偶性的方法步骤。练习2则是体现了用函数奇偶性可以求函数的解析式。(四)归纳总结，促进内化本阶段引导学生谈本节课的收获，梳理知识、方法、思想。主要是关注学生的自主体验。1、理解奇偶函数的定义。-8-2、掌握判断函数奇偶性的方法:定义法(注意定义域要关于原点对称)图像法。3、函数的分类(四类)。(五)课外思考，提升能力教材P40练习1.1、附加:fxxx()11,,，,fx()ab,2、已知函数，定义域是，且对任意实数都有xR,fabfabfafb()()2()()，，,,fx()，求证:为偶函数。2ax，1abc,,3、是否存在整数的值，使函数fx(),是奇函数，并bxc，ff(1)2,(2)3,,abc,,且，若存在，求出的值，不存在说明理由。4、你能将任一个函数表示为一个奇函数与一个偶函数之和吗,本阶段第一题为必做题，2、3、4为选做题。通过分层作业使学生进一步巩固本节课所学内容，并为学有余力和学习兴趣浓厚的学生提供能够进一步学习的机会。第4题还为下节课的学习作了铺垫。教学过程到此结束。五、教学评价本节课遵循以教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，类比法为辅的教学方式，层层深入，环环相扣，从形到数，从具体到抽象，创造融洽、和谐的教学气氛，增强学生的学习信心，激发学生的学习兴趣，培养学生自主、合作、探究的学习能力，相信能取得不错的教学效果。-9-六、板书设计以上是我对本节课的一些思考，不妥之处，敬请各位专家评委批评指正。谢谢大家～-10-新课标人教A版高中数学必修4教案新课标高中数学必修4教案目录III第一章三角函数教学目标:要求学生掌握用“旋转”定义角的概念～理解任意角的概念～学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角,并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。教学重点:理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义教学难点:“旋转”定义角课标要求:了解任意角的概念教学过程:一、引入同学们在初中时～曾初步接触过三角函数～那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容～在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容～它能够简单地解决许多数学问题～在中学数学中有着非常广泛的应用。二、新课1(回忆:初中是任何定义角的,,从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形,这种概念的优点是形象、直观、容易理解～但它的弊端在于“狭隘”??师:初中时～我们已学习了0，360角的概念～它是如何定义的呢,生:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位臵旋转到另一个位臵所成的图形。师:如图1～一条射线由原来的位臵OA～绕着它的端点O按逆时B的射线针方向旋转到终止位臵OB～就形成角α。旋转开始时αα的顶OA叫做角的始边～OB叫终边～射线的端点O叫做叫OA点。图1o师:在体操比赛中我们经常听到这样的术语:“转体720”o,即转体2周,～“转体1080”,即转体3周,,再如时钟快了5分钟～现要校正～需将分针怎样旋转,如果慢了5分钟～又该如何校正,00生:逆时针旋转30,顺时针旋转30.师:,1,用扳手拧螺母,,2,跳水运动员身体旋转(说明旋转第二周、第三周……～则形成了更大范围内的角～这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握，角的范围基础上～重新给出角的定义～并研究这些角的分类及记法(2.角的概念的推广:(1)定义:一条射线OA由原来的位臵OA～绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位臵OB～就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边～射线OB叫角α的终边～O叫角α的顶点。3(正角、负角、零角概念师:为了区别起见～我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角～如图2中的角为正角～它100等于30与750,我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角～那么同学们猜猜看～负角怎么规定呢,零角呢,生:按顺时针方向旋转所形成的角叫负角～如果一条射线没有作任何旋转～我们称它形成了一个零角。00师:如图3～以OA为始边的角α=-150～β=-660。特别地～当一条射线没有作任何旋转时～我们也认为这是形成了一个角～并把这个角称为零角。师:好～角的概念经过这样的推广之后～就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说明:为了简单起见～在不引起混淆的前提下～“角α”或“?α”可简记为α.4.象限角师:在今后的学习中～我们常在直角坐标系内讨论角～为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习～请一位同学回答什么叫:象限角,生:角的顶点与原点重合～角的始边与x轴的非负半轴重合。那么～角的终边,除端点外,在第几象限～我们就说这个角是第几象限角。师:很好～从刚才这位同学的回答可以知道～她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面请大家将书上象限角的定义划好～同时思考这么三个问题:1.定义中说:角的始边与x轴的非负半轴重合～如果改为与x轴的正半轴重合行不行～为什么,2.定义中有个小括号～内容是:除端点外～请问课本为什么要加这四个字,3.是不是任意角都可以归结为是象限角～为什么,处理:学生思考片刻后回答～教师适时予以纠正。答:1.不行～始边包括端点,原点,,2(端点在原点上,3(不是～一些特殊角终边可能落在坐标轴上,如果角的终边落在坐标轴上～就认为这个角不属于任一象限。师:同学们一定要学会看数学书～特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句～每个字都要弄清楚～这样的预习才是有效果的。0000师生讨论:好～按照象限角定义～图中的30～390～-330角～都是第一象限角,300～00-60角～都是第四象限角,585角是第三象限角。师:很好～不过老师还有几事不明～要请教大家:,1,锐角是第一象限角吗,第一象限角是锐角吗,为什么,生:锐角是第一象限角～第一象限角不一定是锐角,0师:,2,锐角就是小于90的角吗,0生:小于90的角可能是零角或负角～故它不一定是锐角,00师:,3,锐角就是0，90的角吗,000000生:锐角:{θ|0<θ<90},0，90的角:{θ|0?θ<90}.学生练习,口答,已知角的顶点与坐标系原点重合～始边落在x轴的非负半轴上～作出下列各角～并指出它们是哪个象限的角,0000,1,420,,2,-75,,3,855,,4,-510.2答:,1,第一象限角,,2,第四象限角,,3,第二象限角,,4,第三象限角.5.终边相同的角的表示法师:观察下列角你有什么发现?390:,330:30:1470:,1770::终边重合.生0师:请同学们思考为什么,能否再举三个与30角同终边的角,0000000生:图中发现390～-330与30相差360的整数倍～例如～390=360+30～000000-330=-360+30,与30角同终边的角还有750～-690等。0师:好:这位同学发现了两个同终边角的特征～即:终边相同的角相差360的整数倍。例如:0000000750=2〓360+30,-690=-2〓360+30。那么除了这些角之外～与30角终边相同的角还有:00003〓360+30-3〓360+300000360+30-4〓360+304〓……～……～000由此～我们可以用S={β|β=k〓360+30～k?Z}来表示所有与30角终边相同的角的集合。师:那好～对于任意一个角α～与它终边相同的角的集合应如何表示,0生:S={β|β=α+k〓360～k?Z}～即任一与角α终边相同的角～都可以表示成角α与整数个周角的和。6.例题讲评oE,{小于90的角,F,{锐角,，G,{第一象限的角,例1设～～那么有,D,(A(B(C(,,D(例2用集合表示:,1,各象限的角组成的集合(,2,终边落在轴右侧的角的集合(ooo解:(1)第一象限角:,α|k360π,α,k360+90,k?Z,oooo第二象限角:,α|k360+90,α,k360+180,k?Z,oooo第三象限角:,α|k360+180,α,k360+270,k?Z,oooo第四象限角:{α|k360+270,α,k360+360,k?Z,,2,在，中～轴右侧的角可记为～同样把该范围“旋转”后～得～～故轴右侧角的集合为(说明:一个角按顺、逆时针旋转,,后与原来角终边重合～同样一个“区间”内的角～按顺逆时针旋转,,角后～所得“区间”仍与原区间重叠(例3,1,如图～终边落在位臵时的角的集合是__{α|α,ook360+120,k?Z},终边落在位臵～且在oo,含边界,的内的角的集合是_{,45,225}_,终边落在阴影部分角的集合3oooo是_{α|k360,45,α,k360+120,k?Z}(练习:,1,请用集合表示下列各角(?，间的角?第一象限角?锐角?小于角(解答,1,?,?,,??,2,分别写出:?终边落在轴负半轴上的角的集合,?终边落在轴上的角的集合,?终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合,?终边落在四象限角平分线上的角的集合(解答,2,?,?,?,?(说明:第一象限角未必是锐角～小于的角不一定是锐角～，间的角～根据课本约定它包括～但不包含(例4在，间～找出与下列各角终边相同的角～并判定它们是第几象限角,1,,,2,,,3,(解:,1,??与角终边相同的角是角～它是第三象限的角,,2,??与终边相同的角是～它是第四象限的角,,3,所以与角终边相同的角是～它是第二象限角(4总结:草式写在草稿纸上～正的角度除以～按通常除去进行,负的角度除以～商是负数～它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1～以使余数为正值(练习:,1,一角为～其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为__(o,2,集合M,{α=k～k?Z}中～各角的终边都在,C,,90A(轴正半轴上～B(轴正半轴上～C(轴或轴上～D(轴正半轴或轴正半轴上,3,设～ooC,{α|α=k180+45k?Z}～,则相等的角集合为_B,D～C,E__(三.本课小结本节课我们学习了正角、负角和零角的概念～象限角的概念～要注意如果角的终边在坐标轴上～就认为这个角不属于任何象限～本节课的重点是学习终边相同的角的表示法。判断一个角是第几象限角～只要把改写成～～那么在第几象限～就是第几象限角～若角与角适合关系:～～则、终边相同,若角与适合关系:～～则、终边互为反向延长线(判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系～可首先把它们化为:～这种模式,,～然后只要考查的相关问题即可(另外～数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法(四.作业:5教学目标:要求学生掌握用“旋转”定义角的概念～理解任意角的概念～学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角,并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。教学重点:理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义教学难点:“旋转”定义角课标要求:了解任意角的概念教学过程:一、复习师:上节课我们学习了角的概念的推广～推广后的角分为正角、负角和零角,另外还学习了象限角的概念～下面请一位同学叙述一下它们的定义。生:略师:上节课我们还学习了所有与α角终边相同的角的集合的表示法～[板书]0S={β|β=α+k〓360～k?Z}这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广～解决一些简单问题。二、例题选讲00例1写出与下列各角终边相同的角的集合S～并把S中适合不等式-360?β<720的元素β写出来:～000,1,60,,2,-21,,3,363140000解:,1,S={β|β=60+k〓360～k?Z}S中适合-360?β<720的元素是+0〓360=6060+1〓360=420.+,-1,〓360=-300600000,2,S={β|β=-21+k〓360～k?Z}S中适合-360?β<720的元素是000000000-21+0〓360=-21-21+1〓360=339-21+2〓360=6990000说明:-21不是0到360的角～但仍可用上述方法来构成与-21角终边相同的角的集合。～0000,3,S={β|β=36314+k〓360～k?Z}S中适合-360?β<720的元素是～～～～～4+,-2,〓360=-3564636314+,-1,〓360=31436314+0〓～00360=36314说明:这种终边相同的角的表示法非常重要～应熟练掌握。例2(写出终边在下列位臵的角的集合(1)x轴的负半轴上,,2,y轴上分析:要求这些角的集合～根据终边相同的角的表示法～关键只要找出符合这个条件的一个0角即α～然后在后面加上k〓360即可。??0解:,1,?在0，360间～终边在x轴负半轴上的角为180～?终边在x轴负半轴上00的所有角构成的集合是{β|β=180+k〓360～k?Z}??000,2,?在0，360间～终边在y轴上的角有两个～即90和270～?与90角终边相00同的角构成的集合是S={β|β=90+k〓360～k?Z}1000同理～与270角终边相同的角构成的集合是S={β|β=270+k〓360～k?Z}2提问:同学们思考一下～能否将这两条式子写成统一表达式,7师:一下子可能看不出来～这时我们将这两条式子作一简单变化:0000S={β|β=90+k〓360～k?Z}={β|β=90+2k〓180～k?Z}………………,1,100000S={β|β=270+k〓360～k?Z}={β|β=90+180+2k〓180～k?Z}200={β|β=90+,2k+1,〓180～k?Z}…,2,0师:在,1,式等号右边后一项是180的所有偶数,2k,倍,在,2,式等号右边后一项是00180的所有奇数,2k+1,倍。因此～它们可以合并为180的所有整数倍～,1,式和,2,式00可统一写成90+n〓180,n?Z,～故终边在y轴上的角的集合为0000S=S?S={β|β=90+2k〓180～k?Z}?{β|β=90+,2k+1,〓180～k?Z}1200={β|β=90+n〓180～n?Z}处理:师生讨论～教师板演。提问:终边落在x轴上的角的集合如何表示,终边落在坐标轴上的角的集合如何表示,00,思考后,答:{β|β=k〓180～k?Z},{β|β=k〓90～k?Z}进一步:终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示,00答:{β|β=45+n〓180～n?Z}0推广:{β|β=α+k〓180～k?Z}～β～α有何关系,,图形表示,处理:“提问”由学生作答,“进一步”教师引导～学生作答,“推广”由学生归纳。,,,例1若是第二象限角～则～～分别是第几象限的角,2,23,师:是第二象限角～如何表示,0000,,解:,1,?是第二象限角～?90+k〓360<<180+k〓360,k?Z,0000,?180+k〓720<2<360+k〓720,?2是第三或第四象限的角～或角的终边在y轴的非正半轴上。((((((((,,,,,2,?～k,180，45,,k,180，90(k,Z)2处理:先将k取几个具体的数看一下,k=0～1～2～3…,～再归纳出以下规律:,,,,,,当k,2n(n,Z)时～～是第一象限的角,n,360，45,,n,360，90(k,Z)22,,,,,,当k,2n，1(n,Z)时～～是第三象限的角。n,360，225,,n,360，270(k,Z)22,?是第一或第三象限的角。2说明:配以图形加以说明。,,3,学生练习后教师讲解并配以图形说明。,是第一或第二或第四象限的角,3,,,,进一步求是第几象限的角,是第三象限的角,～学生练习～教师校对答案。三、例题小结1(要注意某一区间内的角和象限角的区别～象限角是由无数各区间角组成的,2(要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如80θ=a+k〓120,k?Z,所表示的角所在的象限。四、课堂练习,练习2若的终边在第一、三象限的角平分线上～则的终边在y轴的非负半轴上.2,,000,的终边与60角的终边相同～试写出在,0～360,内～与角的终边相同的练习3若3000角。,20～140～260,0120y,备用题,练习4如右图～写出阴影部分,包括边界,的角O～0x的集合～并指出-95012是否是该集合中的角。02500000,{α|120+k〓360?α?250+k〓360～k?Z},是,探究活动经过5小时又25分钟～时钟的分针、时针各转多少度,五、作业A组:1(与终边相同的角的集合是___________～它们是第____________象限的角～其中最小的正角是___________～最大负角是___________(oo2(在0~360范围内～找出下列各角终边相同的角～并指出它们是哪个象限的角:ooo,,1,,265,2,,1000,3,,84310’,4,3900B组3(写出终边在x轴上的角的集合。oo4(写出与下列各角终边相同的角的集合～并把集合中适合不等式,360?β,360的元素写出来:oooooooo(1)60(2),75(3),82430’(4)475(5)90(6)270(7)180(8)0C组:若是第二象限角时～则～～分别是第几象限的角,9教学目的:要求学生掌握弧度制的定义～学会弧度制与角度制互化～并进而建立角的集合与实数集一一对应关系的概念。R教学过程:一、回忆,复习,度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。二、提出课题:弧度制—另一种度量角的单位制它的单位是rad读作弧度定义:l=2BC长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度rr2rad的角。1radrAAoo如图:，AOB=1rad，AOC=2rad周角=2,rad1(正角的弧度数是正数～负角的弧度数是负数～零角的弧度数是0lr,2(角,的弧度数的绝对值,为弧长～为半径,,lr3(用角度制和弧度制来度量零角～单位不同～但数量相同,都是0,用角度制和弧度制来度量任一非零角～单位不同～量数也不同。三、角度制与弧度制的换算抓住:360:=2,rad?180:=,rad,?1:=rad,0.01745rad180,180,,,,1rad,,57.30,5718',,,,,,例一把化成弧度6730',,131,,,,6730',，67,解:?rad,rad6730',67,,180282,,3例二把,rad化成度533,,解:,rad,，180,10855注意几点:1(度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行,2(今后在具体运算时～“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如:3表示3radsin,表示,rad角的正弦3(一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住,见课本P9表,4(应确立如下的概念:角的概念推广之后～无论用角度制还是弧度制都能在11角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。正实数正角零零角负实数负角任意角的集合实数集R四、练习,P11练习12,x例三用弧度制表示:1:终边在轴上的角的集合2:终边在轴上的角的集y合3:终边在坐标轴上的角的集合,,x解:1:终边在轴上的角的集合S,,|,,k,,k,Z1,,,S,|,k，,k,Z2:终边在轴上的角的集合,,,y,,22,,k,,,S,|,,k,Z3:终边在坐标轴上的角的集合,,,,32,,五、小结:1(弧度制定义2(与弧度制的互化六、作业:12教学过程:一、复习:弧度制的定义～它与角度制互化的方法。nrl,二、由公式:比相应的公式l简单,,,,l,r,,180r弧长等于弧所对的圆心角,的弧度数,的绝对值与半径的积1例一利用弧度制证明扇形面积公式其中是扇形弧长～是圆的半径。S,lRRl212证:如图:圆心角为1rad的扇形面积为:,R2,lR弧长为的扇形圆心角为radloSRll112?S,,,,R,lRR22,2n,RS,比较这与扇形面积公式要简单扇360,4,例二直径为20cm的圆中～求下列各圆心所对的弧长??1653440,,解:?:l,,r,，10,(cm)r,10cm,3311,,,?:?165,，165(rad),rad180121155,,l,，10,(cm)126例三如图～已知扇形的周长是6cm～该扇形AOBAB的中心角是1弧度～求该扇形的面积。解:设扇形的半径为r～弧长为～则有lo2r，l,6,r,2,1,2l,?扇形的面积S,rl,2(cm),,,1l,22,,r,,例四计算sintan1.542,,,,sin,sin45,,45解:??424,,,1.5rad,57.30，1.5,85.95,8557',?tan1.5,tan8557',14.122k,(k,Z)例五将下列各角化成0到的角加上的形式2,19,?,?,315313,19解:,,，6,33,,,,,315,45,360,,2,460,精确到1m,例六求图中公路弯道处弧AB的长lR=45图中长度单位为:m,,解:?,603,?l,,R,，45,3.14，15,47(m),3三、练习:四、作业:14知识目标:1.掌握任意角的三角函数的定义,2.已知角α终边上一点～会求角α的各三角函数值,3.记住三角函数的定义域、值域～诱导公式,一,。能力目标:,1,理解并掌握任意角的三角函数的定义,,2,树立映射观点～正确理解三角函数是以实数为自变量的函数,,3,通过对定义域～三角函数值的符号～诱导公式一的推导～提高学生分析、探究、解决问题的能力。德育目标:,1,使学生认识到事物之间是有联系的～三角函数就是角度,自变量,与比值,函数值,的一种联系方式,,2,学习转化的思想～培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神,教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义,包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号,～以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。教学难点:利用与单位圆有关的有向线段～将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.授课类型:新授课教学模式:启发、诱导发现教学.教具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:初中锐角的三角函数是如何定义的,在Rt?ABC中～设A对边为a～B对边为b～C对边为c～锐角A的正弦、余弦、正切依aba次为sinAcosAtanA,,,,,(ccb角推广后～这样的三角函数的定义不再适用～我们必须对三角函数重新定义。二、讲解新课:1(三角函数定义(,)xy在直角坐标系中～设α是一个任意角～α终边上任意一点,除了原点,的坐标为～P2222它与原点的距离为～那么rrxyxy(||||0),，,，,yy,1,比值叫做α的正弦～记作～即sin,,,sin,rrxxcos,cos,,,2,比值叫做α的余弦～记作～即,rryytan,,,3,比值叫做α的正切～记作～即,tan,xxxxcot,,,4,比值叫做α的余切～记作～即,cot,yy15rrsec,,5,比值叫做α的正割～记作～即,sec,,xxrrcsc,,csc,,6,比值叫做α的余割～记作～即(yyx说明:?α的始边与轴的非负半轴重合～α的终边没有表明α一定是正角或负角～以及α的大小～只表明与α的终边相同的角所在的位臵,?根据相似三角形的知识～对于确定的角α～六个比值不以点在α的终边上的Pxy(,)位臵的改变而改变大小,,x?当时～α的终边在轴上～终边上任意一点的横坐标都等于～,，,kkZ()y0,,2xryrcoy,,csc,,所以与无意义,同理～当时～与无意,,,,kkZ()tan,,sec,,yyxx义,xrxryy?除以上两种情况外～对于确定的值α～比值、、、、、分别是一个确yyrrxx定的实数～所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量～一比值为函数值的函数～以上六种函数统称为三角函数。2(三角函数的定义域、值域函数定义域值域y,sin,[1,1],R[1,1],y,cos,R,y,tan,{|,},，,kkZ,,,R2注意:(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题～其顶点都在原点～始边都与x轴的非负半轴重合.(2)α是任意角～射线OP是角α的终边～α的各三角函数值,或是否有意义,与ox转了几圈～按什么方向旋转到OP的位臵无关.,(3)sin是个整体符号～不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样.(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例～它们的基础共建立于相似,直角,三角形的性质～“r”同为正值.所不同的是～锐角三角函数是以边的比来定义的～任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上～由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.(5)为了便于记忆～我们可以利用两种三角函数定义的一致性～将直角三角形臵于平面直角坐标系的第一象限～使一锐角顶点与原点重合～一直角边与x轴的非负半轴重合～利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.3(例题分析16例1(已知角α的终边经过点～求α的六个函数制值。P(2,3),22解:因为～所以～于是xy,,,2,3r,，,,2(3)13y,3313x2213,,,,,,,cossin,,,,r13r131313x2y3cot,,,,,,,,,,tany3x2r13r13,,,sec,(,,,,cscx2y3例2(求下列各角的六个三角函数值:3,,,1,,,2,,,3,(02xr,解:,1,因为当时～～～所以y,0,,0～～sin00,cos01,～不存在～tan00,cot0～不存在。sec01,csc0,,,xr,,,2,因为当时～～～所以y,0～～sin0,,cos1,,,～不存在～tan0,,cot,csc,～不存在。sec1,,,3,,3,因为当时～～～所以,yr,,x,0,23,3,～～,,,cos0sin1223,3,不存在～,～cot0tan223,3,不存在～(csc1,,sec22(,2)(0)aaa,例3(已知角α的终边过点～求α的六个三角函数值。ra,5||(,2)(0)aaa,xaya,,,2解:因为过点～所以～yaa2225当,,,,,,时，,a0sinr55||5aa15xaa5,,,,,,,,tan2;cot;sec5;csc,,,,,,cos22r55ayaa2225当,,,,,,,时，,a0sinr5,5||5aa1715xaa5,,,,,,,,,,tan2;cot;sec5;csc,(,,,,,cos22r5,5a4(三角函数的符号由三角函数的定义～以及各象限内点的坐标的符号～我们可以得知:y正弦值对于第一、二象限为正,,～对于第三、四象限为负,,,?yr,,0,0yr,,0,0rx?余弦值对于第一、四象限为正,,～对于第二、三象限为负,,,xr,,0,0xr,,0,0ry?正切值对于第一、三象限为正,同号,～对于第二、四象限为负,异号,(xy,xy,x说明:若终边落在轴线上～则可用定义求出三角函数值。,sin余弦、正割正弦、余割正切、余切为正全正ycsc,yy,,tancos-+-+++为正为正cot,sec,oooxxx-+-+--5(诱导公式由三角函数的定义～就可知道:终边相同的角三角函数值相同。即有:sin(2)sin,,,，,k～cos(2)cos,,,，,k～其中(kZ,tan(2)tan,,,，,k～这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0，2π间角的三角函数值问题(三、巩固与练习1确定下列三角函数值的符号:,11,tan(672),,1,,,2,sin(),,,3,,,4,(cos250tan43cosxtanx2求函数的值域y,，cosxtanx解:定义域:cosx,0?x的终边不在x轴上又?tanx,0?x的终边不在y轴上x,0,y,0?当x是第?象限角时～cosx=|cosx|tanx=|tanx|?y=2x,0,y,0…………?…………,|cosx|=,cosx|tanx|=,tanx?y=,2x,0,y,0…………??………,|cosx|=,cosx|tanx|=tanx?y=0x,0,y,0四、小结:本节课学习了以下内容:1(任意角的三角函数的定义,2(三角函数的定义域、值域,183(三角函数的符号及诱导公式。五、课后作业:,cos,补充:1已知点～在角的终边上～求、、的值。(3,-4)rr(0)r,Psin,tan,cos,的值2已知角,的终边经过P(4,,3),求2sin,+342解:由定义:sin,=,cos,=?2sin,+cos,=,r,5555六、板书设计:19知识目标:1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式,2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值,3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。能力目标:掌握用单位圆中的线段表示三角函数值～从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。德育目标:学习转化的思想～培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神,教学重点:正弦、余弦、正切线的概念。教学难点:正弦、余弦、正切线的利用。授课类型:新授课教学模式:讲练结合教具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:1(三角函数的定义及定义域、值域:2mPm(3,),sin,,,练习1:已知角的终边上一点～且～求cos,sin,,的值。422222rOPm,,,，||(3)x,,3解:由题设知～～所以～得～ym,rm,，32mmm2sin,,16625,，,,,mm从而,,～解得或(m,024r3，mrx,,,3,3当时～～m,0xycos1,tan0,,,,,,,,rxrx,,,22,3m,5当时～～xy615,,,,,,,,cos,tan,rx43rx,,,22,3m,,5当时～～xy615,,,,,,,cos,tan(rx432(三角函数的符号:练习2:已知且～sin0,,tan0,,,,,,,tan,sincos,1,求角的集合,,2,求角终边所在的象限,,3,试判断的符号。22223(诱导公式:练习3:求下列三角函数的值:9,11,9,cos,,1,～,2,～,3,(tan()sin46221二、讲解新课:22当角的终边上一点的坐标满足时～有三角函数正弦、余弦、正切值的Pxy(,)xy，,1几何表示——三角函数线。1(单位圆:圆心在圆点～半径等于单位长的圆叫做单位圆。O2(有向线段:坐标轴是规定了方向的直线～那么与之平行的线段亦可规定方向。规定:与坐标轴方向一致时为正～与坐标方向相反时为负。3(三角函数线的定义:,x的顶点在原点～始边与轴非负半轴重合～终边与单位圆相交与点～设任意角(,)xyPO,x过作轴的垂线～垂足为,过点作单位圆的切线～它与角的终边或其反向延A(1,0)PM长线交与点.TyyTPPAAoxoMxMT(?)(?)yyTMMAAxoxoPPT(?)(?)由四个图看出:,OMxMPy,,,当角的终边不在坐标轴上时～有向线段～于是有yyxxsin,,,,,yMP～cos,,,,,xOM～r1r1yMPATtan,,,,,AT(xOMOAMPOMAT,,我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。说明:,x?三条有向线段的位臵:正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段,余弦xx线在轴上,正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上～三条有向线段中两条在单位圆内～一条在单位圆外。,?三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点,余弦线由原点指向垂22,足,正切线由切点指向与的终边的交点。xx?三条有向线段的正负:三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值～与轴或轴反向的yy为负值。?三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前～终点字母在后面。4(例题分析:例1(作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。5,,2,13,,1,,,2,,,3,,,4,(,,3366解:图略。例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小:24,,,,,,2424sinsin1:与2:tan与tan3:cot与cot353535解:如图可知:SSB21P1P2A24,,o,sinsinT352MMS211,,24T1,tantan35,,24,cotcot35例3(利用单位圆寻找适合下列条件的0:到360:的角31,1:sin,?2:tan,32解:1:2:yy30:TPP21oxoxA210:,,,,30:?,?150:30:,90:或210:,270:x例4(利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。11,1,sinx,,,,2,cosx,,2211,,,,,3,且cosx,,0,sinxx2211,4,,,5,且(|cos|x,sinx,tan1x,,2223711,,,,答案:,1,,,2,,，,,，,,，,,，,22,kxkkZ22,kxkkZ,,,,6666,,5,,,,,3,,,4,,,,,,，，,,，，,kxkkZ,xkZ,,,366262,,3,5,(，,,，,22,kxkkZ,,24三、巩固与练习四、小结:本节课学习了以下内容:1(三角函数线的定义,2(会画任意角的三角函数线,3(利用单位圆比较三角函数值的大小～求角的范围。五、课后作业:cos64,cos285补充:1(利用余弦线比较的大小,,,2(若～则比较、、的大小,,,sin,cos,tan,,423(分别根据下列条件～写出角的取值范围:,33cos,,sin,,,,1,,,2,,,3,(tan1,,,22六、板书设计:24知识目标:1.理解三角函数定义.三角函数的定义域～三角函数线.2.理解握各种三角函数在各象限内的符号.3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等.能力目标:1.掌握三角函数定义.三角函数的定义域～三角函数线.2.掌握各种三角函数在各象限内的符号.3.掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.授课类型:复习课教学模式:讲练结合教具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:1、三角函数定义.三角函数的定义域～三角函数线～各种三角函数在各象限内的符号.诱导公式第一组.2.确定下列各式的符号(1)sin100??cos240?(2)sin5+tan5sinx，cosx3..x取什么值时,有意义?tanx,4(若三角形的两内角,～,满足sin,cos,0～则此三角形必为……,,A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上三种情况都可能5(若是第三象限角～则下列各式中不成立的是………………,,,,A:sin,+cos,0B:tan,,sin,0,,C:cos,,cot,0D:cot,csc,0,,6(已知,是第三象限角且～问是第几象限角,cos,022二、讲解新课:1、求下列函数的定义域:2yx,,2cos1yx,,lg(34sin),1,,,2,sin2,1,,2、已知～则,为第几象限角,,1,,2,,3、,1,若θ在第四象限～试判断sin(cosθ)cos(sinθ)的符号,,,2,若tan(cosθ)cot(sinθ)>0,试指出θ所在的象限～并用图形表示出的取值范围.2,sin,0,4、求证角θ为第三象限角的充分必要条件是,tan,,0,证明:必要性:?θ是第三象限角～25,sin,0,?,tan,,0,充分性:?sinθ,0～是第三或第四象限角或终边在轴的非正半轴上?θ,?tanθ,0～?θ是第一或第三象限角.?sinθ,0～tanθ,0都成立.?θ为第三象限角.5求值:sin(-1320?)cos1110?+cos(-1020?)sin750?+tan495?(三、巩固与练习cosxsintan|cot|xxx1求函数的值域y,，，，|sin|costancotxxxx,,,2设,是第二象限的角～且的范围.|cos|cos,,,求222结:四、小五、课后作业:1、利用单位圆中的三角函数线～确定下列各角的取值范围:(1)sinα<cosα;(2)|sinα|<|cosα|.,2、若求证:0,sintan.,,,,xxxx23、角α的终边上的点P与A,a,b,关于x轴对称(0)ab,～角β的终边上的点Q与A关于直线y=x对称.求sinαescβ+tanαcotβ+secαcscβ的值.六、板书设计:26知识目标:1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式,2.掌握三种基本关系式之间的联系,3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。能力目标:,1,牢固掌握同角三角函数的八个关系式～并能灵活运用于解题～提高学生分析、解决三角的思维能力,,2,灵活运用同角三角函数关系式的不同变形～提高三角恒等变形的能力,德育目标:训练三角恒等变形的能力～进一步树立化归思想方法,教学重点:同角三角函数的基本关系式教学难点:三角函数值的符号的确定～同角三角函数的基本关系式的变式应用授课类型:新授课教学模式:启发、诱导发现教学.教具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:1(任意角的三角函数定义:,,设角是一个任意角～终边上任意一点Pxy(,)～2222它与原点的距离为～那么:rrxyxy(||||0),，,，,xryxyrcot,,csc,,～～～～～(sin,,cos,,tan,,sec,,yyrrxx2(当角α分别在不同的象限时～sinα、cosα、tgα、ctgα的符号分别是怎样的,3sinA,3(背景:如果～A为第一象限的角～如何求角A的其它三角函数值,54(问题:由于α的三角函数都是由x、y、r表示的～则角α的六个三角函数之间有什么关系,二、讲解新课:,一,同角三角函数的基本关系式:,板书课题:同角的三角函数的基本关系,1.由三角函数的定义～我们可以得到以下关系:,,sin,csc,1,,,,cos,sec,1,1,倒数关系:,,tan,,cot,,1,,sin,,,tan,,cos,2,商数关系:,,cos,,,cotsin,,2722,,,sin，cos,1,22,,1，tan,sec,3,平方关系:,22,1，cot,,csc,,2.给出右图～你能说明怎样利用它帮助我们记忆三sinAcosA角函数的基本关系吗,,1,在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1～ctgA有倒数关系。tgA1,2,带有阴影的三个倒臵三角形中～上面两个三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值cscAsecA的平方。有平方关系。,3,六边形上任意一个顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上的函数值的乘积。可演化出商数关系。说明:22?注意“同角”～至于角的形式无关重要～如等,sin4cos41,,，,?注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的～如k,,tancot1(,),,,,kZ,,,2?对这些关系式不仅要牢固掌握～还要能灵活运用,正用、反用、变形用,～如:sin,222～～等。,sin1cos,,,,coscos1sin,,,,,,tan,3(例题分析:12,例1(,1,已知～并且是第二象限角～求(,,sincos,tan,cot,,,134sin,tan,,,2,已知,,,～求(cos522解:,1,?～sincos1,,，,1252222?,,,,,,,～cos1sin1()()1313,又?是第二象限角～5,,,?～即有cos～从而cos0,,13sin12,15,,,～,,,,(tancot,cos5tan12,,43222222,2,?sincos1,,，,～?,,,,,,,,～sin1cos1()()554,又?,,,,～?在第二或三象限角。cos053sin3,,当在第二象限时～即有～从而sin～tan,,,,,,sin0,,,5cos4,283sin3,,当在第四象限时～即有～从而～(,,,,,sintansin0,,,5cos4,总结:1.已知一个角的某一个三角函数值～便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中～确定角的终边位臵是关键和必要的。有时～由于角的终边位臵的不确定～因此解的情况不止一种。2.解题时产生遗漏的主要原因是:?没有确定好或不去确定角的终边位臵,?利用平方关系开平方时～漏掉了负的平方根。例2(已知为非零实数～用表示(sin,cos,,tan,tan,sin,22解:?～～,sincos1,,，,tan,cos,122222(costan)coscos(1tan)1,,,,,,，,，,?～即有～,,cos2，1tan,,又?为非零实数～?为象限角。tan,211tan，,,当在第一、四象限时～即有～从而～cos0,,cos,,,221tan1tan，，,,2tan1tan,,，sintancos,,,,,,,21tan，,211tan，,,当在第二、三象限时～即有～从而～cos0,,cos,,,,,221tan1tan，，,,2tan1tan,,，sintancos,,,,(,,,21tan，,cos,例3(已知,,～求m,0cot,,mcos,cos,解:?,～即,～cotsin,,sincot,,22又?～sincos1,,，,22cos1,m12222，,，,cos,,coscos(1)1?～即～～,，,,,cos(1)122221，mcotcotm,,,又?～?为象限角。m,02m,在第一、四象限时～即有～,当cos,,cos0,,2m，12m,当在第二、三象限时～即有～(cos,,,cos0,,2m，14(总结解题的一般步骤:?确定终边的位臵,判断所求三角函数的符号,,?根据同角三角函数的关系式求值。三、巩固与练习第27页练习1～2～3～4四、小结:本节课学习了以下内容:291(同角三角函数基本关系式及成立的条件,2(根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值,3(在以上的题型中:先确定角的终边位臵～再根据关系式求值。如已知正弦或余弦～则先用平方关系～再用其它关系求值,若已知正切或余切～则可构造方程组来求值。五、课后作业:六、板书设计:30知识目标:根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明,能力目标:,1,了解已知一个三角函数关系式求三角函数,式,值的方法。,2,灵活运用同角三角函数关系式的不同变形～提高三角恒等变形的能力,德育目标:训练三角恒等变形的能力～进一步树立化归思想方法,教学重点:同角三角函数的基本关系式教学难点:如何运用公式对三角式进行化简和证明。授课类型:新授课教学模式:启发、诱导发现教学.教具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:1(同角三角函数的基本关系式。,1,倒数关系:～～(sincsc1,,,,cossec1,,,,tancot1,,,,sin,cos,,2,商数关系:～(,,tancot,,cossin,,222222,3,平方关系:～～(sincos1,,，,1tansec，,,,1cotcsc，,,,4cos,,练习,已知～求,tan,32(tanαcosα=～cotαsecα=～,secα+tanα,〃,,=1二、讲解新课:2例1(化简(1sin440,222解:原式(,,，,,1sin(36080)1sin80,,cos80cos80例2(化简(12sin40cos40,22解:原式,，,sin40cos402sin40cos402,,,,,,(sin40cos40)|cos40sin40|cos40sin40(sin,,4cos,2例3、已知～求及sin,，2sin,cos,的值。sin,,2cos,5sin,，2cos,？sin,,2cos,？tan,,2解:sin,,4cos,tan,,4,21？,,,,5sin,，2cos,5tan,，212622sin2sincostan2tan426,，,,,，,，2sin2sincos,，,,,,,,222415，sincostan1,，,,，强调,指出,技巧:1:分子、分母是正余弦的一次,或二次,齐次式2:“化1法”313sin,，cos,,例4、已知～求tan,，cot,及sin,,cos,的值。331sin,，cos,,解:将两边平方～得:sin,cos,,,331？tan,，cot,,,,3sin,cos,25152？sin,,cos,,,(sincos)12sincos1,,,,,,,,，,33325例5、已知tan,，cot,,,122233求tan,,cot,,tan,,cot,,tan,，cot,,sin,，cos,62522解:由题设:tan,，cot,,,2,1446257tan,,cot,,,,4,,?1441225717522tancot(tancot)(tancot)(),,,,,，,,,,,，,,,12121443322tancot(tancot)(tancottancot),，,,,，,,，,,,,127sin,，cos,,,1，2sin,cos,,,1，2，,,25512512？tan,，cot,,,？sin,cos,,()sin,cos,1225133tan,及sin,,cos,的值。例6、已知sin,，cos,,(0,,,,)～求512,1:由解:sin,cos,,,,0,,,,,得:cos,,0？,,(,,)2524972(sincos),sincos,,,,得:,,,,由联立:255,14,sin,，cos,,sin,,,,4,55,,tan,,,,,733,,sin,,cos,,cos,,,,55,,43913333sincos()()2:,,,,,,,551254,2mm,3tan,的值。例7、已知sin,,,cos,,,,是第四象限角，求m，5m，54,2mm,32222()，(),1解:?sin,+cos,=1?m，5m，532化简～整理得:m(m,8),0？m,0,m,81243当m=0时～sin,,,cos,,,，(与,是第四象限角不合)5512512sin,,,,cos,,，？tan,,,当m=8时～13135三、巩固与练习1:已知12sin+5cos=0～求sin、cos的值.,,,,522+5cos=0?sin=cos～又解:?12sin,sin,，cos,,1,,,,125144222则,cos,+=1～即=,cos,cos,,1216955,,,,sin,,sin,,,12,,1313?cos=〒?或,,,121213,,cos,,cos,,,,,,,1313,,4sin,2cos5tan,,35cos,，3sin,72.已知～求,1,,原式=9222sin,，sin,cos,,3cos,5,2,,原式=说明:,1,为了直接利用～注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式～把分子、tan,,3cos,分母同除以,将分子、分母转化为的代数式,tan,22,2,可利用平方关系～将分子、分母都变为二次齐次式～再利用商数关系sin,，cos,,1化归为的分式求值,tan,31222232(1)tgA,sinA,tgA,sinA(2)设sinx,cosx,,求sinx,cosx514cosx,5sinx22(3)ctgx,,求(1);(2)8sinx,9cosx.46cosx，7sinx22(4)(1)sec301(2)cosx6cosx9化简:,,，22(3)sin10:,2sin10:cos10:，cos10:441sinxcosxctgAtgAsecA,,,，(4)(5)6622sinA1sinxcosxsinAcosA,,,4.已知secα—tgα=5～求sinα。解1:?secα—tgα=5=5〓1=5,sec2α—tg2α,=5,secα+tgα,,secα—tgα,～故secα+tgα=1/5～12则secα=13/5～tgα=—12/5,sinα=tgα〃cosα=,1333,1,sin解2:由已知:,5,？sin,,1,？cos,,0cos,122则1sin51sinsin1,sin,,,,,,,,or,,,13226～求值,5.已知sin,，sin,,1cos,，cos,解:可求5,1sin,,226322coscossinsinsin(1cos)sin2sinsin3sin1，,，,，,,,,,,,,,,,,,,,分析:本题关51355,,31,，,,222键时灵活地多次运用条件从而结合同角三角函数关系式达到降次求解的目sin,，sin,,1标,小结:化简三角函数式～化简的一般要求是:,1,尽量使函数种类最少～项数最少～次数最低,,2,尽量使分母不含三角函数式,,3,根式内的三角函数式尽量开出来,,4,能求得数值的应计算出来～其次要注意在三角函数式变形时～常常将式子中的“1”作巧妙的变形～如:2222221=sin,，cos,,sec,,tan,,csc,,cot,四、小结:本节课学习了以下内容:1(运用同角三角函数关系式化简、证明。2(常用的变形措施有:大角化小～切割化弦等。五、课后作业:习题第5～7～8题4.42思考:已知sin=2sinβ～tan=3tanβ～求的值.cos,,,,tan,sin解:sinβ=tanβ=3212又1+tanβ=～2cos,,tan1136?1+,，即8，,2229sin,cos,3，cos,1,434222cos11cos30cos1cos即8,,,，,，解得,,或,,8六、板书设计:34知识目标:根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明,能力目标:,1,了解已知一个三角函数关系式求三角函数,式,值的方法。,2,灵活运用同角三角函数关系式的不同变形～提高三角恒等变形的能力,德育目标:训练三角恒等变形的能力～进一步树立化归思想方法,教学重点:同角三角函数的基本关系式教学难点:如何运用公式对三角式进行化简和证明。授课类型:新授课教学模式:启发、诱导发现教学.教具:多媒体、实物投影仪教学过程:一、复习引入:1(同角三角函数的基本关系式。,1,倒数关系:～～(sincsc1,,,,cossec1,,,,tancot1,,,,sin,cos,,2,商数关系:～(,,tancot,,cossin,,222222,3,平方关系:～～(sincos1,,，,1tansec，,,,1cotcsc，,,,4cos,,练习,已知～求,tan,32(tanαcosα=～cotαsecα=～,secα+tanα,〃,,=1二、讲解新课:1sin1sin，,,,,,,2tan,例8(已知～试确定使等式成立的角的集合。,1sin1sin,，,,221sin1sin，,,,|1sin||1sin，,,,(1sin)(1sin)，,,,,,,解:?=,221sin1sin,，|cos||cos|,,,,coscos,,1sin1sin，,，,,2sin,==(|cos||cos|,,1sin1sin，,,,,,,2tan又?～,1sin1sin,，,,2sin,2sin,|cos|cos0,,,,,，,?～即得或(0sin0,,|cos|cos,,,,3,{|,,,,k，,,，,所以～角的集合为:或(22,}kkkZ,,,22(1cotcsc)(1tansec),，,，,,,,例9(化简(cos1sin1,,解:原式=,，,，(1)(1)sinsincoscos,,,,2sincos1cossin11(sincos),,,,,,,，,，,,112sincos,，,,,,,,(,,2sincossincos,sincos,,,,,,,35说明:化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点:,1,所含三角函数的种类最少,,2,能求值,指准确值,尽量求值,,3,不含特殊角的三角函数值。cos1sinxx，(例10(求证:,1sincos,xx证法一:由题义知～所以(1sin0,1sin0，,,,xxcos0x,cos(1sin)cos(1sin)xxxx，，1sin，x,?左边=右边(,,2(1sin)(1sin)cos,，xxxcosx?原式成立(证法二:由题义知～所以(1sin0,1sin0，,,,xxcos0x,22(1sin)(1sin)1sincoscoscos,，,,,,,xxxxxx又?～cos1sinxx，?(,1sincos,xx证法三:由题义知～所以(1sin0,1sin0，,,,xxcos0x,22cos1sinxx,，coscos(1sin)(1sin)xxxx,,，,cos1sinxx，,,0,～,(1sin)cos,xx(1sin)cos,xx1sincos,xxcos1sinxx，?(,1sincos,xx22例11(求证:(sintancoscot2sincostancotxxxxxxxx,，,，,,，sin1x22,证明:左边sincos2sincosxxxx,，,，,costanxx3sincosxx2,，,，,cos2sincosxxxcossinxx4422222sincos2sincosxxxx，，(sincos)1xx，,,,～sincossincosxxxxsincosxx,22sincossincos1xxxx，,，,,右边(cossinsincossincosxxxxxx所以～原式成立。总结:证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程～证明时常用的方法有:,1,从一边开始～证明它等于另一边,如例5的证法一,,,2,证明左右两边同等于同一个式子,如例6,,,3,证明与原式等价的另一个式子成立～从而推出原式成立。13,,sincos(0)xxx，,,,sin,cosxx例12(已知～求(213,,sincos(0)xxx，,,,解:由等式两边平方:213,222sincos2sincos()xxxx，，,(2363sincosxx,,?,*,～4,13,sincosxx，,,,2即～,3,sincosxx,,,,4133,132zz,,,,zz,,,0可看作方程的两个根～解得(sin,cosxx122224又?～?(又由,*,式知0,,x,sin0x,cos0x,13sin,cosxx,,,(因此～22三、巩固与练习3.求证:2222(1)ctgA(tgAsinA)sinA,,122,,(2)sincos,22seccsc，,,22222(3)(1sinA)(secA1)sinA(cscActgA),,,,cosx1sinx，(4),1sinxcosx,小结:化简三角函数式～化简的一般要求是:,1,尽量使函数种类最少～项数最少～次数最低,,2,尽量使分母不含三角函数式,,3,根式内的三角函数式尽量开出来,,4,能求得数值的应计算出来～其次要注意在三角函数式变形时～常常将式子中的“1”作巧妙的变形～如:2222221=sin,，cos,,sec,,tan,,csc,,c