流体动力学理论基础第三章

流体动力学理论基础第三章第一页，共八十六页，编辑于2023年，星期日§2—1描述流动的方法

离散

质点系刚体流体质点间的约束强无弱

一.描述流体运动的困难质点数N个无穷无穷第二页，共八十六页，编辑于2023年，星期日

离散

质点系刚体流体第三页，共八十六页，编辑于2023年，星期日本章的主要内容：流体运动的基本概念流体运动的总流理论

——恒定总流连续性方程、能量方程流体运动的流场理论

——理想流体的运动方程、N-S方程和恒定平面势流任务：建立描述流体运动的基本方程，并理解其物理意义、掌握其实际应用。本章重点：恒定总流的连续性方程、能量方程及其应用第四页，共八十六页，编辑于2023年，星期日3-1描述流体运动的两种方法一、拉格朗日法(LagrangeMethod)

拉格朗日法以研究个别流体质点的运动为基础，通过对每个流体质点运动规律的研究来获得整个流体运动的规律性。所以这种方法又可叫做质点系法。

第五页，共八十六页，编辑于2023年，星期日拉格朗日法---将液体质点作为研究对象跟踪并研究每一个液体质点的运动情况，它以流体个别质点随时间的运动为基础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求得整个流动。——质点系法xzyOM（a，b，c）（t0）（x，y，z）t第六页，共八十六页，编辑于2023年，星期日空间坐标（a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标，称为拉格朗日数。所以，任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看作是（a,b,c）和时间t的函数(1)(a,b,c)=const，t为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。(2)(a,b,c)为变数，t=const，可以得出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。第七页，共八十六页，编辑于2023年，星期日

加速度速度

由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也无须知道个别质点的运动情况，所以除了少数情况（如波浪运动）外，水力学中很少采用。

根据质点动力学速度与加速度的定义第八页，共八十六页，编辑于2023年，星期日二、欧拉法(EulerMethod)

欧拉法是以考察不同流体质点通过固定空间点的运动情况来了解整个流动空间的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场，所以这种方法又叫做流场法。通常在同一时刻不同空间点上的流速是不同的，同一空间点上不同时刻的速度也不同，即流速是空间坐标（x，y，z）和时间t的函数：速度（x,y,z,t）—欧拉变量第九页，共八十六页，编辑于2023年，星期日

考察不同时刻液体质点通过流场中固定空间点的运动情况，综合足够多的固定空间点的运动情况，得到整个液流的运动规律。——流场法

欧拉法不直接追究质点的运动过程，而是研究各时刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。

第十页，共八十六页，编辑于2023年，星期日

若令上式中x、y、z为常数，t为变数，即可求得在某一固定空间点上流体质点在不同时刻通过该点的流速的变化情况。若令t为常数，x、y、z为变数,则可求得在同一时刻，通过不同空间点上的流体质点的流速的分布情况(即流速场)。第十一页，共八十六页，编辑于2023年，星期日

加速度是速度的全微分。对于流体质点，不同时刻位于不同的空间位置。故质点加速度必須按复合函数求导数的法则求导：分量

类似地有：ay=……;az=……第十二页，共八十六页，编辑于2023年，星期日

式中第一项叫时变加速度或当地加速度(LocalAcceleration)，流动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度；第二项叫位变速度，流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的加速度(ConnectiveAcceleration)。第十三页，共八十六页，编辑于2023年，星期日=+时变导数当地导数局部导数全质导点数导

数位变导数迁移导数对流导数算子第十四页，共八十六页，编辑于2023年，星期日时变加速度（当地加速度）——液体由于速度随时间变化而引起的加速度

在恒定流中，流场中任意空间点的运动要素不随时间变化，所以时变加速度等于零

在均匀流中，质点运动速度不随空间位置变化，所以位变加速度等于零位变加速度（迁移加速度)——液体由于速度随位置变化而引起的加速度

质点的加速度（流速对时间求导）由流速不均匀性引起由流速不恒定性引起第十五页，共八十六页，编辑于2023年，星期日

恒定流时时变加速度为零，非恒定时时变加速度不等于零。但位变加速度是否等于零并不决定于是否是恒定流，而要看流体质点自一点转移到另一点时流速是否改变。均匀流是迁移加速度为零。

第十六页，共八十六页，编辑于2023年，星期日1、在水位恒定的情况下：

(1)A→A’不存在时变加速度和位变加速度。

(2)B→B’不存在时变加速度，但存在位变加速度。2、在水位变化的情况下：

(1)A→A’存在时变加速度，但不存在位变加速度。

(2)B→B’既存在时变加速度，又存在位变加速度。问题：均匀流是：

A、当地加速度为零

C、向心加速度为零

D、合加速度为零B、迁移加速度为零第十七页，共八十六页，编辑于2023年，星期日时刻tA点流速为ux

Aˊ点的流速为

时刻t+dt，A点的流速变为Aˊ点的流速为

该液体质点通过A点时的加速度为当地加速度当地加速度

迁移加速度迁移加速度第十八页，共八十六页，编辑于2023年，星期日拉格朗日法2.比较表达式复杂不能直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布适合描述流体元的运动变形特性拉格朗日观点是重要的流体力学最常用的解析方法欧拉法分别描述有限质点的轨迹表达式简单同时描述所有质点的瞬时参数不适合描述流体元的运动变形特性第十九页，共八十六页，编辑于2023年，星期日第二十页，共八十六页，编辑于2023年，星期日描述液体运动的两种方法第二十一页，共八十六页，编辑于2023年，星期日拉格朗日方法着眼点：流体质点基本思路：跟踪单个流体质点，并且随时间连续记录其位置坐标和其它物理量，从而搞清楚该质点随时间变化的规律。若对每一个流体质点皆照此办理，那么全部流体的运动规律也就可以知道了。流体质点是连续分布的，因此要研究某个确定的质点的运动，首先必须有一个表征这个质点的办法，以便识别和区分不同的流体质点。通常取初始时刻t=t0时每一个质点的空间位置坐标(a，b，c)作为区分质点的标识，不同的a，b，c值代表不同的流体质点，不同流体质点在初始时刻也唯一的对应一组a，b，c值。第二十二页，共八十六页，编辑于2023年，星期日xzyOM（a，b，c）（t0）（x，y，z）t若给定a，b，c，即为某一质点的运动轨迹线方程。液体质点在任意时刻的速度。第二十三页，共八十六页，编辑于2023年，星期日描述流体运动的两种方法第二十四页，共八十六页，编辑于2023年，星期日着眼点：空间点基本思路：在固定的空间点上设置“观察哨”，随时间连续变化，将有不同的流体质点鱼贯通过观察哨，通过连续记录不同流体质点在经过哨所时的流动要素（如速度、压强等），就可以掌握这一点（哨位）上的流动情况。若将此做法遍及流场中的每一点，就可以了解流场中流体运动的全部信息。显然，在欧拉描述中，各空间点上的物理量（实际上是通过此点的流体质点所具有的物理量）是随时间变化的。因此，流体的运动参数应该是空间坐标和时间的函数。如流体的速度、压强和密度可以表示为欧拉方法第二十五页，共八十六页，编辑于2023年，星期日xzyOM（x，y，z）t时刻若x，y，z为常数，t为变数，？若t为常数，x，y，z为变数，？质点通过流场中任意点的加速度第二十六页，共八十六页，编辑于2023年，星期日

在实际工程中，一般都只需要弄清楚在某一些空间位置上流体的运动情况，而并不去追究流体质点的运动轨迹。例如，研究一个隧洞中的水流，只要知道了液体经过隧洞中不同位置时的速度及动压力，这样就能满足工程设计的需要。所以，欧拉（Euler）法对工程流体力学的研究具有重要的意义。第二十七页，共八十六页，编辑于2023年，星期日恒定流(SteadyFlow)：在流场中，任何空间点上所有的运动要素都不随时间而改变。运动要素仅仅是空间坐标的连续函数，而与时间无关。

§3-2研究流体运动的若干基本概念一、恒定流与非恒定流水位不变第二十八页，共八十六页，编辑于2023年，星期日

恒定流时，所有的运动要素对于时间的偏导数应等于零：

第二十九页，共八十六页，编辑于2023年，星期日第三十页，共八十六页，编辑于2023年，星期日非恒定流(unsteadyflow)

：流场中任何点上有任何一个运动要素是随时间而变化的。在实际工程中，常把运动参数随时间变化缓慢的流动按恒定流处理，以求简化。

第三十一页，共八十六页，编辑于2023年，星期日

三者中至少一个不等于0第三十二页，共八十六页，编辑于2023年，星期日落地流速方向和大小随时间变化t0t2t1u0u1u2u2u1u0孔口出口流速大小随时间变化

第三十三页，共八十六页，编辑于2023年，星期日流场和运动参数流场指充满运动流体的空间。运动参数指表征流体运动特征的物理量。第三十四页，共八十六页，编辑于2023年，星期日二、一元流、二元流、三元流

凡流体中任一点的运动要素只与一个空间自变量有关，这种流体称为一元流(One-dimensionalFlow)。流场中任何点的运动要素和两个空间自变量有关，此种流体称为二元流(Two-dimensionalFlow)

。若流体中任一点的流速，与三个空间位置变量有关，这种流体称为三元流。

第三十五页，共八十六页，编辑于2023年，星期日1、一元流流体在一个方向流动最为显著，其余两个方向的流动可忽略不计，即液体的运动要素是一个空间坐标的函数。若考虑流道（管道或渠道）中实际液体运动要素的断面平均值，则运动要素只是曲线坐标s的函数，这种流动属于一元流动。四、一元流、二元流与三元流第三十六页，共八十六页，编辑于2023年，星期日2、二元流

流体主要表现在两个方向的流动，而第三个方向的流动可忽略不计，即流动流体的运动要素是二个空间坐标（不限于直角坐标）函数。如实际液体在圆截面（轴对称）管道中的流动。又如在x方向很长的滚水坝的溢流流动，其运动要素只与两个位置坐标(y,z)有关，只需研究平行平面中任一个平面上的流动情况。第三十七页，共八十六页，编辑于2023年，星期日3、三元流（three-dimensionalflow）

流动流体的运动要素是三个空间坐标函数。例如水在断面形状与大小沿程变化的天然河道中流动、水对船的绕流等等

存在的问题之一

一元流分析法回避了水流内部结构和运动要素的空间分布。第三十八页，共八十六页，编辑于2023年，星期日三、迹线与流线拉格朗日法研究个别流体质点在不同时刻的运动情况，引出了迹线的概念；欧拉法考察同一时刻流体质点在不同空间位置的运动情况引出了流线的概念。

1、迹线与流线的概念迹线(pathline)：某一流体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点连成的线称为迹线，即流体质点运动时所走过的轨迹线。图示烟火的轨迹。

第三十九页，共八十六页，编辑于2023年，星期日流线(StreamLine)：是某一瞬时在流场中绘出的一条曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该曲线相切。第四十页，共八十六页，编辑于2023年，星期日

用欧拉法描述流体运动时引入流线的概念。某一时刻过流场空间一定点画出一条空间曲线，这条曲线具有这样的性质：该时刻流线上各点的速度矢量都与这条流线相切，这条空间曲线称为该时刻过该定点的流线。流线表示瞬时流动方向。第四十一页，共八十六页，编辑于2023年，星期日1、流线------分析流动的重要概念流线的定义表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。流线是与欧拉法相对应的概念,有了流线,流场的空间分布就得到了形象化的描绘切线与速度方向一致的假想曲线第四十二页，共八十六页，编辑于2023年，星期日流线和迹线绘制方法流线和迹线的绘制方法如图第四十三页，共八十六页，编辑于2023年，星期日

绘制方法如下：设在某时刻t1流场中有一点A1，该点的流速向量为u1，在这个向量上取与A1相距为的点A2；在同一时刻，A2点的流速向量设为u2，在向量u2上取与A2点相距为的点A3；若该时刻A3点的流速向量为u3，在向量u3上再取与A3相距为的点A4，如此继续，可以得出一条折线A1A2A3A4……，若让所取各点距离趋近于零，则折线变成一条曲线，这条曲线就是t1时刻通过空间点A1的一条流线.第四十四页，共八十六页，编辑于2023年，星期日流线和迹线绘制方法迹线的绘制过流场中点A0绘出该点在某一瞬时t1的流速矢量u1

，在该矢量上取与A0点相邻的点A1,过A1绘出过时段t2时刻的速度矢量v2，又在这一流速矢量上取与A1点相邻的B2点，再过A2点绘出t3时刻的矢量u3再找B3点，再绘出矢量再找点……依此类推，得到折线A0A1B2B3,当趋于无穷小时，折线近视为一条光滑曲线，这条光滑曲线就是时刻t1从点A0出发的流体质点的迹线，如果绘制整个流场中所有质点的迹线，就可以清楚地描述整个流场的流动图景

第四十五页，共八十六页，编辑于2023年，星期日1、非恒定流中：不同瞬时的流线是不同的，流线与迹线一般不重合。2、恒定流中：流线也是恒定的不随时间改变，而且流线与迹线是重合的。第四十六页，共八十六页，编辑于2023年，星期日

假定A1A2A3A4……近似代表一条流线（当趋近于零时即为流线），在t1时刻质点从A1点开始运动，经过后达到A2；到达A2后虽然时刻变成。但因恒定流流线形状和位置不变，此时A2点的流速仍与t1相同，仍然为u2方向，于是质点从A2点沿u2方向运动，再经过又到达A3，如此继续下去质点所走的轨迹完全与流线重合。第四十七页，共八十六页，编辑于2023年，星期日流线及流线图的性质

a.同一时刻的不同流线，不能相交

即一个质点不可能同时有两个速度向量

b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。

c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。第四十八页，共八十六页，编辑于2023年，星期日2、流线的特性

1)恒定流时，流线的形状和位置不随时间而改变。

2)恒定流时流体质点运动的迹线与流线相重合。

3)流线不能相交。(因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。)4)流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。(因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。)5)流线簇的疏密反映了速度的大小(流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小)。(因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。)第四十九页，共八十六页，编辑于2023年，星期日3、流线方程设m为流线上的一点，该点的流速为u,从该点沿流线方向取一微元段dr，u和dr在x、y、z轴上的分量分别为ux、

uy、

uz和dx、dy、dz，根据流线定义u与dr（即该点的切线方向)方向一致，即

流线的微分方程yuxuyudydxdr流线x第五十页，共八十六页，编辑于2023年，星期日迹线方程

由运动微分方程即可推出迹线的微分方程式中，时间t是自变量，而x,y,z是t的因变量。第五十一页，共八十六页，编辑于2023年，星期日思考题

实际水流中存在流线吗？引入流线概念的意义何在？

不存在。引入流线概念是为了便于分析流体的运动，确定流体流动趋势。第五十二页，共八十六页，编辑于2023年，星期日解

(1)流线微分方程：积分得：流线方程

不同时刻(t=0,1,2)的流线是三组不同斜率的直线族。例

已知速度场ux=a，uy=bt，uz=0。试求：

(1)流线方程及t=0，t=1，t=2时的流线图；

(2)迹线方程及t=0时过(0，0)点的迹线。第五十三页，共八十六页，编辑于2023年，星期日(2)迹线方程

积分得yt0t1t2t3t4C=1C=2C=3C=4C=5xt=0流线=012345yt=2流线012345迹线xyt0123450t=1流线C=1C=2第五十四页，共八十六页，编辑于2023年，星期日由t=0,x=0,y=0,确定积分常数，c1=0,c2=0。得再消去t，且过(0,0)点的迹线方程是一抛物线方程。第五十五页，共八十六页，编辑于2023年，星期日四、流管、流束、元流、总流、过流断面

1、流管(streamtube)

在流体中任意一微分面积dA(如图)，通过该面积的周界上的每一个点，均可作一根流线，这样就构成一个封闭的管状曲面，称为流管。第五十六页，共八十六页，编辑于2023年，星期日2、元流

流束：流管内所有流线的集合。充满以流管为边界的一束流体，称为微元流束,即就是过流断面无限小的流束。注：(1)流束表面没有流体穿过；

(2)在元流断面上，运动参数各点相同；

(3)元流的极限是流线。流束第五十七页，共八十六页，编辑于2023年，星期日3、总流

任何一个实际水流都具有一定规模的边界，这种有一定大小尺寸的实际水流称为总流(totalflow

)。总流可以看作是由无限多个微小流束所组成。第五十八页，共八十六页，编辑于2023年，星期日4、过流断面(crosssection)

与微小流束或总流的流线成正交的横断面称为过流断面。该面积dA或A称为过流面积，单位m2。注意：过流断面可为平面也可为曲面。

判断：均匀流过流断面是一平面，渐变流过流断面近似平面。(对)第五十九页，共八十六页，编辑于2023年，星期日五、流量与断面平均流速

1、流量(discharge)

单位时间内通过某一过流断面的流体体积(质量)称为流量。流量常用的单位为米３／秒（m3/s）、千克／秒（kg/s）

，符号Ｑ表示。通常所说的流量一般指体积流量，用qv表示。质量流量用qm表示。对于均质不可压缩流体，密度ρ为常数，则质量流量为：第六十页，共八十六页，编辑于2023年，星期日断面平均流速由于总流过流断面的流速分布很难确定，为了使问题的研究简化，根据积分中值定理引入一个假想的物理量称为断面平均流速

v第六十一页，共八十六页，编辑于2023年，星期日2、断面平均流速

过流断面各点速度的断面平均值ν，是一个想象的流速，如果过流断面上各点的流速都相等并等于ν，此时所通过的流量与实际上流速为不均匀分布时所通过的流量相等，则流速ν就称为断面平均流速。

由此可见，通过过流断面的流量等于断面平均流速与过流断面面积的乘积，也即过流断面上各点均以同一平均流速运动。引入断面平均流速的概念，可以使流体运动的分析得到简化。第六十二页，共八十六页，编辑于2023年，星期日六、均匀流与非均匀流、渐变流1、均匀流

均匀流：当流体的流线为相互平行的直线时，该流体称为均匀流。

均匀流具有以下特性：

1)均匀流的过流断面为平面，且过流断面的形状和尺寸沿程不变。

2)均匀流中，同一流线上不同点的流速应相等，从而各过流断面上的流速分布相同，断面平均流速相等。

3)均匀流过流断面上的动压强分布规律与静压强分布规律相同，即在同一过流断面上各点测压管水头为一常数。

第六十三页，共八十六页，编辑于2023年，星期日2、非均匀流

若流体的流线不是相互平行的直线该流体称为非均匀流按照流线不平行和弯曲的程度，分为渐变流、急变流两种类型：

1)渐变流

当流体的流线虽然不是相互平行直线，但几乎近于平行直线时称为渐变流(缓变流)(graduallyvariedflow)。渐变流的极限情况就是均匀流。

2)急变流

若流体的流线之间夹角很大或者流线的曲率半径很小，这种流体称为急变流。注意：渐变流动压强服从静压强分布；而急变流动压强分布特性复杂。第六十四页，共八十六页，编辑于2023年，星期日通常边界近于平行直线时，流体往往是渐变流。管道转弯、断面突扩或收缩，为急变流。第六十五页，共八十六页，编辑于2023年，星期日思考题1.“只有当过流断面上各点的实际流速均相等时，水流才是均匀流”，该说法是否正确？为什么？2.恒定流、均匀流等各有什么特点？

不对。均匀流是指运动要素沿程不发生改变，而不是针对一过流断面。

恒定流是指各运动要素不随时间变化而变化，

恒定流时流线迹线重合，且时变加速度等于0。

均匀流是指各运动要素不随空间变化而变化，均匀流时位变加速度等于0。第六十六页，共八十六页，编辑于2023年，星期日§3-3流体运动的连续性方程一、连续性微分方程在流场中取一空间微分平行六面体如图所示。经一微小时段dt自x流入的流体质量为：

自x流出的流体质量为dt时段内在x方向流进与流出六面体的流体质量之差：同理CdxOxzADEFGHdyMNOdzyB第六十七页，共八十六页，编辑于2023年，星期日

即在dt时间内流进与流出六面体总的流体质量的变化为故经过dt时段内六面体内质量总变化为

在同一时段内，流进与流出六面体总的流体质量的差值应与六面体内因密度变化所引起的总的质量变化相等。第六十八页，共八十六页，编辑于2023年，星期日适用范围：理想流体或实际流体；恒定流或非恒定流；可压缩流体或不可压缩流体。对不可压缩流体，常数，因此得连续性方程式为算一算:不可压缩流体对下面的运动是否满足连续性条件？

(1)(2)(3)不连续连续连续第六十九页，共八十六页，编辑于2023年，星期日例1

有二种的二元液流，其流速可表示为：(1)ux=-2y,uy=3x；(2)ux=0,uy=3xy。试问这两种液流是不可压缩流吗？解：（1）

符合不可压缩流的连续性方程，所以是不可压缩流。（2）不符合不可压缩流的连续性方程，所以不是不可压缩流。第七十页，共八十六页，编辑于2023年，星期日例2

已知不可压缩流体运动速度u在x、y两个轴方向的分量为ux=2x2+y，uy=2y2+z且z=0处，有uz=0。试求z轴方向的速度分量uz。解对不可压缩流体连续性方程为将已知条件代入上式，有4x+4y+=0

即

积分可得uz=-4(x+y)z+f(x,y)

又由已知条件对任何x、y，当z=0时，uz=0。故有

f(x,y)=0

因此uz=-4(x+y)z第七十一页，共八十六页，编辑于2023年，星期日

流体运动的连续性方程是质量守恒定律的一种特殊方式。取恒定流中微小流束，因流体为不可压缩的连续介质,有根据质量守恒定律在dt时段内流入的质量应与流出的质量相等。二、恒定不可压缩总流的连续性方程

第七十二页，共八十六页，编辑于2023年，星期日

不可压缩流体恒定元流的连续性方程对总流过流断面积分得上式即为恒定总流的连续性方程。上式表明在不可压缩流体恒定总流中，任意两个过流断面平均流速的大小与过流断面面积成反比，断面大的地方流速小，断面小的地方流速大。

连续性方程总结和反映了总流的过流断面面积与断面平均流速沿程变化的规律。

适用范围：固定边界内的不可压缩流体第七十三页，共八十六页，编辑于2023年，星期日分叉流的总流连续性方程或：qv1=qv2+qv3

问题：变直径管的直径d1=320mm，d2=160mm，流速v1=1.5m/s，v2为：

A.3m/s

B.4m/s

D.9m/s

C.6m/s第七十四页，共八十六页，编辑于2023年，星期日§3-4理想流体的运动微分方程及其积分理想流体动压强的特性

第一，理想流体的动压总是沿着作用面的内法线方向。第二，在理想流体中，任何点的动压强在各方向上的大小均相等。第七十五页，共八十六页，编辑于2023年，星期日一、理想流体的运动微分方程－欧拉方程

流体平衡微分方程式是表征流体处于平衡状态时作用于流体上各种力之间的关系式。在运动着的理想流体中任取一微分平行六面体，作用于六面体的力有表面力与质量力。左表面动压强右表面动压强第七十六页，共八十六页，编辑于2023年，星期日

假设单位质量的质量力在各坐标轴方向的投影为，故所有作用于六面体上的力在x轴上的投影的代数和应等于六面体的质量与加速度在x方向的投影之积。有：化简之得